Ringens spektrum

Spektrum av en ring i matematik är uppsättningen av alla primära ideal för en given kommutativ ring . Vanligtvis är spektrumet försett med Zariski-topologin och en bunt av kommutativa ringar, vilket gör det till ett lokalt ringat utrymme . Spektrum för en ring (nedan betyder ordet "ring" "en kommutativ ring med enhet") betecknas med . $R$ $\operatörsnamn{Spec}\, R$

Topologi av Zariski

Topologin på spektrumet av en ring kan introduceras på två likvärdiga sätt, och båda sätten används flitigt i algebraisk geometri .

Basen för Zariski-topologin

Det första sättet att introducera Zariski-topologin på spektrumet av en ring är att specificera basen för topologin . Baserna är delmängder av formens spektrum , där är ett godtyckligt element i ringen . $D_f = \{\mathfrak{p}\in \operatörsnamn{Spec}\, R: f\notin \mathfrak{p}\}$ $f$ $R$

Följande påståenden är lätta att verifiera:

D_1 = \operatörsnamn{Spec}\, R

D_f\cap D_g = D_{fg}

Det följer av dessa formler att familjen av alla delmängder av formen är ett spektrum som täcker , stängt under skärningspunkter, det vill säga den är basen för någon topologi. $D_f$

Spektrum för en ring är i allmänhet inte ett Hausdorff-utrymme . Å andra sidan uppfyller spektrumet för valfri ring separationsaxiomet To och är kompakt .

För att bevisa kompaktheten räcker det att kontrollera att en ändlig underbeläggning kan väljas från täckningen av baselement. Om mängdsystemet är en täckning av spektrumet betyder detta att idealet för ringen R som genereras av mängden A innehåller identiteten. Det vill säga, likheten är sann: , där är element i mängden A, och är några element i ringen R. Men då är den nödvändiga ändliga undertäckningen av spektrumet. Uppsättningarnas kompakthet bevisas på liknande sätt . (Det bör noteras att i frånvaro av Hausdorffness behöver en kompakt delmängd inte stängas!) $\{D_f: f\in A\}$ $1 = k_1a_1+k_2a_2 + \cdots + k_na_n$ $a_{i}$ $k_i$ $\{D_{f_1},D_{f_2},\cdots,D_{f_n}\}$ $D_f$

Definition i termer av slutna delmängder

Det andra sättet att introducera Zariski-topologin på spektrumet av en ring är att specificera alla slutna delmängder av . De slutna uppsättningarna av spektrumet är uppsättningarna av formen:

V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}

, där är ett godtyckligt (inte nödvändigtvis enkelt) ideal för ringen .

\mathfrak{a}

R

Följande formler är lätta att verifiera:

V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})

, var är produkten av motsvarande ideal,

\mathfrak{a} \mathfrak{b}

\cap_{\alpha}V(\mathfrak{a_{\alpha))) = V(\sum_{\alpha}\mathfrak{a_{\alpha)))

V((0)) = \operatörsnamn{Spec}\, R

V((1)) = \varnothing

av vilket det följer att formens uppsättningsfamilj uppfyller axiomen för systemet för alla slutna uppsättningar av ett topologiskt rum. Öppna set är komplement till dessa set. $V(\mathfrak{a})$

Med en sådan beskrivning av topologin är det lätt att se att om det är två främsta ideal, så ligger poängen i punktens stängning . Således är de slutna punkterna i Zariski-topologin de maximala idealen och bara de. $\mathfrak{p}_1\subset\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_1$

Ekvivalens av topologier

För att bevisa likvärdigheten av definitioner i termer av topologibasen och i termer av slutna uppsättningar, räcker det att kontrollera formlerna:

V(\mathfrak{a})^c = \cup_{f\in \mathfrak{a}}D_f

{\displaystyle D_{f}=V((f))^{c))

, där betecknar uppsättningens komplement och är det ideal som genereras av elementet .

V^c

V

(f)

f

Den första av dessa formler betyder att en delmängd av spektrumet som är öppen med avseende på den andra topologin också är öppen i den första, och den andra betyder att alla uppsättningar som utgör basen för den första topologin är öppna i den andra (och därför är alla fackföreningar i dessa uppsättningar också öppna).

Strukturell balk och scheman

Den strukturella bunten på spektrumet definieras enligt följande: varje öppen uppsättning från basen är associerad med lokaliseringen av ringen i det multiplikativa systemet . Beståndsdelarna i denna lokalisering är formella bråkdelar av formen , vilket är graden av . Följaktligen är en öppen uppsättning associerad med lokalisering av det multiplikativa systemet som genereras av . $D_f$ $R$ $\{1, f, f^2, f^3, \dots \}$ $p/q$ $q$ $f$ $\cup_i D_{f_i}$ $f_{i}$

Samma öppna uppsättning kan representeras på många sätt, men det kan visas att lokaliseringen av ringen inte beror på valet av en sådan representation, och det kan också verifieras att alla andra egenskaper hos kärven håller. $\cup_i D_{f_i}$

I fallet när är en integrerad ring med ett fält av kvoter , kan den strukturella skivan beskrivas mer specifikt. Ett element sägs vara regelbundet i en punkt om det kan representeras som ett bråk vars nämnare inte tillhör . Följaktligen är en öppen uppsättning associerad med en uppsättning element som är regelbundna vid varje punkt ; man kan kontrollera att denna mängd är sluten under addition och multiplikation, det vill säga den bildar en ring. Konstruktionen av begränsningskartor i detta fall är också mer uppenbar: om , då elementet i kvotfältet, som är regelbundet vid varje punkt av , är också regelbundet vid varje punkt av . $R$ $K$ $f/g\in K$ $\mathfrak{p}\in \operatörsnamn{Spec}\, R$ $f/g$ $\mathfrak{p}$ $U$ $K$ $U$ $U'\subset U$ $U$ $du'$

Fibern i den resulterande kärven vid punkten sammanfaller med lokaliseringen av ringen av ett primärt ideal , denna ring är lokal . Därför är spektrumet för en ring verkligen ett lokalt ringat utrymme. $\mathcal O$ $\mathfrak{p}$ $R_{\mathfrak{p}}$ $R$ $\mathfrak{p}$

Ett lokalt ringmärkt utrymme som kan erhållas på detta sätt kallas ett affint schema . Allmänna scheman erhålls genom att "limma ihop" flera affina scheman.

Funktionalitet

Till varje ringhomomorfism motsvarar en kontinuerlig kartläggning av spektra (i motsatt riktning) . I själva verket är förbilden av ett främsta ideal under handling ett främsta ideal. För att bevisa kontinuiteten i denna mappning räcker det att bevisa att den omvända bilden av en sluten uppsättning är stängd. Detta följer av jämlikheten $\varphi: A\till B$ $\varphi^*:\operatörsnamn{Spec}\, B \till \operatörsnamn{Spec}\, A$ $\mathfrak p\in B$ $\varphi$

(\varphi^*)^{-1}(V(\mathfrak{a})) = V(\varphi(\mathfrak{a}))

, var är ett godtyckligt ideal för ringen .

\mathfrak{a}

A

Det följer av detta att det är en kontravariant funktion från kategorin kommutativa ringar till kategorin topologiska rum. Dessutom inducerar kartan för varje en homomorfism av lokala ringar $\operatörsnamn{Spec}$ $\varphi$ $\mathfrak p\in B$

\mathcal O_{f^{-1}(\mathfrak p)}\to \mathcal O_{\mathfrak p}

Definierar därför en kontravariant funktion i kategorin lokalt ringade utrymmen. Bilden av denna funktion är exakt affina scheman, så kategorin av kommutativa ringar är (kontravariant) ekvivalent med kategorin affina scheman. $\operatörsnamn{Spec}$

Motivation från algebraisk geometri

I algebraisk geometri studeras algebraiska varianter , det vill säga delmängder av rymden (där är ett algebraiskt slutet fält ), angivna som vanliga nollor för en viss uppsättning polynom i variabler. Om är en sådan algebraisk variation, överväg den kommutativa ringen av polynomfunktioner . Då motsvarar ringens maximala ideal punkter av sorten , och de primära idealen motsvarar alla irreducible subvarietes (en sort sägs vara irreducible om den inte kan representeras som föreningen av två mindre varianter). Dessutom består stängningen av ett undergrenrör av alla dess punkter och undergrenar. Dessutom sammanfaller kärven på spektrumet definierat ovan faktiskt med kärven av rationella funktioner på en algebraisk variant . $K^n$ $K$ $n$ $A$ $A till K$ $R$ $A$ $A$ $A$

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. — M.: Mir, 1972.
Hartshorne , Algebraisk geometri - M .: Mir, 1981.
Mumford , Red Book of Varieties and Schemes - M.: MTsNMO, 2007.