Ringmärkt utrymme

Ett ringmärkt utrymme är ett topologiskt utrymme där varje öppen uppsättning är associerad med en kommutativ ring av "funktioner" på denna uppsättning. Särskilt ringade utrymmen används i definitionen av scheman .

Definition

Ett ringmärkt utrymme är ett topologiskt utrymme tillsammans med en bunt av kommutativa ringar på den. Denna kärve kallas rymdstrukturkärven . $(X,{\mathcal O}_{X})$ $X$ ${\mathcal O}_{X}$ $X$

Ett lokalt ringat utrymme är ett ringat utrymme så att kärvens fiber vid någon punkt är en lokal ring . ${\mathcal O}_{X}$

Exempel

Vilket topologiskt utrymme som helst kan förses med strukturen av ett lokalt ringat utrymme om vi betraktar en bunt av kontinuerliga verkliga funktioner på det. Fibern i denna kärve vid punkten x — ringen av bakterier med kontinuerliga verkliga funktioner vid x — är en lokal ring vars enda maximala ideal är bakterierna till funktioner som försvinner vid x . På samma sätt är ett slätt grenrör med en penna med släta funktioner ett lokalt ringat utrymme.

Om X är en algebraisk variant med Zariski-topologin (till exempel spektrumet för någon ring), introduceras strukturen för ett lokalt ringat utrymme på den enligt följande: är uppsättningen rationella funktioner definierade på hela U . Ett sådant ringmärkt utrymme kallas ett affint schema , allmänna scheman definieras som resultatet av att "limma" flera affina scheman. ${\mathcal O}_{X}(U)$

Morfismer av ringade utrymmen

För att ange en morfism från till måste du åtgärda följande information: $(X,{\mathcal O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Kontinuerlig visning . $f:X\till Y$
För varje öppen delmängd , en ringhomomorfism . $U\in Y$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

Ringhomomorfismer måste överensstämma med kärvens struktur, det vill säga de måste pendla med restriktionsmappningar. Nämligen, om det är öppna delmängder av måste följande diagram vara kommutativt: $V_{1}\subset V_{2}$ $Y$

Morfismer av lokalt ringmärkta utrymmen måste uppfylla ytterligare ett krav. Homomorphisms för varje punkt inducerar en homomorfism från ett lager vid en punkt till ett lager vid en punkt . Det krävs att alla dessa homomorfismer är lokala , dvs de tar det maximala idealet för förbilden till en delmängd av bildens maximala ideal. $\varphi$ $x\i X$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\mathcal O}_{X}$ $x$

Tangent utrymme

Strukturen av lokalt ringade utrymmen tillåter oss att introducera en meningsfull definition av ett tangentrum vid dess punkt. Betrakta en punkt i det ringmärkta utrymmet . Betrakta en lokal ring (skärfiber vid x ) med maximal ideal . Då är ett fält, är ett vektorutrymme över detta fält. Tangentrymden vid en punkt definieras som dualen av detta utrymme. $x\i X$ $(X,{\mathcal O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $x$

Tanken är denna: tangentrymden består av vektorer längs vilka man kan "differentiera" "funktionerna" vid en given punkt, det vill säga ringens element . Det räcker med att hitta ett sätt att differentiera funktioner vars värde vid en given punkt är lika med noll, eftersom resten skiljer sig från dem med en konstant, det vill säga det räcker att beskriva derivatorna av funktioner från . I det här fallet är differentialen för produkten av två funktioner från lika med noll (vi vill att formeln för produktens derivata ska förbli sann). Därför måste vektorn tilldela ett nummer till varje element , och det är vad elementen i det dubbla rummet gör . $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

Det är lätt att kontrollera att i fallet med släta grenrör med en bunt av släta funktioner sammanfaller denna definition med den vanliga. Å andra sidan, i fallet med ett topologiskt utrymme med en penna av kontinuerliga (verkligt värderade) funktioner , eftersom funktionen för en kontinuerlig funktion också är kontinuerlig. Därför, i det här fallet, har tangentrymden vid vilken punkt som helst dimension 0. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Litteratur

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Elements de geométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Arkiverad 6 mars 2016 på Wayback Machine Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. Avsnitt 0.4.
Ringat rymd - artikel från Encyclopedia of Mathematics . A. L. Onishchik