Injektiv objekt

Ett injektivt objekt är en kategoriteoretisk generalisering av begreppet en injektiv modul . Det dubbla konceptet är ett projektivt objekt .

Definition

Ett kategoriobjekt kallas injektivt om det för någon morfism och någon monomorfism existerar en utsträckande morfism , det vill säga . $F$ $C$ $f:A\to Q$ $h:A\to B$ $g:B\to Q$ $f$ $g\circ h=f$

Abelian case

Den ursprungliga definitionen av ett injektivt objekt gavs för Abelian-fallet (och det är fortfarande det viktigaste). Om är en abelsk kategori , då kallas dess objekt injektiv om och endast om funktorn Hom är exakt . $C$ $F$ $\mathrm {Hom} _{C}(-,Q)$

Ganska många injektiva objekt

En kategori sägs ha tillräckligt med injektionsobjekt om det för något objekt i kategorin finns en monomorfism till ett injektivt objekt . $C$ $X$ $C$ $f:X\to Q$ $F$

Injektiv skal

En kategori monomorfism kallas väsentlig om, för någon morfism , sammansättningen är en monomorfism endast om det är en monomorfism. $g$ $C$ $f$ $f\circ g$ $f$

Om är en väsentlig monomorfism och objektet är injektivt, då kallas det ett injektivt hölje . Det injektiva skrovet är unikt upp till icke-kanonisk isomorfism. $f:X\to G$ $G$ $G$ $X$

Generalisering

Låt vara en kategori — Klassen av morfismer y . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$

Ett kategoriobjekt kallas -injektiv om det för någon morfism och varje morfism från klassen finns en morfism för vilken . $F$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $f:\to Q$ $h:\to B$ ${\mathcal {H}}$ $g:B\to Q$ $g\circ h=f$

Om det är en monomorfismklass får vi definitionen av injektiva moduler. ${\mathcal {H}}$

En kategori har en hel del -injektivobjekt om det för varje objekt X i kategorin finns en -morfism från X till ett -injektivt objekt. $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Exempel

I kategorin abelska grupper är injektiva objekt delbara grupper .

I kategorin moduler är injektiva objekt injektiva moduler . Det finns injektionsskal i B, och som ett resultat finns det ganska många injektionsobjekt. $R-\mathrm {Mod}$ $R-\mathrm {Mod}$

I kategorin metriska utrymmen och korta mappningar är injektiva objekt med avseende på extrema monomorfismer injektiva metriska utrymmen .

Injektiva objekt beaktas också i mer generella kategorier, till exempel i kategorierna av funktioner eller i kategorierna av modulskivor .

${\mathcal {H}}$ En -morfism g into sägs vara -väsentlig om, för någon morfism f , sammansättningen fg tillhör klassen endast om f tillhör klassen . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Om g är en -essentiell morfism från X till ett -injektivt objekt G , så kallas G det H -injektiva skrovet av X . ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Litteratur

Jiri Rosicky . Injektivitet och tillgängliga kategorier.
Charles A. Weibel. En introduktion till homologisk algebra. — Cambridge University Press, 1994.