Geometrisk gruppteori är en gren av matematiken som studerar ändligt genererade grupper med hjälp av sambanden mellan deras algebraiska egenskaper och de topologiska och geometriska egenskaperna hos de utrymmen som sådana grupper verkar på, eller grupperna själva, betraktade som geometriska objekt (vilket vanligtvis görs av med tanke på Cayley-grafen och motsvarande vokabulärmått ).
Geometrisk gruppteori, som en separat gren av matematiken, dök upp relativt nyligen och började sticka ut tydligt i slutet av 1980-talet och början av 1990-talet. Geometrisk gruppteori samverkar med lågdimensionell topologi , hyperbolisk geometri , algebraisk topologi , beräkningsgruppteori . Hon är också förknippad med komplexitetsteori , matematisk logik , studiet av Lie-grupper och deras diskreta undergrupper , dynamiska system , sannolikhetsteori , K-teori och andra områden inom matematiken.
Gromovs teorem om grupper av polynomtillväxt bör betraktas som det första resultatet i geometrisk gruppteori . Beviset använder för första gången den så kallade Gromov-Hausdorff-konvergensen .
Ändå gjordes huvudsteget i bildandet av den geometriska teorin om grupper i Gromovs papper om hyperboliska grupper. [1] Definitionen av en hyperbolisk grupp som ges i denna artikel gav en tydlig geometrisk tolkning av gruppteorin med små annulleringar .