Cayleys teorem (gruppteori)

I gruppteorin säger Cayleys teorem att vilken ändlig grupp som helst är isomorf till någon undergrupp av permutationsgruppen av uppsättningen element i den gruppen. I detta fall jämförs varje element med permutationen som ges av identiteten där g är ett godtyckligt element i gruppen G . $(G,\cirkel)$ $a\i G$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}(g)=a\cirkel g,$

Bevis

Låt vara en ändlig grupp av ordning . Vi behöver konstruera en isomorfism från in i permutationsundergruppen . För att göra detta räcker det att associera med varje element g i gruppen G en permutation av element i G själv (man kan identifiera en permutation av G med en permutation av någon annan uppsättning genom att använda en en-till-en-överensstämmelse av deras element) . Med andra ord måste du konstruera en funktion , där är en samling permutationer av G. Gruppen bestäms med hjälp av multiplikation till vänster . $G$ $n$ $G$ $S_{n}$ $\varphi :G\rightarrow S_{G}$ $S_{G}$ $\varphi (g):G\rightarrow G$ $(\varphi (g))(x)=gx$

Låt oss bevisa att vi har fått en permutation. Om , då , eftersom G är en grupp, i synnerhet, är alla dess element inverterbara (det finns ). Dessutom är verkan på ett element i gruppen x lika med och detta är lika med tanke på associativiteten hos G. Slutligen, om då och därför är injektiv (1-1). $gx=gy$ $x=y$ $g^{{-1}}$ $\varphi (gh)$ $\ (\varphi (gh))(x)=(gh)x$ $\varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)$ $\varphi (g)=\varphi (h)$ $g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h$ $\varphi$

Exempel

Betrakta en grupp med en given operation . Hitta dess avbildning i det vill säga hitta en isomorf undergrupp ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $+.$ $S_{4},$ $S_{4},$ $G.$

Låt oss definiera kartläggningen ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4))$

\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}

\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}

\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}

\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}

I denna konstruktion sätter permutationen för varje "tilläggstabell" med numret . Till exempel går siffran 2 in till summan (gruppoperation ) 2 (det här talet i sig) och 1 (elementet i gruppen för vilken permutationen bestäms). Definierar alltså identitetskartläggningen . $\varphi (n)$ $n$ $n$ $\varphi (1)$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $\varphi (0)$ $\mathrm {id} _{G}(g)=g$

Kartläggningen är en homomorfism . Till exempel . Det följer av homomorfismens egenskaper, i synnerhet, att uppsättningen av resulterande permutationer bildar en grupp. $\varphi$ $\varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)$

Litteratur

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2:a upplagan), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Aleksandrov PS Introduktion till gruppteori. Kvantbibliotek. Problem. 7. M.: Nauka, 1980.