Kategori av topologiska utrymmen

Kategorien topologiska utrymmen är en kategori vars objekt är topologiska utrymmen , och morfismer är kontinuerliga avbildningar , huvudobjektet för studien av kategoritopologi . Standardnotationen är . Det är en specifik kategori , så dess objekt kan förstås som uppsättningar med ytterligare struktur. $\mathbf {Överst}$

En naturlig glömmerfunktion som associerar ett topologiskt utrymme med dess stöduppsättning: . Denna funktion har både en vänster adjoint , som förser uppsättningen med den diskreta topologin , och en höger adjoint , som förser uppsättningen med den antidiskreta topologin . Dessutom, eftersom varje funktion mellan diskreta eller antidiskreta utrymmen är kontinuerlig, definierar båda dessa funktioner en fullständig inbäddning av kategorin uppsättningar i . $U\colon \mathbf {Topp} \to \mathbf {Set}$ $D\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Överst}$ $I\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Överst}$ $\mathbf {Överst}$

Den är komplett och medkomplett , det vill säga alla små gränser och samgränser finns i den . Oblivious functor: höjer gränserna på ett unikt sätt och håller dem också. Därför räcker det för att erhålla gränser (colimits) i gränserna (colimits) i med den nödvändiga topologin : om är ett diagram i och är en diagram limit i , då kan motsvarande gräns (colimit) in erhållas genom att tillhandahålla den initiala topologin ( ändlig topologi ). $U\colon \mathbf {Topp} \to \mathbf {Set}$ $\mathbf {Överst}$ ${\mathbf {Set}}$ $F$ $\mathbf {Överst}$ $(L,\varphi )$ $UF$ ${\mathbf {Set}}$ $F$ $\mathbf {Överst}$ $(L,\varphi )$

Monomorfismer i är kontinuerliga injektionsmappningar ; epimorfismer är kontinuerliga surjektiva kartläggningar och isomorfismer är homeomorfismer . Det finns inga nollmorfismer i , i synnerhet är denna kategori inte preadditiv . $\mathbf {Överst}$ $\mathbf {Överst}$

Den är inte kartesisk stängd , eftersom inte alla dess objekt har exponentialer .

Litteratur

Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (tyska) . - 1968. - (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
Kategorisk topologi 1971-1981 (H. Herrlich) // Allmän topologi och dess relationer till modern analys och algebra 5 (engelska) . - Heldermann Verlag, 1983. - S. 279-383.
Kategorisk topologi - dess ursprung, vilket exemplifieras av teorin om topologiska reflektioner och kärnreflektioner före 1971; Kategorisk topologi 1971-1981 (H. Herrlich, GE Strecker) // Handbook of the History of General Topology / eds. CEAull, R. Lowen. — Kluwer Acad. Publ., 1997. - T. 1. - S. 255-341.
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Abstrakta och konkreta kategorier . — John Wiley & Sons. - ISBN 0-471-60922-6 .
McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .