Platt modul

En platt modul över R är en modul så att tensormultiplikation med denna modul bevarar exakta sekvenser . En modul sägs vara strikt platt om sekvensen av tensorprodukter är exakt om och endast om den ursprungliga sekvensen är exakt.

Vektorutrymmen , fria och mer allmänt projektiva moduler är platta. För ändligt genererade moduler över Noetherian ringar är platta moduler desamma som projektiva moduler. För ändligt genererade moduler över lokala ringar är alla platta moduler gratis . [ett]

Konceptet med en platt modul introducerades av Serre 1955.

Definition

Flera motsvarande definitioner av en platt modul kan ges.

En (vänster) -modul sägs vara platt om och bara om funktorn är exakt . $R$ $M$ $N\mapsto M\otimes _{R}N$
Eftersom tensorproduktens funktion alltid är exakt exakt kan det tidigare kravet mildras. En -modul är nämligen platt om, för någon injektiv homomorfism av -moduler , den inducerade kartan också är injektiv. $R$ $M$ $R$ $\phi :K\to L$ $F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L$
En modul är platt om för varje ändligt genererat ideal i ringen (med naturlig inbäddning ) är den inducerade kartläggningen injektiv. $M$ $R$ $I\hookrightarrow R$ $I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M$

Egenskaper för platta moduler över en kommutativ ring

För varje multiplikativt system S av ringen R är ringen av kvoter S −1 R en platt R -modul.

En ändligt genererad modul är platt om och bara om den är lokalt fri. En lokalt fri modul över en ring R är en modul M så att dess lokalisering med avseende på alla primideal är en fri modul över kvotringen . $M_{\mathfrak {p))$ $R_{\mathfrak {p))$

Om ringen S är en R - algebra , det vill säga det finns en homomorfism , är det vettigt att fråga om denna algebra är en platt R -modul. Det visar sig att S är en strikt platt modul om och bara om varje primideal i ringen R är förbilden under verkan av f av något primideal från S , det vill säga när kartan är surjektiv (se uppsatsen Spectrum of en ring ). $f:R\till S$ $f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)$

Platta moduler kan specificeras i följande kedja av inneslutningar:

Torsionsfria moduler ⊃ platta moduler ⊃ projektiva moduler ⊃ fria moduler .

För vissa klasser av ringar gäller även de omvända inneslutningarna: till exempel är varje torsionsfri modul över en Dedekind-ring platt, en platt modul över en Artinian-ring är projektiv och en projektiv modul över en huvudsaklig idealdomän (eller över en lokal ring ) är gratis.

Kategoriska kogränser

Direkta summor och direkta gränser för platta moduler är platta. Detta följer av att tensorprodukten pendlar med direkta summor och direkta limiter (desutom pendlar den med alla colimits ). Undermoduler och kvotmoduler för en platt modul är inte nödvändigtvis platta (till exempel är modulen Z /2 Z inte platt ). Men om en undermodul till en platt modul är en direkt summa i den , är faktorn med avseende på den platt.

En modul är platt om och endast om den är den direkta gränsen för ändligt genererade fria moduler. [2] Detta innebär i synnerhet att varje ändligt presenterad platt modul är projektiv.

Homologisk algebra

"Flathet"-egenskapen för en modul kan uttryckas med hjälp av funktorn Tor , den vänsterhärledda funktorn för tensorprodukten. En vänster R -modul M är platt om och endast om Tor n R (-, M ) = 0 för alla (det vill säga när Tor n R ( X , M ) = 0 för alla och alla höger R - moduler X ), definitionen av en platt högermodul är liknande. Med hjälp av detta faktum kan man bevisa flera egenskaper hos en kort exakt sekvens av moduler: $n\geq 1$ $n\geq 1$

0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

Om A och C är platta så är B platt.
Om B och C är platt, så är A platt.

Om A och B är platta är C i allmänhet inte platt. i alla fall

Om A är en direkt summa av modulen B och B är platt, då är A och C platta.

Platta upplösningsmedel

Den platta upplösningen för modulen M är upplösningen för formen

… → F 2 → F 1 → F 0 → M → 0

där alla F i är platta. Platta upplösningar används vid beräkning av Tor-funktionen .

Längden på ett platt upplösningsmedel är det minsta indexet n så att Fn är icke-noll F i =0 för alla i större än n . Om modulen M tillåter en ändlig platt upplösning kallas dess längd för modulens platta dimension . [3] , annars sägs den platta dimensionen vara oändlig. Till exempel, om modulen M har platt dimension 0, så innebär noggrannheten för sekvensen 0 → F 0 → M → 0 att M är isomorf till F 0 , det vill säga att den är platt.

Anteckningar

↑ Matsumura, 1970 , Proposition 3.G
↑ Lazard, D. (1969), Autour de la platitude , Bulletin de la Société Mathématique de France T. 97: 81–128 , < http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0 > Arkiverad från 3 mars 2014 på Wayback Machine
↑ Lam, 1999 , sid. 183.

Litteratur

Bourbaki N. Kommutativ algebra. - M: Mir, 1971.
Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 ; 978-0-387-94269-8
Enochs, Edgar E. (1981), Injective and flat covers, envelopes and resolvents , Israel J. Math. V. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF0276084
Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press
Matsumura och Hideyuki (1970), Kommutativ algebra
Serre, Jean-Pierre (1956), Géométrie algébrique et géométrie analytique , Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier vol 6: 1–42, ISSN 0373-0956 , doi : 10.5802/aif.59 , < http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 >