Beställd grupp

En ordnad grupp är en grupp , för alla element av vilka en linjär ordning är definierad , i överensstämmelse med gruppoperationen. Vidare betecknas operationen som addition, gruppens nolla betecknas med symbolen . I allmänhet kanske en grupp inte är kommutativ . $0$

Definition

Låt vara en grupp och en linjär ordning definieras för dess element , det vill säga en relation ( mindre än eller lika med ) ges med följande egenskaper: $G$ $\leqslant$

Reflexivitet : . $x \leqslant x$
Transitivitet : om och , då . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetri : om och , då . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linjäritet : alla element i gruppen är jämförbara med varandra, det vill säga för alla antingen , eller . $x,y$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Dessutom kräver vi att ordern överensstämmer med gruppens verksamhet:

Om , då är följande relationer sanna för alla z : $x \leqslant y$

x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.

Om alla fem axiom håller, sägs gruppen vara ordnad (eller linjärt ordnad ). Om vi tar bort kravet på linjäritet (axiom 4), så kallas gruppen partiellt ordnad . $G$

En ordnad grupp är en topologisk grupp med intervalltypstopologi [1] .

Relaterade definitioner

För att underlätta notationen introduceras ytterligare sekundära relationer:

Ett förhållande större än eller lika med : betyder att .

x\geqslant y

y\leqslant x

Förhållandet större än : betyder att och .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Ett förhållande mindre än : betyder att .

x<y

y>x

En formel med något av dessa fyra samband kallas ojämlikhet .

Vi kallar en isomorfism av ordnade grupper en y-isomorfism om den bevarar ordningen.

En undergrupp av en ordnad grupp kallas konvex om alla element mellan elementen tillhör formell notation: om och då En undergrupp med en nolla är uppenbarligen konvex och kallas trivial . $H$ $G$ $g\in G$ $H,$ $H.$ $h_{1},h_{2}\in H$ $h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},$ $g\in H.$

Egenskaper

Ojämlikheter med samma typer av relationer kan läggas till [2] , till exempel:

Om och då

a<b

c<d,

a+c<b+d

En icke- trivial finit grupp kan inte beställas [3] . Med andra ord, en icke-trivial ordnad grupp är alltid oändlig.

Arkimedes

En order i en grupp kallas Archimedean om någon och det finns en sådan naturlig att: $a>0$ $b>0$ $n,$

\underbrace {a+a+\ldots +a}_{{n}}>b

Hölders sats . Varje ordnad arkimedisk grupp är y-isomorf till en undergrupp av den additiva gruppen av reella tal (med den vanliga ordningen); i synnerhet är en sådan grupp alltid kommutativ [4] .

Resultat 1: varje y-automorfism av två undergrupper av den additiva gruppen av reella tal reduceras till dilatation, det vill säga till multiplikation med en fast koefficient [4] .

Resultat 2: gruppen av y-automorfismer i den arkimediska gruppen är isomorf till en undergrupp av den multiplikativa gruppen av positiva reella [4] .

Ett annat kriterium för att vara arkimedisk: en ordnad grupp är arkimedisk om och endast om den inte innehåller icke-triviala konvexa undergrupper [1] .

Positiva och negativa element

Element större än noll i gruppen kallas positiva och mindre än noll- negativa . Att lägga till noll till dessa två uppsättningar resulterar i en uppsättning av icke-negativa respektive icke-positiva element. Om då, om vi lägger till får vi att Detta betyder att de element som är inversa till icke-negativa är icke-positiva, och vice versa. Således tillhör varje element i en ordnad grupp en och endast en av de tre kategorierna: positiv, negativ, noll. $x\geqslant 0,$ $-x,$ $-x\leqslant 0.$

Beteckna mängden icke-negativa element. Då det vill säga, uppsättningen av element motsatt element innehåller alla icke-positiva element. Vi listar egenskaperna för dessa uppsättningar [5] [1] . $P$ $-P,$ $P,$

(P1) är stängd under tillsats.

P

(P2) har exakt ett element gemensamt, gruppens nolla:

-P

P

P\cap (-P)=\{0\}.

(P3) för alla

(-g)+P+g\subset P

g\in G.

(P4)

P\cup (-P)=G.

Konstruktiv konstruktion av ordern

Ett sätt att definiera en linjär ordning i en godtycklig grupp är att välja en delmängd av icke-negativa tal P i den som har egenskaperna som anges ovan [P1–P4]. $G$

Låt detta belysas. Låt oss definiera en linjär ordning på följande sätt [5] : $P$ $G$

x \leqslant y

, if (observera att egenskapen (P3) innebär att if then och även om gruppen inte är kommutativ).

yx\in P

yx\in P,

-x+y\in P,

Alla ovanstående ordningsaxiom är då uppfyllda. Vilken som helst ordnad grupp kan konstrueras (från en oordnad) med den beskrivna proceduren [5] .

Absolut värde

Låt oss definiera det absoluta värdet av elementen i gruppen: Här väljer funktionen det största värdet. $|x|=max(x,-x).$ $max$

Absolutvärdesegenskaper [6] :

$|x|=0$ om och endast om $x=0.$
För alla som inte är noll och bara för dem $x$ $|x|>0.$
De absoluta värdena för motsatta tal är desamma: $|x|=|-x|.$
Triangelojämlikhet : $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$
$|x|\leqslant y$ är liktydigt med $-y\leqslant x\leqslant y.$

Exempel

Den additiva gruppen av heltal , rationaler eller realer med den vanliga ordningen.
Den multiplikativa gruppen av positiva reella tal med den vanliga ordningen.
Betrakta en additiv grupp av reella polynom. Vi definierar mängden icke-negativa element i den som den mängd polynom där den första koefficienten som inte är noll är positiv i den givna notationen. Sedan definierar den genererade ordern en ordnad kommutativ grupp [7] . $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.$ $P$
I den additiva gruppen av alla komplexa tal definierar vi uppsättningen av icke-negativa element enligt följande: om antingen eller Med andra ord, av två komplexa tal, är det med den större reella delen större, och i fallet med en tillfällighet , den med den större imaginära delen. Sedan förvandlas den genererade ordningen till en ordnad kommutativ grupp med en icke-arkimedisk ordning [8] . I den, till exempel, är dessutom summan av varje storhet alltid mindre än 1, så att den imaginära enheten i denna ordning framstår som oändligt liten med avseende på enhet. Den beskrivna ordningen överensstämmer med ordningen av reella tal och med tillägg av komplexa tal, men är inte förenlig med multiplikation: multiplicerar vi med olikhet får vi en felaktig olikhet . Det är bevisat att det är omöjligt att förena båda operationerna, det vill säga att göra komplexa tal till ett ordnat fält . $G$ $P$ $a+bi\in P,$ $a>0,$ $a=0;b\geqslant 0.$ $G$ $0<i<1,$ $i$ $i$ $i>0,$ $-1>0$

Anteckningar

↑ 1 2 3 Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Nechaev, 1975 , sid. 85, sats 5.2.1.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 87, sats 5.2.6.
↑ 1 2 3 Kokorin, Kopytov, 1972 , sid. 27-28.
↑ 1 2 3 Fuchs, 1965 , sid. 25-26.
↑ Bourbaki, 1965 , sid. 253-255.
↑ Kokorin, Kopytov, 1972 , sid. 13.
↑ Fuchs, 1965 , sid. 29.

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynom och fält. Beställda grupper. — M .: Nauka, 1965. — 300 sid. .
Kokorin A. I. , Kopytov V. M. Linjärt ordnade grupper. - M. : Nauka, 1972. - 343 sid.
Linjärt ordnad grupp // Matematisk uppslagsbok (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 322.
Nechaev V. I. Numeriska system. - M . : Utbildning, 1975. - 199 sid.
Fuchs L. Delvis ordnade algebraiska system. - M . : Mir, 1965. - 343 sid.

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform