Paket med moduler

I matematik är en kärve av moduler en kärve över ett ringmärkt utrymme som har strukturen av en modul över en strukturell kärve . $(X,O_{X})$ $O_{X}$

Definition

För ett ringat utrymme är en bunt av -moduler (eller helt enkelt -modul ) en bunt över sådan som är en -modul för varje öppen uppsättning , och för varje öppen uppsättning som ingår i , överensstämmer begränsningsmappingen med modulernas struktur: för var och en vi har $(X,O_{X})$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $X$ $F(U)$ $O_{X}(U)$ $U$ $V$ $U$ $F(U)\till F(V)$ $a\in O_{X}(U),f\in F(U)$

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}

En -modulmorfism är en morfism av skivor så att för alla öppna uppsättningar avbildningen är en -modulmorfism . $O_{X}$ $F\to G$ $U$ $F(U)\to G(U)$ $O_{X}(U)$

Exempel

Strukturkärven är en -modul. En bunt av -moduler som är en underskarva av kärve kallas en kärva av ideal på . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $X$
Om är en morfism av -moduler, då är kärnan , bilden och kokkärnan -moduler . $f:F\to G$ $O_{X}$ $f$ $O_{X}$
Alla direkta summor , direkta produkter , direkta och omvända gränser för -moduler är -moduler. En bunt av moduler kallas fri om den är isomorf till en direkt summa av flera kopior . En bunt av -moduler kallas lokalt fri ( av rang ) om varje punkt har en öppen grannskap där den är fri (den är isomorf till den direkta summan av kopior av kärven ). En lokalt fri kärve av rang 1 kallas också en inverterbar kärve . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $r$ $X$ $F$ $r$ $O_{X}$
Om det är buntar av -moduler, kan man definiera en bunt av morfismer från till enligt följande: $F,G$ $O_{X}$ $F$ $G$ $U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ Dual av -modul $O_{X}$ till -modul är modulen av morfismer från till . $O_{X}$ $F$ $F$ $O_{X}$
Den kärve som är associerad med kärven betecknas med . Dess fiber vid en punkt är kanoniskt isomorf . Den symmetriska och yttre produkten definieras på liknande sätt. $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ $F\otimes _{O_{X}}G$ $x$ $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / transl. från engelska. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publications Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.