Hausdorff utrymme

Ett Hausdorff-utrymme är ett topologiskt utrymme som uppfyller det starka separationsaxiomet T 2 .

Uppkallad efter Felix Hausdorff , en av grundarna av allmän topologi . Hans ursprungliga definition av ett topologiskt utrymme inkluderade kravet som nu kallas Hausdorff.

Ibland används termen Hausdorff-topologi för att beteckna strukturen av ett Hausdorff-topologiskt utrymme på en uppsättning .

Definition

Ett topologiskt utrymme kallas Hausdorff om några två distinkta punkter , från har icke-korsande kvarter , . $X$ $x$ $y$ $X$ $U(x)$ $V(y)$

Exempel och motexempel

Alla metriska utrymmen och mätbara utrymmen är Hausdorff , i synnerhet: euklidiska utrymmen , grenrör , de flesta av de oändliga dimensionella funktionsutrymmena som används i analysen , såsom eller , . $\mathbb {R} ^{n}$ $L^{p}\$ $W^{{1,\;p}}$ $p\geqslant 1\$

Om en topologisk grupp är ett T 0 -rum , så är det Hausdorff. Om T 0 inte är uppfylld, kommer faktorisering genom stängning av det neutrala elementet i gruppen att ge ett Hausdorff-utrymme [1] . Av denna anledning inkluderar vissa källor Hausdorffness i definitionen av en topologisk grupp.

Det enklaste (och viktiga) exemplet på ett icke-Hausdorff-utrymme är det anslutna kolonet och mer allmänt Heyting-algebra . Till exempel är Zariski-topologin på en algebraisk variant inte Hausdorff. Icke-Hausdorff, generellt sett, spektrumet av en ring .

Egenskaper

Det unika hos gränsen för en sekvens (i ett mer allmänt fall, ett filter ), om en sådan gräns finns.
En egenskap som motsvarar definitionen av Hausdorff-topologin är slutenheten hos diagonalen i den kartesiska rymdens kvadrat . $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\i X\}$ $X\ gånger X$ $X$
I ett Hausdorff-utrymme är alla dess punkter stängda (det vill säga enpunktsuppsättningar).
Underrummet och den kartesiska produkten av Hausdorff-utrymmen är också Hausdorff.
Generellt sett överförs inte Hausdorffness till kvotutrymmen .
Ett kompakt Hausdorff-utrymme är normalt och mätbart om och bara om det har en räknebar topologibas.
Varje kontinuerlig en-till-en-mappning från ett kompakt utrymme till ett Hausdorff-utrymme är en homeomorfism .
Varje ändligt Hausdorff-utrymme är diskret.

Anteckningar

↑ D. Ramakrishnan och R. Valenza. Fourieranalys på nummerfält. - Springer-Verlag, 1999. - (Examinerade texter i matematik).

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. - 2:a, stereotypt. - M. : Lan, 2010. - 368 sid. - ISBN 978-5-8114-0981-5 .