Grupp (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 maj 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

En grupp i matematik är en icke-tom uppsättning på vilken en associativ binär operation definieras , och för denna operation finns det ett neutralt element (analogt med enhet för multiplikation), och varje element i mängden har en invers . Den gren av allmän algebra som handlar om grupper kallas gruppteori [1] .

Ett exempel på en grupp är mängden heltal , utrustad med additionsoperationen : summan av två heltal ger också ett heltal, noll spelar rollen som ett neutralt element och ett tal med motsatt tecken är det inversa elementet. Andra exempel är uppsättningen av reella tal med additionsoperationen, uppsättningen av planrotationer runt origo . Tack vare den abstrakta definitionen av en grupp genom ett system av axiom som inte är knutet till särdragen i genereringsmängder, har gruppteorin skapat en universell apparat för att studera en bred klass av matematiska objekt av de mest olika ursprung ur synvinkel de allmänna egenskaperna hos deras struktur . Allmänheten av grupper i matematik och utanför gör dem till en väsentlig konstruktion i modern matematik och dess tillämpningar.

Gruppen är i grunden relaterad till begreppet symmetri och är ett viktigt verktyg i studiet av alla dess manifestationer. Till exempel återspeglar en symmetrigrupp egenskaperna hos ett geometriskt objekt: den består av en uppsättning transformationer som lämnar objektet oförändrat, och operationen att kombinera två sådana transformationer som följer efter varandra. Symmetrigrupper såsom punktsymmetrigrupper är till hjälp för att förstå fenomenet molekylär symmetri i kemi; Poincare-gruppen karakteriserar symmetrin av den fysiska rum-tiden , och speciella enhetsgrupper används i standardmodellen av elementarpartikelfysik [2] .

Konceptet med en grupp introducerades av Evariste Galois när han studerade polynom på 1830 -talet [3] .

Modern gruppteori är en aktiv gren av matematiken [4] . Ett av de mest imponerande resultaten uppnåddes i klassificeringen av enkla ändliga grupper , som slutfördes 1981 : beviset för satsen är tiotusentals sidor av hundratals vetenskapliga artiklar av mer än hundra författare publicerade sedan 1955, men artiklar fortsätter att dyka upp på grund av detekterbara luckor i beviset [5] . Sedan mitten av 1980-talet har den geometriska teorin om grupper , som studerar ändligt genererade grupper som geometriska objekt, fått betydande utveckling.

Definition

En icke-tom uppsättning med en binär operation definierad på den : kallas en grupp om följande axiom är sanna : $G$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,*)$

associativitet : ; $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$
förekomsten av ett neutralt element : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
förekomsten av ett inverst element : . $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

De två sista axiomen kan ersättas med ett axiom för förekomsten av en invers operation $*$ :

$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Dessutom är ovanstående axiom inte strikt minimala. För existensen av ett neutralt och inverst element räcker det att ha ett vänsterneutralt element och ett vänsterinverst element. Samtidigt kan det bevisas att de automatiskt kommer att vara vanliga neutrala och inversa element [6] .

Relaterade definitioner

I allmänhet är gruppen inte skyldig att uppfylla kommutativitetsegenskapen .
- Par av element för vilka likheten gäller kallas pendling eller pendling . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- Uppsättningen av element som permuterar med alla element i gruppen kallas gruppens centrum .
- En grupp där två valfria element pendlar kallas kommutativ eller abelisk .
En undergrupp är en delmängdav gruppensom är en grupp med avseende på operationen definierad i. $H$ $G$ $G$
Gruppens ordning är makten (det vill säga antalet av dess element). $(G*)$ $G$
- Om mängden är finit, sägs gruppen vara
finit . $G$

Grupphomomorfismer är kartläggningar av grupper som bevarar gruppstrukturen. Det vill säga, en kartläggning av grupper kallas en homomorfism om den uppfyller villkoret .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

f(a*b)=f(a)\ gånger f(b)

Två grupper sägs vara isomorfa om det finns en grupphomomorfism och en grupphomomorfism så att och , var och . I det här fallet kallas dessa homomorfismer isomorfismer .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

g\colon (H,\times )\to (G,*)

f(g(a)) = a

g(f(b))=b

b\in G

a\i H

För ett element är den vänstra coset för undergrupp mängden , och den högra coset för undergrupp är mängden .

g\in G

H

{\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\))

En normal undergrupp är en undergrupp av en speciell typ vars vänstra och högra sammanfaller. För alla,.

g\in G

gH=Hg

En kvotgrupp är en uppsättning medsatser för en grupp med avseende på dess normala undergrupp, som i sig är en grupp.

Standardnotation

Multiplikativ notation

Vanligtvis kallas gruppoperationen (abstrakt) multiplikation ; sedan tillämpas den multiplikativa notationen :

resultatet av operationen kallas produkten och skrivs eller ; $a\cdot b$ $ab$
det neutrala elementet betecknas med " " eller och kallas en enhet ; $1$ $e$
inversen av elementet skrivs som . $a$ $a^{-1}$

Om gruppoperationen kallas multiplikation , så kallas en sådan grupp själv multiplikativ och, med den fullständiga notationen (när de uttryckligen vill ange gruppoperationen), betecknas de enligt följande :. $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$

Flera produkter , , skrivs som naturliga krafter , , [7] . För ett element är en heltalsgrad korrekt definierad [ 8] , den skrivs på följande sätt: , . $aa$ $aaa$ $...$ $a^2$ $a^{3}$ $...$ $a$ $a^{0}=e$ ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n))$

Additiv notation

I en kommutativ grupp ses den definierande operationen ofta som (abstrakt) addition och skrivs additivt :

skriv " " och kalla det resulterande elementet summan av elementen och ; $a+b$ $a$ $b$
det neutrala elementet betecknas som " " och kallar det noll ; $0$
det omvända elementet till betecknas som " " och kallas dess motsats till elementet; $a$ $-a$ $a$
posten förkortas enligt följande: ; $a+(-b)=ab$
uttryck för formen , , betecknas med symboler , , . $a+a$ $a+a+a$ $-aa$ $2a$ $3a$ $-2a$

Om gruppoperationen kallas addition kallas en sådan grupp själv additiv och betecknas med den fullständiga notationen enligt följande : . [9] Denna term hänvisar endast till det sätt på vilket en operation skrivs i en grupp; det är användbart när flera operationer är definierade på en uppsättning. Till exempel kan man tala om den additiva gruppen av reella tal eller den multiplikativa gruppen av positiva reella tal . Dessutom finns det fall där en additiv grupp är isomorf till en multiplikativ (se Rötter från enhet ). $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$

Exempel

Uppsättningen heltal utrustade med additionsoperationen är en grupp.
Mängden av alla rationella tal utom noll, med multiplikation, är en grupp.

Grupper används inom olika områden inom matematiken. Till exempel i topologi , genom att introducera begreppet en fundamental grupp [10] . Utöver den teoretiska tillämpningen av grupper finns det många sätt att tillämpa grupper i praktiken. Till exempel används de i kryptografi , som bygger på beräkningsgruppteori och kunskap om algoritmer .

Tillämpningen av gruppteori är inte begränsad till matematik, den används ofta inom vetenskaper som fysik , kemi och datavetenskap .

Heltal modulo $n$ - resultatet av modulo-addition är resten av summan dividerad med . Uppsättningen av heltal från till bildar en grupp med denna operation. Det neutrala elementet är , det inversa elementet av k är talet . Ett bra exempel på en sådan grupp $n$ $n$ $0$ $n-1$ $0$ $a\neq 0$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

det kan finnas en klocka med urtavla [11] .

Heltal med additionsoperation. är en kommutativ grupp med ett neutralt element. Heltal med en multiplikationsoperation kommer inte att bilda en grupp. Stängning, associativitet och existensen av ett neutralt element kommer att äga rum, men axiomet om existensen av ett inverst element kommer inte att hålla. Till exempel, dåär det. Det inversa elementet är inte ett heltal [12] . $(\mathbb{Z},+)$ $0$ $a=2$ $a\cdot b=1$ $b = 1/2$
Positiva rationella tal med multiplikationsoperation. Produkten av rationella tal är återigen ett rationellt tal, det reciproka elementet till ett rationellt tal representeras av ett reciprokt, det finns associativitet och det neutrala elementet är ett [12] .
En fri grupp med två generatorer () består av det tomma ordet (gruppenhet) och alla finita ord med fyra tecken,,ochde sominte visas bredvidochinte visas bredvid. Funktionen att multiplicera sådana ord är helt enkelt en kombination av två ord till ett följt av reduktion av paren,,och [13] . $F_{2}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $b^{{-1}}b$
Symmetrisk grupp . Uppsättningen av alla bijektioner av en finit uppsättning in i sig själv med kompositionsoperationen ären finit grupp, som kallas den symmetriska gruppen eller permutationsgruppen . Kardinaliteten för en ändlig symmetrisk gruppför en uppsättningelement är. Fördenna grupp är inte abelisk [14] . Vilken finit grupp som helst är en undergrupp till någon symmetrisk grupp ( Cayleys sats ) [12] [15] . $S_{n}$ $n$ $n!$ $n\geq 3$

Cykliska grupper är uppbyggda av potenser avett element. Ett elementkallas en generator av en cyklisk grupp. Cykliska grupper är alltid kommutativa. Ett exempel på en sådan grupp är de redan nämnda additionsheltalen. Cyklisk kommer att vara en grupp som består av komplexa rötter av enhet , det vill säga en grupp av komplexa tal som uppfyller villkoretoch operationen för att multiplicera komplexa tal [16] . En multiplikativ finit gruppär också cyklisk. Till exempelär ett genererande element i gruppennär: ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \))$ $a$ $a$ $n$ $z$ $z^{n}=1$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$ $3$ $\mathrm {G}$ $n=5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}

Rubiks kubgrupp är en undergrupp av den symmetriska gruppenvars element motsvarar transformationer av Rubiks kub . Sammansättningen av två transformationer är återigen en transformation, för varje transformation finns ett inverst element, det finns en associativitet och ett neutralt element [17] . $S_{{48}}$
Galois grupper . De introducerades i matematiken för att lösa polynomekvationer i en variabel i radikaler . Till exempel ger lösningen av en andragradsekvation rötter:liknande formler för ekvationer av tredje och fjärde graden, men de finns inte för ekvationer av gradoch högre [18] . $ax^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

De enklaste egenskaperna

För varje element är det omvända elementet unikt. $a$ $a^{{-1}}$
Det neutrala elementet är unikt: Om är neutrala, då . ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{-1})^{-1}=a$ .
${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n))$ .
$e^{n}=e$ , för alla [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
Reduktionens lagar är korrekta : $c\cdot a=c\cdot b\Vänsterhögerpil a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$ .
Det omvända elementet till det neutrala är själva det neutrala elementet [19] .
Gruppen innehåller en unik lösning på valfri ekvation eller ; det vill säga, i en grupp är unikt definierade höger och vänster "divisioner" möjliga [1] . $x$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
Skärningspunkten mellan två undergrupper i en grupp är en undergrupp till gruppen [20] . $\mathrm {G}$ $\mathrm {G}$
Lagranges teorem : om är en grupp av ändlig ordning , då är ordningen för någon av dess undergrupper en divisor av gruppens ordning. Det följer av detta att ordningen för varje element också delar ordningen på gruppen [21] . $\mathrm {G}$ $g$ ${\displaystyle g_{1))$ $\mathrm {G_{1}}$
Lagranges teorem och Sylows teorem används för att bestämma antalet undergrupper i en grupp .

Sätt att ställa in en grupp

Gruppen kan ställas in:

Med hjälp av en genererande uppsättning [22] och en uppsättning relationer mellan dess element;
Faktorgrupp , där är någon grupp och är dess normala undergrupp [23] ; $G/H$ $G$ $H$
Den halvdirekta produkten av två grupper och i synnerhet
- En direkt produkt av två grupper och , det vill säga en uppsättning par utrustade med operationen av komponentvis multiplikation: [24] ; $(G,\cdot )$ $(H,\cdot )$ $G\times H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
En fri produkt av två grupper: en fri produkt av grupper är en grupp vars system av generatorer [25] är föreningen av systemen av generatorer och , och systemet av relationer [26] är föreningen av systemen av relationer och [ 27] . $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$

Historik

Det moderna konceptet med en grupp bildades från flera områden inom matematiken. Den ursprungliga drivkraften bakom gruppteorin var sökandet efter lösningar på algebraiska ekvationer med grader större än fyra. Den franske 1800-talsmatematikern Évariste Galois , efter att ha förfinat studierna av Ruffini och Lagrange , gav ett kriterium för lösbarheten av en viss algebraisk ekvation i termer av symmetrigruppen för dess lösningar. Elementen i en sådan Galois - grupp motsvarar vissa permutationer av rötterna . Galois idéer förkastades av hans samtida och publicerades postumt av Liouville 1846. Baserat på samma arbete som Galois studerade Cauchy permutationsgrupper i detalj [3] . Begreppet en ändlig grupp introducerades först av Arthur Cayley 1854 i hans arbete " Om teorin om grupper, beroende på den symboliska ekvationen θ n 1 " ) [28] . $=$

Geometri är det andra området där grupper har tillämpats systematiskt, särskilt symmetrigrupper som en del av den tyske matematikern Felix Kleins " Erlangen - program" . Efter uppkomsten av nya grenar av geometri som hyperbolisk och projektiv geometri , använde Klein gruppteori för att bättre förena dem. Ytterligare utveckling av dessa idéer leder till införandet av begreppet Lie-grupp i matematiken 1884 [3] .

Det tredje området av matematik som bidrog till utvecklingen av gruppteori är talteori . Vissa abeliangrupper användes implicit i Gauss ' Arithmetical Investigations (1801). År 1847 gjorde Ernst Kummer de första försöken att bevisa Fermats sista sats med hjälp av grupper som beskrev primtalsfaktoriseringar. År 1870 generaliserade Kronecker Kummers arbete och gav en definition nära den moderna definitionen av en finit abelsk grupp [3] .

Separationen av gruppteorin började med Camille Jordans Treatise on Changes and Algebraic Equations (1870) [29] . På 1900-talet började gruppteorin utvecklas aktivt. Frobenius och Burnsides banbrytande arbete om representation av finita grupper , Richard Braurs modulära representationsteorin och Schurs notationer föddes . Betydande framsteg i studiet av teorin om Lie-grupper och lokalt kompakta grupper gjordes av Weyl och Cartan . Algebraisk tillägg till dessa teorier var teorin om algebraiska grupper , först formulerad av Claude Chevalley , senare omnämnd i verk av Borel och Tits [3] .

Under läsåret 1960–61 höll University of Chicago ett år med gruppteori som förde samman teoretiker som Daniel Gorenstein, John Thompson och Walter Feith, och lade på så sätt grunden för samarbetet mellan ett stort antal matematiker som senare härledde klassificeringssatsen för alla enkla finita grupper under 1980. -s år. Detta projekt överskred i storlek alla tidigare försök att klassificera grupperna, både när det gäller längden på bevisen och antalet vetenskapsmän som är involverade i detta arbete. Aktuell forskning syftar till att förenkla klassificeringen av grupper. För närvarande fortsätter gruppteorin att utvecklas aktivt och påverka andra grenar av matematiken [5] [30] [31] .

Variationer och generaliseringar

En groupoid är en mängd med en binär operation definierad på sig [32] .
En kvasigrupp är en gruppoid som består av någon mängd och en binär operation så att det för alla finns unika element och sådana att och [33] . $Q$ $\cdot$ $a,b\in Q$ $x$ $y$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
En semigrupp är ett algebraiskt system med en associativ binär operation definierad på den . Uppsättningen av naturliga tal med operation av addition bildar en halvgrupp [34] .
En mängd med en binär operation definierad på den som bara uppfyller de två första axiomen kallas en monoid . Uppsättningen av icke-negativa heltal med additionsoperation bildar en monoid [34] . $G$

Grupper med ytterligare struktur

Många grupper har samtidigt någon annan (ytterligare) matematisk struktur. I kategoriteorin är det här gruppobjekt i kategorin ; med andra ord, dessa är objekt (det vill säga till exempel mängder som har en viss matematisk struktur) för vilka en klass av vissa transformationer (kallade morfismer ) ges, efter gruppens axiom. I synnerhet är varje grupp (i den tidigare definierade betydelsen) samtidigt en mängd , så att en grupp är ett gruppobjekt i kategorin uppsättningar ( morfismerna i denna kategori är mappningar av mängder) [35] .

Ringar

En ring är en uppsättning på vilken de binära operationerna av kommutativ addition och (inte nödvändigtvis kommutativ) multiplikation definieras, dessutom, med avseende på addition, bildar K en grupp och multiplikation är kopplad till addition genom en distributiv lag. $K$

En ring kallas kommutativ och associativ om multiplikationsoperationen som ges på den är kommutativ och följaktligen associativ. Ett element i en ring kallas en enhet om följande villkor är uppfyllt: , där är något element i ringen. $1$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ $a$

Numeriska mängder Z , Q , R är kommutativa associativa ringar med identitet. Uppsättningen av vektorer med funktion av vektormultiplikation är en antikommutativ ring (dvs ) på grund av egenskaperna hos vektormultiplikation [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Fält

Ett fält är en kommutativ associativ ring med en enhet, och med avseende på addition bildar den en grupp, och dess element som inte är noll är en grupp genom multiplikation. Fältet kan inte bestå av en enda nolla. Uppsättningarna av rationella och reella tal är fält. I alla fält endast om och/eller [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ $a=0$ $b=0$

Topologiska grupper

Vissa topologiska rum kan samtidigt förses med en gruppstruktur. I det här fallet kan ett sådant utrymme visa sig vara en topologisk grupp .

En topologisk grupp är nämligen en grupp som samtidigt är ett topologiskt utrymme , och multiplikationen av gruppens element och operationen av att ta det inversa elementet visar sig vara kontinuerliga avbildningar i den använda topologin [38] . Topologiska grupper är gruppobjekt i topologiska utrymmen Top [35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

De viktigaste exemplen på topologiska grupper är den additiva gruppen av realer , den multiplikativa gruppen av realer som inte är noll , den fullständiga linjära gruppen , den speciella linjära gruppen , den ortogonala gruppen , den speciella ortogonala gruppen , den enhetliga gruppen , den speciella enhetsgruppen [39 ] . $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ $GL(n)$ $SL(n)$ $På)$ $SO(n)$ $Fn)$ $Sol)$

Lögngrupper

En Lie-grupp (till ära av Sophus Lie ) är en grupp som samtidigt är ett differentierbart mångfald över fältet K (fältet av reella eller komplexa tal kan fungera som det senare), och multiplikationen av elementen i gruppen och operationen att ta det inversa elementet visar sig vara jämna mappningar (i det komplexa fallet krävs holomorfi av de introducerade mappningarna). Dessutom är varje komplex -dimensionell Lie-grupp samtidigt en riktig Lie-grupp av dimension [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $n$ $2n$

Alla konkreta grupper som ges i föregående underavsnitt som exempel på topologiska grupper är samtidigt Lie-grupper.

Lögngrupper uppstår naturligt när man överväger kontinuerliga symmetrier ; alltså, Lie-gruppen bildas [41] av isometrier av formen , där är det euklidiska pekarutrymmet . Den resulterande gruppen, betecknad [42] , är en undergrupp till en annan Lie-grupp, den affina gruppen av utrymmet , betecknad [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ $Is(\mathrm {E} )$ $\mathrm {E}$ $Aff(\mathrm {E} )$

Lögngrupper är de bästa av mångfalden när det gäller rikedomen av strukturen de har, och är som sådana mycket viktiga i differentialgeometri och topologi . De spelar också en framträdande roll inom geometri, kalkyl, mekanik och fysik [40] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grunderna i gruppteori. - 3:e upplagan - Moskva: Nauka, 1982. - S. 16. - 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grunderna i gruppteori. - 3:e uppl. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 9-14. — 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey // Mathematics Magazine : a journal . - 1986. - Oktober ( vol. 59 , nr 4 ). - S. 195-215 . - doi : 10.2307/2690312 .
↑ Endast 2005, enligt MathSciNet , publicerades mer än 2 tusen forskningsartiklar inom området gruppteori och generaliseringar .
↑ 1 2 Gorenstein D. Finita enkla grupper. Introduktion till deras klassificering = Finita enkla grupper. En introduktion till deras klassificering / ed. A.I. Kostrikin. - Världen. - Moskva: Mir, 1985. - S. 9-17. — 352 sid. - 5250 exemplar.
↑ Sagalovich, 2010 , sid. femtio.
↑ Den naturliga graden av ett element är korrekt bestämt på grund av associativitet
↑ Korrekthet följer av det inversa elementets unika karaktär.
↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grunderna i gruppteori. - 3:e upplagan - Moskva: Nauka, 1982. - S. 18. - 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ Hatcher Allen. Algebraisk topologi. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - P. 30. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ M. Welschenbach. Kapitel 5 // Kryptografi i C och C++ i aktion . - M . : "Triumph", 2004. - S. 81 -84. — 464 sid. — ISBN 5-89392-083-X .
↑ 1 2 3 Olshansky A. Yu. Geometri för att definiera relationer i en grupp. - Nauka, 1989. - S. 18-19. — 448 sid. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grunderna i gruppteori. - 3:e uppl. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 122-124. — 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ Kurosh A. G. Theory of groups / ed. Brudno K.F. - 3:e uppl. - Moskva: Nauka, 1967. - S. 34. - 648 sid. — 20 000 exemplar.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra och talteori. - Högre skola, 1979. - S. 351. - 559 sid. - 40 000 exemplar.
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2:a uppl. - Factorial Press, 2001. - S. 162-163. — 544 sid. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Schonert, Martin. Analysera Rubiks kub med GAP . Hämtad 19 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ Postnikov M. M. Galois teori. - Moskva: Fizmatgiz, 1963. - S. 126-127. — 220 s. — 11 500 exemplar.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grunderna i gruppteori. - 3:e uppl. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 17. - 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ Sagalovich, 2010 , sid. 56.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra och talteori. - Högre skola, 1979. - S. 353. - 559 sid. - 40 000 exemplar.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. - 3:e uppl. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 24. - 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. - 3:e uppl. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 45-46. — 288 sid. - 11 800 exemplar.
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2:a. - Factorial Press, 2001. - S. 409, 415. - 544 sid. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 23.
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 52.
↑ Olshansky A. Yu. Geometri för att definiera relationer i en grupp. - Nauka, 1989. - S. 330-331. — 448 sid. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Cayley (1854) "Om teorin om grupper, beroende på den symboliska ekvationen θ n = 1", Philosophical Magazine , 4:e serien, (42): 40-47.
↑ Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Genomgång av allmän psykologi. - New York : Dover Publications , 2007. - P. 154. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - Augusti ( vol. 52 , nr 7 ). - s. 728-735 .
↑ Wilson, Robert A. De ändliga enkla grupperna . — Examentexter i matematik. - New York: Springer-Verlag , 2009. - S. 2 -5. - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
↑ Belousov V. D. Grunderna i teorin om kvasigrupper och loopar. - Nauka, 1967. - S. 5. - 223 sid. - 2800 exemplar.
↑ Belousov V. D. Grunderna i teorin om kvasigrupper och loopar. - Nauka, 1967. - S. 6. - 223 sid. - 2800 exemplar.
↑ 1 2 Kulikov L. Ya. Algebra och talteori. - Högre skola, 1979. - S. 346-347. — 559 sid. - 40 000 exemplar.
↑ 1 2 Bucur I., Deleanu A. Introduktion // Introduktion till teorin om kategorier och funktorer = Introduktion till teorin om kategorier och funktioner / transl. från engelska. D. A. Raikova , V. F. Retakh . - M . : Mir, 1972. - S. 9-10. — 259 sid.
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2:a uppl. - Factorial Press, 2001. - S. 14-15. — 544 sid. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2:a uppl. - Factorial Press, 2001. - S. 16. - 544 sid. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Bourbaki N. Allmän topologi. Topologiska grupper. Siffror och relaterade grupper och mellanslag. M. : Nauka, 1969. S. 12.
↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Inledande topologikurs. Geometriska huvuden. M .: Nauka, 1977. S. 268-271.
↑ 1 2 Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2:a uppl. - Factorial Press, 2001. - S. 501. - 544 sid. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Linjär algebra och geometri. M. : Nauka, 1986. S. 201.
↑ Dieudonné J. Linjär algebra och elementär geometri. M. : Nauka, 1972. S. 129.
↑ Dolgachev I. V., Shirokov A. P. Affint rymd // Matem. encyklopedi. T. 1. M .: Sov. uppslagsverk, 1982. Stb. 362-363.

Litteratur

Vetenskaplig litteratur

Sagalovich Yu. L. Introduktion till algebraiska koder - 2nd ed. - M. : IPPI RAN , 2010. - 320 sid. — ISBN 978-5-901158-14-2
Belonogov V. A. Uppgiftsbok om gruppteori. Moskva: Nauka, 2000.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. Moskva: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Moskva: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Gruppteori . (3:e upplagan). Moskva: Nauka, 1967.
Hall M. Teori om grupper. M.: Förlag för utländsk litteratur, 1962.
Gorenstein D. Finita grupper. NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.

Populärlitteratur

Aleksandrov PS Introduktion till gruppteori . - T. 7. - ( "Bibliotek Kvant" ).
Sadovsky L., Arshinov M. Grupper // Kvant . - 1976. - Nr 10 .
Grupp // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy , 1985. - S. 88 -94. — 352 sid.

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online) Brockhaus Universalis Universalis
I bibliografiska kataloger	GND : 4022379-6