Sammanfogade funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 mars 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Adjoint functors är ett par funktorer som står i ett visst förhållande till varandra. Adjoint funktorer påträffas ofta inom olika områden av matematiken.

Informellt är funktorerna F och G konjugerade om de uppfyller förhållandet . Då kallas F en vänster adjoint funktor, och G kallas en höger. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motivation

Adjoint functors är ett av nyckelverktygen för kategoriteorin , många anmärkningsvärda matematiska konstruktioner kan beskrivas som adjoint functors. Som ett resultat av detta kan bevis för många intressanta resultat omedelbart följa av allmänna satser om adjoint funktiontorer, såsom likvärdigheten av olika definitioner, och från det faktum att höger adjoint funktiontorer pendlar med limits (och vänster med colimits).

Lösning på optimeringsproblemet

Vi kan säga att en adjoint funktor är ett sätt att specificera den mest effektiva lösningen på något problem med hjälp av en standardmetod. Till exempel är ett elementärt problem från ringteorin hur man förvandlar en pseudoring (det vill säga en ring som kanske inte har en multiplikativ enhet) till en ring . Det mest effektiva sättet att göra detta är att lägga till en till ringen, alla element som är nödvändiga för att uppfylla ringens axiom (till exempel element av typen r +1 , där r är ett element i ringen), och inte anta alla relationer i den nya ringen som inte är nödvändiga för att uppfylla axiomen. Denna konstruktion är standard i den meningen att den fungerar för all pseudoring.

Ovanstående beskrivning är mycket vag, men kan göras exakt med hjälp av kategoriteorin: en konstruktion är " mest effektiv " om den uppfyller den universella egenskapen och " standard " i den meningen att den definierar en funktion. Universella egenskaper är uppdelade i initiala och terminala, eftersom dessa begrepp är dubbla räcker det att överväga en av dem.

Tanken med att använda den initiala egenskapen är att formulera problemet i termer av en sådan hjälpkategori E att det bara återstår att hitta det initiala objektet E . Denna formulering har fördelen att problemet med att "hitta den mest effektiva lösningen" blir ganska rigoröst och i någon mening liknar problemet med att hitta ett extremum . För att välja rätt kategori E , ibland är det nödvändigt att välja svåra knep: i fallet med en semiring R , är den obligatoriska kategorin en kategori vars objekt är homomorfismer av semirings R → S , där S är någon ring med identitet. Morfismer i E mellan R → S 1 och R → S 2 är kommutativa trianglar av formen ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) , där S 1 → S 2 är en ringhomomorfism. Förekomsten av en morfism mellan R → S 1 och R → S 2 betyder att S 1 inte är mindre effektiv lösning på problemet än S 2 : S 2 har fler adderade element och/eller fler relationer mellan dem än S 1 .

Att säga att den här metoden definierar den " mest effektiva " och " standard " lösningen på ett problem är detsamma som att säga att den definierar adjoint-funktioner.

Formella definitioner

Det finns flera likvärdiga definitioner av adjoint funktorer. Deras likvärdighet är elementär, men inte trivial.

Den universella är lätt att formulera och ligger också närmast vår intuition om "optimeringsproblemet".

Enhets- och enhetsdefinitionen är praktiskt för funktorer som ofta påträffas i algebra, eftersom den ger formler som kan kontrolleras direkt.

Hom [ ⇨ -uppsättningsdefinitionen gör definitionen symmetrisk och förtydligar skälen för att kalla funktorer "adjoint".

Universal Arrow

En funktion F : C ← D är en vänsteradjoint funktion om det för varje objekt X i kategori C finns en terminalpil ε X från F till X. Om vi för varje X i C väljer ett objekt G 0 X i D för vilket en terminalpil ε X : F ( G 0 X ) → X är definierad , så finns det en unik funktion G : C → D så att GX = G 0 X och för varje morfism i kategorin C f : X → Xʹ har vi ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F kallas då den vänstra adjointen av funktorn G .

En funktion G : C → D är en högeradjoint funktion om det för varje objekt Y i kategori D finns en initial pil från Y till G. Om vi för varje Y i D väljer ett objekt F 0 Y i C så att den initiala pilen η Y : Y → G ( F 0 Y ) från Y till G är definierad , så finns det en unik funktion F : C ← D sådan att FY = F 0 Y och GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g för g : Y → Yʹ är en morfism i D ; G kallas då den högra adjointen till funktorn F .

Som terminologin antyder är det sant att F är den vänstra dualen av G om och endast om G är den högra dualen av F . Detta är dock inte uppenbart från definitionen i termer av den universella pilen, utan är uppenbart på grund av definitionen i termer av enheten och enheten.

Enhet och couunit

För att definiera en enhet och en enhet i kategorierna C och D måste vi fixa två funktionsfaktorer F : C ← D , G : C → D och två naturliga transformationer :

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\to GF\end{aligned}}

kallas en co -enhet respektive en enhet av konjugation, så att kompositionerna

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

och

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

är identiska transformationer 1 F och 1 G av funktionsfaktorerna F respektive G .

I en sådan situation är F vänsterkonjugat av G och G är högerkonjugat av F . Ibland betecknas detta förhållande eller helt enkelt . $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $F\dashv G$

I form av ekvationer kallas ovanstående villkor på (ε,η) för mått- och enhetsekvationerna :

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Definition via Hom-funktion

Betrakta två funktioner F : C ← D och G : C → D. Låt det finnas en naturlig isomorfism :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\till {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

Detta definierar en familj av bijektioner:

\Phi _{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\to {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

för alla objekt X i C och Y i D .

Här kallas F vänsterkonjugat för G och G kallas högerkonjugat för F .

För att förstå vad som menas med naturligheten hos Φ , är det nödvändigt att förklara hur hom C ( F -, -) och hom D ( -, G -) är funktorer. Faktum är att de båda är bifunktörer från D op × C till Set . Explicit betyder naturligheten hos Φ att för alla morfismer f : X → X ′ i C och morfismer g : Y ′ → Y i D , pendlar följande diagram:

Exempel

Gratis grupper

Konstruktionen av en fri grupp är ett praktiskt exempel för att klargöra kärnan i definitionerna. Låt F : Grp ← Set vara en funktor som associerar med en mängd Y den fria gruppen som genereras av element i Y , och G : Grp → Set vara en glömmfunktion som associerar en grupp X med dess stödmängd. Då är F den vänstra adjointen till G :

Terminalpilar: för varje grupp X är gruppen FGX en fri grupp som genereras av elementen i X som en uppsättning. Låta vara en grupp homomorfism som tar generatorerna av FGX till motsvarande element i X . Sedan är en terminal morfism från F till X , eftersom all homomorfism från den fria gruppen FZ till X kan genomföras med hjälp av en enda funktion från mängden Z till mängden X . Detta betyder att ( F , G ) är ett par av adjunktfunktioner. $\varepsilon _{X}:FGX\till X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\till X$

Uppsättningar Hom: mappningar från den fria gruppen FY till gruppen X motsvarar unikt mappningar från uppsättningen Y till uppsättningen GX : varje homomorfism bestäms unikt av dess värden på den fria gruppens generatorer. Genom direkt beräkning kan man kontrollera att denna överensstämmelse är en naturlig transformation, och därför är paret ( F , G ) konjugerat.

Ytterligare exempel från algebra

Alla fria objekt är resultatet av att använda den fria funktorn, som är den vänstra anslutningen till den glömska funkorn .
Produkter , kärnor och utjämnare är exempel på kategoriska begränsningar . Alla gränsfunktioner ligger precis intill diagonalfunktionerna . På liknande sätt är coproducts , cokernels och coequalizers colimits , och colimit-funktorn är den vänstra adjointen till diagonalfunktorn.
Lägga till en enhet till pseudoringen (exempel från avsnittet "Motivation"). Om vi får en pseudorerande R , så är motsvarande ring produkten R × Z , på vilken den Z -bilinjära produkten definieras av formeln (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . Den konstruerade funktorn lämnas konjugerad till en glömsfunktion som skickar en ring till motsvarande pseudoring.
Ringförlängningar. Låt R och S vara ringar och ρ : R → S vara en ringhomomorfism. Då kan S ses som en (vänster) R -modul, och tensorprodukten med S definierar en funktion F : R - Mod → S - Mod . Här lämnas F konjugerat till den glömska funktorn G : S - Mod → R - Mod .
Tensor produkter . Om R är en ring och M är en höger R -modul, så definierar tensorprodukten med M en funktion F : R - Mod → Ab . Funktionen G : Ab → R - Mod definierad som G ( A ) = hom Z ( M , A ) är rätt konjugerad till F .
Privat fält . För kategorin Dom m av integralringar och injektiv homomorfismer har den glömska funktorn Fält → Dom m en vänsteradjoint som associerar med varje integralring dess kvotfält .
Polynomringar '. För Ring * , kategorin kommutativa ringar med ett distingerat element och homomorfismer som bevarar ett distingerat element, den glömska funktorn G: Ring * → Ring har en vänsterdual — den associerar ett par ( R [ x ], x ) med R [ x ] , där R [ x ] är ett ringpolynom med koefficienter från R .
Abelisering. Den glömska funktorn G : Ab → Grp har en vänsteradjoint, kallad abeliseringsfunktorn, som tilldelar varje grupp G en kvotgrupp med kommutanten : G ab = G /[ G , G ] .

Topologiexempel

En funktor med två konjugat. Låt G vara en funktor som associerar ett topologiskt rum med dess stödmängd (det vill säga den glömmer topologin). G har en vänsterdual F , som ger mängderna den diskreta topologin , och en högerdual H , som ger mängderna den triviala topologin .
Överbyggnad och looputrymmen . Givet de topologiska utrymmena X och Y kan man konstruera ett utrymme [ SX , Y ] av homotopiklasser av mappningar från suspensionen av SX till Y. Det är naturligt isomorft till rymden [ X , Ω Y ] för homotopiklasser av mappningar från X till looprymden Ω Y , så suspensions- och looprumsfunktionerna är konjugerade i homotopikategorin för topologiska rum.
Inbäddningen av G : KHaus → Toppen av kategorin kompakta Hausdorff - utrymmen i kategorin topologiska utrymmen har en vänster angränsande funktion F : Topp → KHaus , Stone-Cech-komprimeringen . Mängden för detta par definierar en kontinuerlig avbildning från ett godtyckligt topologiskt utrymme X till dess kompaktering. Denna mappning är en inbäddning om och endast om X är ett helt regelbundet utrymme .

Egenskaper

Existens

Inte varje funktion G : C → D har en vänster eller höger adjoint. Om C är en fullständig kategori , så har G enligt Peter Freuds adjoint funktorsats G en vänster adjoint om och endast om det för något Y från kategori D finns en familj av morfismer:

f i : Y → G ( X i ) ,

där indexen jag går igenom uppsättningen jag så att varje morfism:

h : Y → G ( X )

kan skrivas som:

h = G ( t ) o fi

för vissa i i I och en del morfism:

t : Xi → X i C. _ _

Ett liknande uttalande kännetecknar funktorer som har en högeradjoint.

Unikhet

Om en funktion F : C ← D har två rätta konjugat G och G ′ , så är G och G ′ naturligt isomorfa .

Å andra sidan, om F lämnas konjugerat till G , och G är naturligt isomorft till G ′ , så lämnas F också konjugerat till G ′ .

Komposition

Konjugationskompositioner kan tas på ett naturligt sätt. Om 〈F , G , ε, η〉 är en konjugation mellan C och D , och 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 är en konjugation mellan D och E , så är funktorn

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

vänster konjugat till funktorn

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

Man kan bilda en kategori vars objekt alla är små kategorier och vars morfismer är konjugeringar.

Pendling med begränsningar

Den viktigaste egenskapen hos adjointfunktioner är deras kontinuitet: varje funktor som har en vänsteradjoint (d.v.s. är en högeradjoint) pendlar med gränser i kategorisk mening. Följaktligen är en funktor som har en höger adjoint finitely continuous , det vill säga den pendlar med colimits . Eftersom många konstruktioner är limits eller colimits följer omedelbart flera konsekvenser av detta. Till exempel:

Att använda rätt adjoint funktion på en produkt ger en produkt av bilder.
Genom att applicera den vänstra intilliggande funktorn på en samprodukt får du en biprodukt av bilder.
Varje högerkonjugat och additiv funktion mellan Abeliska kategorier är vänsterexakta .
Varje vänsterkonjugat och additiv funktion mellan Abeliska kategorier är exakt exakt .

Litteratur

McLane S. Kapitel 4. Adjoint functors // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Grundläggande kategoriteori. — Encyclopaedia of Mathematics and its applications. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 sid. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Abstrakta och konkreta kategorier. The joy of cats (engelska) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)