Kategorin av Abeliska grupper (betecknad Ab ) är en kategori vars föremål är Abeliska grupper och vars morfismer är grupphomomorfismer . Det är prototypen för kategorin Abel . [1] , i själva verket kan vilken liten Abelsk kategori som helst bäddas in i Ab [2] .
Ab är en komplett underkategori till Grp ( kategorier av alla grupper ). Huvudskillnaden mellan Ab och Grp är att summan av två homomorfismer av abelska grupper återigen är en homomorfism:
( f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )Den tredje jämlikheten kräver kommutativiteten av addition. Tillägget av morfismer gör Ab till en pre-additiv kategori , och eftersom den finita direkta summan av Abeliska grupper är en biprodukt , följer det att Ab är en additiv kategori .
I Ab är begreppet en kärna i kategorisk mening detsamma som begreppet en kärna i algebraisk mening , detsamma gäller för kokkärnan . (Den viktigaste skillnaden mellan Ab och Grp här är att f ( A ) kanske inte är en normal undergrupp i Grp , så kvotgruppen B / f ( A ) kan inte alltid definieras.) Med tanke på specifika kärn- och kokkärnbeskrivningar är det enkelt för att kontrollera om den Ab verkligen är en abeliaansk kategori .
Ett objekt Ab är injektivt om och endast om gruppen är delbar ; det är projektivt om och bara om gruppen är fri.
Med tanke på två Abeliska grupper A och B kan man definiera deras tensorprodukt A ⊗ B ; det är återigen en Abelisk grupp, vilket gör Ab till en monoidal kategori .
Ab är inte kartesisk stängd eftersom exponentialer inte alltid definieras i den .