Gräns (kategoriteori)
En gräns inom kategoriteorin är ett begrepp som generaliserar egenskaperna hos sådana konstruktioner som en produkt , en kartesisk kvadrat och en omvänd gräns . Den dubbla föreställningen om en colimit generaliserar egenskaperna hos sådana konstruktioner som disjunkt union , coproduct , codecartes square och direct limit .
Gränser och kogränser, såväl som de nära besläktade begreppen om den universella egenskapen och adjoint-funktioner , är begrepp med en hög abstraktionsnivå. För att bättre förstå dem är det användbart att först studera exempel på konstruktioner som dessa begrepp generaliserar.
Definition
Gränser och kogränser definieras med hjälp av diagram . Ett typdiagram J i kategori C är en funktion:
F : J → C. _Kategorin J är en indexeringskategori och funktorn F spelar rollen som märkning av objekt och morfismer av kategori C i termer av kategori J . Av störst intresse är fallet när J är en liten eller ändlig kategori. I detta fall kallas diagrammet F : J → C litet eller ändligt.
Låt F : J → C vara ett diagram av typ J i kategori C . En kon över F är ett objekt N i C tillsammans med en familj av morfismer ψ X : N → F ( X ) indexerade av objekt X från kategorin J så att för varje morfism f : X → Y i J är det sant att F ( f ) o ψ X = ψ Y.
Gränsen för ett diagram F : J → C är en kon ( L , φ) över F så att det för varje kon ( N , ψ) över F finns en unik morfism u : N → L så att φ X o u = ψ X för alla X till J . [ett]
Begreppet en colimit definieras på ett liknande sätt - alla pilar måste inverteras. Nämligen:
Kokonen i ett diagram F : J → C är ett objekt N i kategori C tillsammans med en familj av morfismer:
ψ X : F ( X ) → Nför varje X i J så att ψ Y o F ( f ) = ψ X är sant för varje morfism f : X → Y i J .
Samgränsen för diagrammet F : J → C är en kokong ( L , φ) så att för alla andra kokonger ( N , ψ) finns en unik morfism u : L → N så att u o φ X = ψ X för alla X i J. _
Liksom alla universella objekt existerar inte alltid gränser och samgränser, men om de finns definieras de upp till isomorfism.
Exempel på gränser
Definitionen av en kategorisk gräns är tillräckligt bred för att generalisera andra ofta använda kategoriska konstruktioner. Exemplen tar hänsyn till gränsen ( L , φ ) för diagrammet F : J → C.
- terminalobjekt. Om J är en tom kategori finns det bara ett diagram av typ J i C , det tomma. Konen över det tomma diagrammet är helt enkelt vilket objekt som helst av kategori C. En gräns över F är ett sådant objekt till vilket det finns en unik morfism från vilket objekt som helst, det vill säga ett terminalobjekt.
- Konstverk . Här är J en diskret kategori (utan morfismer), och diagrammet som definieras av funktionatorn F är en familj av objekt C indexerade med J och gränsen är deras produkt tillsammans med projektioner till faktorer, projektioner bildar en familj av morfismer från definitionen av en kon.
- Equalizer . Här är J en kategori av två objekt och två parallella morfismer, sedan är F två parallella morfismer och gränsen är deras utjämnare.
- Kärnan är ett specialfall av equalizern, där en av morfismerna är null.
- Kartesiskt torg . Här består J av tre objekt och morfismer från det första och andra objektet till det tredje.
- Om J är en kategori av ett element och identitetsmorfismen, är gränsen det element som J mappas till .
- Topologiska gränser. Funktionsgränser är ett specialfall av filtergränser , som är relaterade till kategoriska gränser på följande sätt. I ett givet topologiskt utrymme X , betrakta F , en uppsättning filter på X , en punkt x ∈ X , V ( x ) ∈ F , ett filter av grannskap x , A ∈ F , något specifikt filter och en uppsättning filter tunnare än A och konvergerar till x . På filter F kan man definiera en kategoristruktur genom att säga att en pil A → B finns om och endast om A ⊆ B . Häckningen blir en funktionär och följande påstående är sant: x är en topologisk gräns för A om och endast om A är en kategorisk gräns. [2]
Egenskaper
Existens
En kategori sägs ha gränser av typ J om något diagram av typ J har en gräns.
En kategori kallas komplett om den har en gräns för ett litet diagram (det vill säga ett diagram vars element utgör en mängd). Ändligt kompletta och cocomplete kategorier definieras på liknande sätt.
Generisk egenskap
Betrakta en kategori C med diagram J . Funktionskategorin C J kan ses som kategorin av diagram av typ J i C . En diagonalfunktion är en funktion som mappar ett element N i kategori C till en konstant funktion Δ( N ) : J → C som mappar allt till N .
Givet ett diagram F : J → C (uppfattat som ett objekt C J ), är den naturliga transformationen ψ : Δ( N ) → F (uppfattad som en morfism av kategorin C J ) densamma som konen från N till F . Komponenterna i ψ är morfismer ψ X : N → F ( X ) . Definitionerna av limit och colimit kan skrivas om som [3] :
- Gränsen för F är den universella pilen från Δ till F .
- Kogränsen F är den universella pilen från F till Δ .
Funktioner och gränser
Funktionen G : C → D inducerar en mappning från Cone( F ) till Cone( GF ) . G bevarar gränser i F om ( GL , G φ) är en gräns för GF när ( L , φ) är en gräns för F [4] . En funktion G bevarar alla gränser av typ J om den bevarar gränserna för alla diagram F : J → C. Till exempel kan man säga att G bevarar produkter, utjämnare etc. En kontinuerlig funktion är en funktion som bevarar alla små gränser. Liknande definitioner införs för kogränser.
En viktig egenskap hos adjoint funktorer är att varje höger adjoint funktor är kontinuerlig och varje vänster adjoint funktor är finitely kontinuerlig [5] .
En funktion G : C → D höjer gränserna för ett diagram F : J → C om det faktum att ( L , φ) är en gräns för GF antyder att det finns en gräns ( L ′, φ′) i F så att G ( L ′, φ′) = ( L , φ) [6] . En funktion G höjer gränser av typ J om den höjer gränser för alla diagram av typ J . Det finns dubbla definitioner för colimits.
Anteckningar
- ↑ Goldblatt, 1983 , sid. 70-71.
- ↑ Mathematics Stack Exchange, svar av Stephan F. Kroneck . Hämtad 6 april 2014. Arkiverad från originalet 1 maj 2013.
- ↑ McLane, 2004 , sid. 81, 83.
- ↑ McLane, 2004 , sid. 137.
- ↑ McLane, 2004 , sid. 140.
- ↑ Adamek, 1990 , sid. 227.
Litteratur
- McLane S. Kapitel 3. Universella konstruktioner och gränser // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .
- R. Goldblatt. Topoi. Kategorisk analys av logik. - M . : Mir, 1983. - 487 sid.
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Abstrakta och konkreta kategorier . — 1990. Ursprungligen publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (nu gratis onlineupplaga).