Exponentiell

Exponentialen är en kategoriteoretisk analog till mängden funktioner i mängdlära . Kategorier där ändliga gränser och exponentialer finns kallas kartesiska stängda .

Definition

Låt det finnas binära produkter i kategorin . Då kan exponentialen definieras som en universell morfism från en funktor till . (Funktorn från till mappar ett objekt till och morfismer till ). $C$ $Z^{Y}$ $[-]\ gånger Y$ $Z$ $[-]\ gånger Y$ $C$ $C$ $X$ $X \ gånger Y$ $\varphi$ $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$

Mer explicit, exponentialen av objekt och är ett sådant objekt, tillsammans med en morfism som kallas utvärderingskartan , att det för varje objekt och morfism finns en unik morfism för vilken följande diagram är kommutativt: $Z^{Y}$ $Z$ $Y$ $eval\colon Z^{Y}\ gånger Y\till Z$ $X$ $g\kolon X\ gånger Y\ till Ö$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$

Om exponentialen finns för all in , då är funktorn som skickar till rätt dual av . I det här fallet finns det en naturlig bijektion: $Z^{Y}$ $Z$ $C$ $Z$ $Z^{Y}$ $[-]\ gånger Y$

\mathrm {Hom} (X\ gånger Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})

Exempel

I kategorin mängder är en exponentiell mängden av alla funktioner från till ( kardinalpotens ). För alla mappningar är mappningen curryformen : $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $g\kolon (X\ gånger Y)\högerpil Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ $g$

\lambda g(x)(y)=g(x,y)

I kategorin topologiska utrymmen existerar en exponentiell om är ett lokalt kompakt Hausdorff - utrymme . I det här fallet är uppsättningen av kontinuerliga funktioner från till med kompakt-öppen topologi . Om det inte är ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme kanske exponentialen inte existerar (utrymmet kommer att existera, men mappningen kanske inte längre är kontinuerlig). Av denna anledning är kategorin topologiska utrymmen inte kartesisk stängd . $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $\lambda$

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analys av logik = Topoi. Den kategoriska analysen av logik / Per. från engelska. V. N. Grishin och V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 sid.
McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Abstrakta och konkreta kategorier (The Joy of Cats ) . — John Wiley & Sons , 2006.