Modul ovanför ringen

En modul över en ring är ett av de grundläggande begreppen i allmän algebra , som är en generalisering av två algebraiska begrepp - ett vektorrum (i själva verket är ett vektorrum en modul över ett fält ) och en abelsk grupp (som är en modul över ringen av heltal ). $\mathbb {Z}$

Begreppet en modul är kärnan i kommutativ algebra , som spelar en viktig roll inom olika områden av matematiken som t.ex.

Motivation

I ett vektorrum bildar en uppsättning skalärer ett fält , och multiplikation med en skalär tillfredsställer flera axiom som multiplikationsfördelningen . I modulen krävs bara att skalärerna bildar en ring (associativ, med enhet ), axiomen förblir desamma.

Mycket av teorin om moduler består av försök att generalisera kända egenskaper hos vektorrum till dem, ibland för detta måste man begränsa sig till moduler över "väluppfostrade" ringar, såsom principiella idealdomäner . I allmänhet är dock moduler mer komplexa än vektorrum. Till exempel kan inte varje modul välja en bas , och även de där detta är möjligt kan ha flera baser med olika antal element (i fallet med en icke-kommutativ ring).

Definitioner

Låt vara en ring (vanligtvis anses vara kommutativ med identitetselement ). En -modul är en Abelisk grupp med multiplikation med element i ringen : $R\$ $1\i R$ $R$ $M\$ $R\$

R\ gånger M\ till M,\quad (r,m)\mapsto rm,

som uppfyller följande villkor:

ett)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),

\forall m\in M\quad 1m=m.

\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},

fyra)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.

Obs: I fallet med en icke-kommutativ ring kallas sådana moduler ofta för vänster . I det här fallet är högra moduler de objekt där villkor 1) ersätts med följande:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

vilket är mycket bekvämare att formulera genom att skriva ringelementet till höger om modulelementet : $m$

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ därav terminologin.

När det gäller en kommutativ ring är definitionerna för de vänstra och högra modulerna desamma, och de kallas helt enkelt moduler. $R\$

Vilken ring som helst kan betraktas som en modul över sig själv (i det icke-kommutativa fallet är det också en rätt modul över sig själv). $R\$

Relaterade definitioner och egenskaper

En undermodul till en modul är en undergrupp av gruppen som stängs under multiplikation med element från , det vill säga så att: $HERR}\$ $B\$ $M\$ $R\$

\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B

Om en ring ses som en vänstermodul över sig själv, då är dess undermoduler vänsterideal ; om ringen betraktas som en rätt modul, då av rätt ideal. I det kommutativa fallet sammanfaller begreppen vänster- och högerideal. $R$

En homomorfism , eller -homomorfism av -moduler , är en grupphomomorfism för vilken det ytterligare villkoret är uppfyllt . Uppsättningen av alla sådana homomorfismer betecknas med . På den här uppsättningen kan man introducera strukturen för en Abelisk grupp genom att definiera 0 och följande likheter: $R$ $,R$ $A$ $B$ $\phi :A\till B$ $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$ $Hom_{R}(A,\B)$ $-$ $+$

0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a

Om är en undermodul till modulen kan vi betrakta kvotmodulen som en uppsättning ekvivalensklasser av element genom att definiera ekvivalensrelationen mellan elementen: $N$ $M$ $M/N$ $M$

a\sim b

om och bara om .

ba

N

Elementen i faktormodulen betecknas vanligtvis som . Operationerna för addition och multiplikation definieras av formler . $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$ $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$

Exempel

Vilken Abelisk grupp som helst är en modul över ringen av heltal.
Vilken som helst avgränsad Abelisk grupp (dvs. en Abelisk grupp sådan att ) är en modul över ringen av restklasser modulo . $n$ $A$ $nA=0$ $\mathbb {Z} _{n}$ $n$
Linjärt mellanrum över fält är modulo över . $F$ $F$
Linjärt rymd är en modul över ringen av alla dess linjära transformationer $V$ $L(V)$
Differentialformer på ett slätt grenrör är utrustade med en naturlig modulstruktur över ringen av alla släta funktioner på . $M$ $M$
Om I är ett vänsterideal för ringen R , så blir det en vänstermodul över denna ring. På samma sätt kommer rätt ideal att vara rätt moduler.

Modultyper

Ändligt genererade moduler
Cykliska moduler : En modul sägs vara cyklisk om den genereras av ett enda element.
Gratis moduler
Projektiva moduler
Injektiva moduler
Oupplösbara moduler : En modul sägs vara oupplöslig om den inte är noll och inte kan dekomponeras till en direkt summa av två moduler som inte är noll.
Helt nedbrytbara moduler : moduler som kan dekomponeras till en direkt summa av oupplösbara.
Enkla moduler
Halvenkla moduler
Artin moduler
Noetheriska moduler

Historik

De enklaste exemplen på moduler (ändliga Abeliska grupper, d.v.s. -moduler) förekommer redan i Gauss som en klassgrupp av binära kvadratiska former. Det allmänna konceptet med en modul möttes för första gången på 1960- och 1980-talen. XIX-talet i verk av Dedekind och Kronecker , ägnade åt aritmetiken av fält av algebraiska tal och algebraiska funktioner. Studiet av ändliga dimensionella associativa algebror, och i synnerhet gruppalgebrorna för ändliga grupper (B. Pierce, F. Frobenius ), som utfördes ungefär samtidigt, ledde till studiet av idealen för vissa icke-kommutativa ringar. Inledningsvis utvecklades teorin om moduler främst som teorin om ideal för någon ring. Först senare, i verk av E. Noether och W. Krull, märktes det att det är bekvämare att formulera och bevisa många resultat i termer av godtyckliga moduler, och inte bara ideal. $\mathbb {Z}$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.