Delbar grupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 april 2018; verifiering kräver 1 redigering .

En delbar grupp är en sådan grupp som för någon och ekvationen $G$ $n\in {\mathbb N}$ $g\in G$

x^{n}=g

lösbar. Ofta antas gruppen vara abelsk , och villkoret skrivs i additiv notation som . $nx=g$

En grupp kallas -delbar ( är ett primtal ) om den för någon är lösbar i ekvationen . $A$ $sid$ $sid$ $a\i A$ $A$ $px=a$

Icke-kommutativa delbara grupper kallas ibland kompletta (inte att förväxla med kompletta grupper , som är isomorfa till sin automorfismgrupp).

Exempel

Gruppen av alla rationella tal ; $(\mathbb {Q} ,+)$
$sid$ -primär kvasicyklisk grupp , det vill säga en grupp genererad av en räknebar uppsättning element som uppfyller villkoret $(\mathbb {Z} _{p^{\infty )),+)$ $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$

pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots

Egenskaper för delbara grupper

Den homomorfa bilden av en delbar Abelisk grupp är en delbar grupp.
En abelisk grupp är delbar om och endast om den är -delbar för varje primtal . $sid$ $sid$
Varje delbar undergrupp kännetecknas av en direkt summering.
- Därför är delbara Abeliska grupper injektiva objekt i kategorin Abelska grupper ( -moduler). Samma uttalande gäller även i kategorin moduler över alla domäner av principiella ideal . $\mathbb {Z}$
Varje Abelisk grupp sönderfaller till en direkt summa , där är en delbar grupp (den kallas den delbara delen av gruppen ), och är en reducerad grupp, det vill säga en grupp som inte innehåller icke-nolldelbara undergrupper. $A$ $A=D\oplus R$ $D$ $A$ $R$

Struktur för delbara grupper

If är en godtyckligt delbar Abelisk grupp, alltså $A$

A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A )}\mathbb {Z} _{p^{\infty }}

Relaterade definitioner

Om i en hel grupp ekvationerna som anges i definitionen är unikt lösbara, kallas det D- grupp . Sådana, i synnerhet, är lokalt nilpotenta fullständiga vridningsfria grupper .

Litteratur

L. Fuchs Oändliga abelska grupper. T. 1, 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
AG Kurosh Gruppteori . — M.: Fizmatlit , 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6 .