Exakt funktion

En exakt funktor är en funktion som mappar exakta sekvenser till exakta. Exakta funktorer är bekväma för beräkningar i homologisk algebra, eftersom de omedelbart kan appliceras på objektupplösningsmedel . Mycket av homologisk algebra har byggts för att göra det möjligt att arbeta med funktioner som inte är exakta, men deras skillnad från exakta är kontrollerbar.

Definition

Låt och vara Abeliska kategorier och var en additiv funktionator . Tänk på en godtycklig kort exakt sekvens : $P$ $F$ $F:P\to Q$

0\to A\to B\to C\to 0

föremål . $P$

Om är en kovariansfunktion är : $F$ $F$

halvprecis om korrekt; $F(A)\till F(B)\till F(C)$
exakt till vänster om korrekt; $0\till F(A)\till F(B)\till F(C)$
exakt till höger om korrekt; $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$
korrekt om korrekt. $0\till F(A)\till F(B)\till F(C)\till 0$

Om är en kontravariant funktion från till , är: $G$ $P$ $F$ $G$

halvprecis om korrekt; $G(C)\to G(B)\to G(A)$
exakt till vänster om korrekt; $0\till G(C)\till G(B)\till G(A)$
exakt till höger om korrekt; $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$
korrekt om korrekt. $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$

Det är inte nödvändigt att ta exakt denna typ av sekvens som den initiala; till exempel kan en exakt funktor definieras som en funktor som mappar exakta sekvenser av formuläret till exakta sekvenser. $A\to B\to C$

Det finns en annan definition av en exakt funktor: en kovariansfunktion lämnas exakt om och endast om den mappar ändliga gränser till gränser. När man ersätter ordet "samvariant" med "kontravariant" eller "vänster" med "höger", måste man samtidigt ersätta "gränser" med "kogränser". En exakt funktor är en funktion som är vänster och höger exakt.

Exempel

Varje likvärdighet mellan Abeliska kategorier är exakt.
Det viktigaste exemplet på en vänsterexakt funktor är Hom . Om är en godtycklig abelsk kategori och är dess objekt, då är en kovariant additiv funktor i kategorin abelska grupper [1] . Denna funktion är exakt om och bara om den är projektiv . Följaktligen är en kontravariant funktor exakt om och endast om den är injektiv . ${\mathcal {A}}$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ $A$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ $A$
Om är en högermodul är det möjligt att definiera en funktion från kategorin vänstermoduler genom att använda tensorprodukten över . Denna funktion är rätt exakt; det är exakt om och bara om är en platt modul . $T$ $R$ $H_{T}$ $R$ ${\mathbf {Ab))$ $R:H_{T}(X)=T\otimes X$ $T$
De två föregående exemplen kan generaliseras: i vilket par av adjoint additiv som helst, är den vänstra adjointen exakt till höger och den högra adjointen är vänsterexakt.

Anteckningar

↑ Jacobson, 2009 , Teorem 3.1, sid. 98.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Nathan Jacobson . Grundläggande algebra. — 2:a. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier , red. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Föreläsningsanteckningar i matematik (på franska) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0 .