Monomorfism

En monomorfism är en morfism av kategorin så att varje jämlikhet innebär att (med andra ord, på kan avbrytas från vänster). Ofta betecknas en monomorfism från till med . $m:A\till B$ ${\mathcal C}$ $m\cirkel f=m\cirkel h$ $f=h$ $m$ $X$ $Y$ $X\kroka högerpil Y$

Dual till begreppet monomorfism är begreppet epimorfism . (Samtidigt, för att en morfism ska vara en isomorfism , i det allmänna fallet, räcker det inte att vara bimorf - samtidigt monomorf och epimorf.)

Monomorfismer är en kategorisk generalisering av begreppet en injektiv funktion . Ibland sammanfaller dessa definitioner, men i allmänhet motsvarar en monomorfism inte en injektiv funktion.

Förhållande med reversibilitet

Morfismer som har en vänsterinvers är alltid monomorfismer. Faktum är att om är vänster invers till (dvs ), då: $l$ $f$ $l\circ f=\operatörsnamn {id}_{{X}}$

{\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2))

Samtidigt har inte alla monomorfismer en vänsterinvers. Till exempel, i kategorin grupper , om är en undergrupp av , då är inbäddningen alltid en monomorfism, men en vänster invers morfism existerar endast om y har en normal komplementär grupp (eftersom kärnan i homomorfismen är en normal undergrupp). En morfism är en monomorfism om och endast om den inducerade kartläggningen definierad som för morfismer är injektiv för alla Z. ${\mathbf {Grp}}$ $H$ $G$ $f:H\to G$ $f:H\to G$ $H$ $f:X\till Y$ $f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm {Hom}}(Z,Y)$ $f_{{*}}h=f\circ h$ $h:Z\till X$

Förbindelse med injektivitet

Inte i varje kategori kan man säga att någon funktion på mängder motsvarar en morfism, men detta är sant i specifika kategorier . I varje sådan kategori kommer en "injektiv" morfism att vara en monomorfism. I kategorin uppsättningar är det omvända påståendet också sant; monomorfismer där motsvarar exakt injektionsfunktioner. Detta är sant i många andra kategorier som naturligt uppstår i matematik på grund av att det finns ett fritt objekt som genereras av ett enda element. Till exempel, detta är sant i alla abelska kategorier .

Detta är dock inte alltid sant. Till exempel, i kategorin delbara (abelska) grupper med den vanliga gruppen homomorfismer, finns det icke-injektiva monomorfismer, såsom faktoriseringskartan . $\mathbf {Div}$ $q:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /Z$

Typer av monomorfismer

En monomorfism sägs vara regelbunden om den är en utjämnare av något par parallella morfismer.

En extrem monomorfism är en monomorfism som inte kan bäras igenom en epimorfism på ett icke-trivialt sätt, med andra ord, om en extrem monomorfism representeras i formenmed en epimorfism, så är det en isomorfism. $g\circ e$ $e$ $e$

Terminologi

Paret av termer "monomorphism" och "epimorphism" användes först av Bourbaki , och de använde "monomorphism" som en stenografi för frasen "injektiv funktion". Idag är nästan alla matematiker som är involverade i kategoriteorin säkra på att reduktionsregeln ovan är en korrekt generalisering av begreppet en injektiv funktion. McLane försökte skilja mellan monomorfismer - morfismer i en viss kategori, som motsvarar en injektiv funktion, och engelska. moniska kartor är monomorfismer i kategorisk mening, men detta har aldrig kommit till allmän användning.

Litteratur

McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .