Lobachevskys geometri

Lobachevsky geometri (eller hyperbolisk geometri ) är en av de icke-euklidiska geometrierna , en geometrisk teori baserad på samma grundläggande axiom som vanlig euklidisk geometri , med undantag för axiomet av parallella linjer , som ersätts av dess negation .

Det euklidiska axiomet om paralleller (mer exakt, ett av påståendena som motsvarar det, i närvaro av andra axiom) kan formuleras på följande sätt:

I ett plan genom en punkt som inte ligger på en given linje kan exakt en linje dras parallellt med den givna linjen.

I Lobachevsky-geometri accepteras istället följande axiom:

Genom en punkt som inte ligger på en given linje passerar minst två linjer som ligger med den givna linjen i samma plan och inte skär den.

Lobatsjovskijs axiom är en exakt negation av Euklids axiom (om alla andra axiom är uppfyllda), eftersom fallet när ingen rät linje passerar genom en punkt som inte ligger på en given linje, som ligger med en given linje i samma plan och gör inte skär den, är utesluten på grund av andra axiom (axiom för absolut geometri ). Så, till exempel, sfärisk geometri och Riemanns geometri , där två linjer skär varandra, och därför varken Euklids parallellaxiom eller Lobachevskys axiom gäller, är oförenliga med absolut geometri.

Lobachevskys geometri har omfattande tillämpningar inom både matematik och fysik. Dess historiska och filosofiska betydelse ligger i det faktum att Lobatsjovskij genom sin konstruktion visade möjligheten till en geometri som skiljer sig från euklidisk , vilket markerade en ny era i utvecklingen av geometri , matematik och vetenskap i allmänhet.

Historik

Försök att bevisa det femte postulatet

Utgångspunkten för Lobachevskys geometri var Euklids femte postulat, ett axiom som motsvarar det parallella axiomet . Det fanns på listan över postulat i Euklids element . Den relativa komplexiteten och icke-intuitiviteten i dess formulering framkallade en känsla av dess sekundära natur och gav upphov till försök att härleda den som ett teorem från resten av Euklids postulat.

Bland de många som försökte bevisa det femte postulatet fanns i synnerhet följande framstående vetenskapsmän.

Forntida grekiska matematiker Ptolemaios ( II-talet ) och Proclus ( V-talet ) (baserat på antagandet om ett ändligt avstånd mellan två parallella).
Ibn al-Haytham från Irak (slutet av 900-talet - början av 1000 - talet) (baserat på antagandet att slutet av en rörelse vinkelrät mot en rät linje beskriver en rät linje).
De iranska matematikerna Omar Khayyam (andra hälften av 1000- talet - början av 1100 - talet) och Nasir ad-Din at-Tusi ( 1300-talet ) (baserat på antagandet att två konvergerande linjer inte kan bli divergerande om de fortsätter utan att korsa).
Det första försöket i Europa som vi känner till att bevisa axiomet för Euklids parallellism föreslogs av Gersonides (alias Levi ben Gershom, XIV-talet ), som bodde i Provence (Frankrike ). Hans bevis baserades på påståendet om existensen av en rektangel [1] .
Den tyske matematikern Clavius (1574) [2] .
italienska matematiker
- Cataldi (för första gången 1603 publicerade han ett verk helt ägnat åt frågan om paralleller).
- Borelli (1658) [3] .
Engelske matematikern Wallis (1663, publicerad 1693) (baserat på antagandet att det för varje figur finns en liknande men inte lika siffra).
Franske matematikern Legendre (1800) (baserat på antagandet att man genom varje punkt inuti en spetsig vinkel kan dra en linje som skär båda sidor av vinkeln; han hade också andra försök till bevis).

I dessa försök att bevisa det femte postulatet, introducerade matematiker (explicit eller implicit) något nytt påstående som verkade mer uppenbart för dem.

Försök har gjorts att använda bevis genom motsägelse:

den italienske matematikern Saccheri ( 1733 ) (efter att ha formulerat ett uttalande som motsäger postulatet, härledde han ett antal konsekvenser och, som felaktigt erkände några av dem som motsägelsefulla, ansåg han postulatet bevisat),
Den tyske matematikern Lambert (cirka 1766 , publicerad 1786 ) ( efter att ha utfört forskning erkände han att han inte kunde hitta motsägelser i systemet han byggde).

Slutligen började en förståelse uppstå att det är möjligt att konstruera en teori baserad på det motsatta postulatet:

Tyska matematiker Schweikart ( 1818 ) och Taurinus ( 1825 ).
Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss

Skapande av icke-euklidisk geometri

Lobachevsky, i On the Principles of Geometry ( 1829 ), hans första tryckta arbete om icke-euklidisk geometri, uttalade tydligt att det femte postulatet inte kan bevisas på grundval av andra premisser för den euklidiska geometrin, och att antagandet om ett postulat motsatt till Euklids postulat tillåter en att konstruera en geometri som är lika meningsfull och fri från motsägelser, såväl som euklidisk.

Samtidigt och oberoende kom Janos Bolyai till liknande slutsatser , och Carl Friedrich Gauss kom till sådana slutsatser ännu tidigare. Bolyais arbete väckte dock ingen uppmärksamhet, och han övergav snart ämnet, medan Gauss i allmänhet avstod från att publicera, och hans åsikter kan endast bedömas utifrån några få brev och dagboksanteckningar [4] . Till exempel, i ett brev från 1846 till astronomen G. H. Schumacher , talade Gauss om Lobachevskys arbete på följande sätt:

Detta arbete innehåller grunderna för den geometri som skulle behöva äga rum och skulle dessutom utgöra en strikt konsekvent helhet, om den euklidiska geometrin inte skulle vara sann ... Lobatjovskij kallar det "imaginär geometri"; Du vet att jag i 54 år (sedan 1792 ) har delat samma åsikter med någon utveckling av dem, som jag inte vill nämna här; Jag hittade alltså inget nytt för mig själv i Lobatsjovskys verk. Men i ämnets utveckling gick inte författaren den väg som jag själv gick; den är mästerligt gjord av Lobatsjovskij i en verkligt geometrisk anda. Jag anser mig vara skyldig att fästa er uppmärksamhet på detta arbete, som säkert kommer att ge er en alldeles exceptionell glädje. [5]

Som ett resultat agerade Lobatsjovskij som den första ljusaste och mest konsekventa propagandisten av den nya geometrin. Även om Lobatsjovskijs geometri utvecklades som en spekulativ teori, och Lobatsjovskij själv kallade den "imaginär geometri", var det ändå han som först öppet föreslog den inte som ett sinnesspel, utan som en möjlig och användbar teori om rumsliga relationer. Beviset på dess konsistens gavs dock senare, när dess tolkningar (modeller) angavs.

Uttalande av Lobatsjovskijs geometri

Lobatsjovskij dog 1856 . Några år senare publicerades Gauss korrespondens, inklusive flera strålande recensioner av Lobatsjovskijs geometri, och detta uppmärksammade Lobatsjovskijs arbete. Deras översättningar till franska och italienska, kommentarer från framstående geometrar dyker upp. Bolyais verk publiceras också .

År 1868 publicerade Beltrami en artikel om tolkningar av Lobachevskys geometri. Beltrami bestämde metriken för Lobachevsky-planet och bevisade att det överallt har konstant negativ krökning. [6] En sådan yta var känd redan då - detta är Minding- pseudosfären . Beltrami drog slutsatsen att Lobachevsky-planet är lokalt isometriskt för en del av pseudosfären (se nedan). I samma artikel ger Beltrami även två modeller, nu kallade Klein- modellen och Poincaré-modellen .

I dessa tidningar gav Beltrami ett tydligt geometriskt bevis på konsistensen av den nya geometrin, närmare bestämt att Lobachevskys geometri är inkonsekvent om och endast om Euklids geometri är inkonsekvent. Lobatsjovskij hade också ett sådant bevis, men det var mer komplicerat, åt ena hållet gick den euklidiska planmodellen i Lobatsjovskijs geometri, den byggdes med hjälp av modellen, som i Beltrami, [7] gick analytiskt åt andra hållet.

Weierstrass ägnar ett speciellt seminarium åt Lobachevskys geometri vid universitetet i Berlin ( 1870 ). Kazan Physical and Mathematical Society organiserar publiceringen av Lobachevskys fullständiga verk, och 1893 firas hundraårsdagen för den ryska matematikern i internationell skala.

Modeller

Modeller av Lobatsjovskijs geometri gav bevis på dess konsistens, mer exakt visade att Lobatjovskijs geometri är lika konsekvent som Euklids geometri.

Lobatsjovskij gav själv grunden till sin analytiska geometri, och genom att göra det skisserade han faktiskt en sådan modell. Han märkte också att horosfären i Lobachevsky-rymden är isometrisk för det euklidiska planet, vilket faktiskt föreslår en omvänd modell. Men själva begreppet modell har förtydligats i Beltramis och andras arbete.

Pseudosfär

Den italienske matematikern Eugenio Beltrami märkte 1868 att geometrin på en bit av Lobachevsky-planet är densamma som geometrin på ytor med konstant negativ krökning, vars enklaste exempel är pseudosfären . Om punkter och räta linjer på en ändlig bit av Lobachevsky-planet är förknippade med punkter och kortaste linjer ( geodesics ) på pseudosfären och rörelse i Lobachevsky-planet är förknippad med en figurs rörelse längs pseudosfären med böjning, dvs. en deformation som bevarar längden, då kommer varje sats av Lobatsjovskij geometri att motsvara det faktum att på pseudosfären. Samtidigt förstås längder, vinklar, områden i betydelsen av deras naturliga mätning på en pseudosfär.

Men här ges endast en lokal tolkning av geometrin, det vill säga på ett begränsat område, och inte på hela Lobachevsky-planet. Dini-ytan ger en liknande modell - det är en isometrisk nedsänkning av en region av Lobachevsky-planet som avgränsas av en horocykel .

Den projektiva modellen

Lobachevsky-planmodellen, först föreslagen av Beltrami.

Planet är det inre av cirkeln, den räta linjen är ackordet i cirkeln utan ändar, och punkten är punkten inuti cirkeln. "Rörelse" är varje omvandling av en cirkel till sig själv, vilket översätter ackord till ackord. Följaktligen kallas figurerna inuti cirkeln lika, som översätts till varandra genom sådana transformationer. Sedan visar det sig att varje geometriskt faktum som beskrivs i ett sådant språk representerar ett teorem eller ett axiom för Lobatsjovskijs geometri. Med andra ord är varje uttalande av Lobatsjovskijs geometri på planet inget annat än ett uttalande av euklidisk geometri, som hänvisar till figurerna inuti cirkeln, endast återberättande i de angivna termerna. Det euklidiska axiomet om paralleller är uppenbarligen inte uppfyllt här, eftersom genom en punkt som inte ligger på ett givet ackord a (det vill säga "rät linje"), passerar ett valfritt antal ackord ("räta linjer") som inte skär varandra det (till exempel , ). $P$ $b$ $b'$

I denna modell bestäms avståndet mellan punkter och på ett ackord genom dubbelrelationen $A$ $B$ $NM$

\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\right)

I det yttre absoluta realiseras anti-de Sitter-utrymmets geometri .

Konform euklidisk modell, Poincaré-modell

En annan Lobachevsky-planmodell föreslagen av Beltrami.

Det inre av en cirkel tas som Lobachevsky-planet, cirkelbågarna vinkelräta mot omkretsen av den givna cirkeln och dess diametrar betraktas som raka linjer, rörelserna är transformationer som erhålls genom kombinationer av inversioner med avseende på cirklar, vars bågar tjäna som raka linjer.

Poincaré-modellen är anmärkningsvärd genom att vinklarna i den representeras av vanliga vinklar.

Modellera på en hyperboloid i Minkowski-rymden

Tänk på en hyperboloid med två ark i signaturutrymmet . Låt oss välja toppen av komponenterna . Observera att den här komponenten är rymdliknande. I synnerhet definierar den kvadratiska formen ett mått på den; med detta mått är den övre komponenten en modell av Lobachevsky-planet. $(+,+,-)$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$ $t>0$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$

Raka linjer (med andra ord geodesik ) i denna modell är sektioner av hyperboloiden av plan som passerar genom origo.

En perspektivprojektion på ett horisontellt plan centrerat vid origo översätter denna modell till en projektiv modell. En perspektivprojektion på ett horisontellt plan centrerat vid en punkt översätter denna modell till en konformt euklidisk. $(0,0,-1)$

En yta med konstant negativ krökning

En annan analytisk definition av Lobatsjovskijs geometri är att Lobatsjovskijs geometri definieras som geometrin för ett Riemannskt rum med konstant negativ krökning. Denna definition gavs faktiskt redan 1854 av Riemann och inkluderade en modell av Lobachevskys geometri som geometri på ytor med konstant krökning. Riemann kopplade dock inte direkt ihop sina konstruktioner med Lobatsjovskijs geometri, och hans rapport, där han redovisade dem, förstods inte och publicerades först efter hans död ( 1868 ).

Ett exempel på en sådan yta är en sfär med imaginär radie

({\vec {x)),{\vec {x)))=-1

x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

i Minkowski rymden . Se avsnittet Modell på en hyperboloid .

Innehållet i Lobatsjovskijs geometri

Lobatsjovskij byggde sin geometri, utgående från de grundläggande geometriska begreppen och hans axiom, och bevisade satser med en geometrisk metod, liknande hur det görs i Euklids geometri. Teorin om parallella linjer tjänade som grund, eftersom det är här som skillnaden mellan Lobachevskys geometri och Euklids geometri börjar. Alla satser som inte är beroende av det parallella axiomet är gemensamma för båda geometrierna; de bildar den så kallade absoluta geometrin , som inkluderar till exempel tecken på trianglars likhet. Efter teorin om paralleller byggdes andra sektioner, inklusive trigonometri och principerna för analytisk och differentialgeometri .

Låt oss presentera (i modern notation) flera fakta om Lobatjovskijs geometri som skiljer den från Euklids geometri och som fastställdes av Lobatjovskij själv.

Genom en punkt P som inte ligger på en given linje R (se figur) finns det oändligt många linjer som inte skär R och ligger i samma plan med den; bland dem finns två extrema x , y , som kallas asymptotiskt parallella (ibland bara parallella) med den räta linjen R , och resten kallas ultraparallell .

Vinkeln mellan den vinkelräta PB från P till R och var och en av de asymptotiskt parallella (kallad parallellitetsvinkel ) minskar från 90° till 0° när punkten P rör sig bort från linjen (i Poincare-modellen, vinklarna i vanlig mening sammanfaller med vinklarna i betydelsen av Lobatsjovskij, och därför kan detta faktum ses direkt). Å ena sidan närmar sig parallellen x å ena sidan (och y på den motsatta sidan) asymptotiskt a , och å andra sidan rör den sig oändligt bort från den (avstånd är svåra att bestämma i modeller, och därför är detta faktum inte direkt synlig). $\theta$

För en punkt belägen på ett avstånd PB = a från en given rät linje (se figur), gav Lobachevsky en formel för parallellitetsvinkeln П(a) [8] :

\theta =\Pi (a)=2\operatörsnamn {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q))}

Här är q någon konstant relaterad till krökningen av Lobachevsky-rummet. Den kan fungera som en absolut längdenhet på samma sätt som i sfärisk geometri intar sfärens radie en speciell position.

Om linjerna har en gemensam vinkelrät, är de ultraparallella, det vill säga de divergerar oändligt på båda sidor om den. Till någon av dem är det möjligt att återställa vinkelräta som inte når den andra linjen.

I Lobatsjovskijs geometri finns inga liknande utan ojämlika trianglar; trianglar är kongruenta om deras vinklar är lika.

Summan av vinklarna i en triangel är mindre och kan godtyckligt vara nära noll (skillnaden mellan 180° och summan av vinklarna för triangeln ABC i Lobatsjovskijs geometri är positiv - det kallas defekten i denna triangel). Detta är direkt synligt i Poincaré-modellen. Skillnaden , där , , är triangelns vinklar, är proportionell mot dess area: $\pi$ $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

S=q^{2}\cdot \delta

Det kan ses från formeln att det finns en maximal area av en triangel, och detta är ett ändligt tal: . $\pi q^{2}$

En linje med lika avstånd från en rät linje är inte en rät linje, utan en speciell kurva som kallas en ekvidistant eller hypercykel .

Gränsen för cirklar med oändligt ökande radie är inte en rät linje, utan en speciell kurva som kallas gränscirkeln eller horocykeln .

Gränsen för sfärer med oändligt ökande radie är inte ett plan, utan en speciell yta - den begränsande sfären eller horosfären ; det är anmärkningsvärt att den euklidiska geometrin håller fast vid det. Detta tjänade Lobatsjovskij som grunden för härledningen av trigonometriformler.

Omkretsen är inte proportionell mot radien utan växer snabbare. I synnerhet i Lobachevsky-geometrin kan talet inte definieras som förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och dess diameter. $\pi$

Ju mindre regionen är i rymden eller på Lobachevsky-planet, desto mindre skiljer sig de geometriska relationerna i denna region från relationerna i den euklidiska geometrin. Vi kan säga att i en oändlig region äger den euklidiska geometrin rum. Till exempel, ju mindre triangeln är, desto mindre skiljer sig summan av dess vinklar från ; ju mindre cirkeln är, desto mindre skiljer sig förhållandet mellan dess längd och radie från , etc. En minskning av arean motsvarar formellt en ökning av längdenheten, därför, med en oändlig ökning av längdenheten, Lobachevsky geometriformler förvandlas till formlerna för euklidisk geometri. Euklidisk geometri är i denna mening det "begränsande" fallet för Lobatsjovskijs geometri. $\pi$ $2\pi$

Fyller planet och rymden med vanliga polytoper

Lobachevsky-planet kan inte bara beläggas med vanliga trianglar , kvadrater och hexagoner , utan också med andra vanliga polygoner . Samtidigt måste minst 7 trianglar, 5 kvadrater, 4 fem- eller hexagoner, eller 3 polygoner med fler än 6 sidor konvergera vid en vertex av parketten, det vill säga antalet olika plattsättningar är oändligt och med hjälp av Schläfli-symbolen ( M stycken N -gons) kan alla plattsättningar av Lobachevsky-planet skrivas på följande sätt: $\left\{N,M\right\}$

{3, 7}, {3, 8}, …, dvs {3, M }, där M ≥7;
{4, 5}, {4, 6}, …, dvs {4, M }, där M ≥5;
{5, 4}, {5, 5}, …, dvs {5, M }, där M ≥4;
{6, 4}, {6, 5}, …, dvs {6, M }, där M ≥4;
{N, M}, där N ≥7, M ≥3.

Varje plattsättning kräver en strikt definierad storlek på en enhet N - gon, i synnerhet måste dess yta vara lika med: $\left\{N,M\right\}$

S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\right)

Till skillnad från det vanliga utrymmet (tredimensionellt euklidiskt utrymme), som kan fyllas med vanliga polyedrar på bara ett sätt (8 kuber vid en vertex, eller fyra vid en kant {4,3,4}), kan Lobachevskys tredimensionella utrymme vara kaklade med vanliga polyedrar , såväl som platt, på ett oändligt antal sätt. Med hjälp av Schläfli-symbolen ( M bitar av N -goner konvergerar vid en vertex , och P polyedrar konvergerar vid varje kant ), kan alla plattsättningar skrivas på följande sätt: $\left\{N,M,P\right\}$

{3,3,6}, {3,3,7}, …, dvs {3,3, P }, där P ≥6;
{4,3,5}, {4,3,6}, …, dvs {4,3, P }, där P ≥5;
{3,4,4}, {3,4,5}, …, dvs {3,4, P }, där P ≥4;
{5,3,4}, {5,3,5}, …. Det vill säga {5,3, P }, där P ≥4;
{3,5,3}, {3,5,4}, …, dvs {3,5, P }, där P ≥3.

Polytoper av sådana partitioner kan ha oändlig volym, med undantag för ett ändligt antal partitioner av utrymme i vanliga polyedrar med ändlig volym:

{3,5,3} (tre icosaedrar per kant)
{4,3,5} (fem kuber per kant)
{5,3,4} (fyra dodekaedrar per kant)
{5,3,5} (fem dodekaedrar per kant)

Dessutom finns det 11 sätt att fylla Lobachevsky-utrymmet med vanliga mosaikhorosfärer ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, { 4,4, 3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3, 6,3}).

Applikationer

Lobatsjovskij var säker på att vårt verkliga utrymme är euklidiskt. Annars skulle den årliga parallaxen för varje stjärna vara större än ett visst värde, endast beroende på rymdens krökning. Med hjälp av parallaxerna för några stjärnor som beräknades vid den tiden (som visade sig vara mycket felaktiga) uppskattade Lobatsjovskij att vinklarna i en triangel med sidor ungefär lika med radien på jordens omloppsbana skiljer sig från 180 ° med högst 0,00037 ″ (senare A.P. Kotelnikov visade att Lobatsjovskij på denna plats hade ett fel av två storleksordningar eller ett stavfel: hans data visar att denna skillnad inte kan vara mer än 0,0000037″). Enligt Lobatsjovskij visar dessa beräkningar att den euklidiska geometrin exakt beskriver det fysiska rummet [9] .
Lobatsjovskij tillämpade själv sin teori på beräkningen av bestämda integraler och tolkade dem som uttryck för längden, arean eller volymen av figurer i hans geometri. [tio]
I teorin om funktioner för en komplex variabel hjälpte Lobatsjovskys geometri till att bygga teorin om automorfa funktioner . Sambandet med Lobatsjovskijs geometri var här utgångspunkten för Poincarés forskning , som skrev att "icke-euklidisk geometri är nyckeln till att lösa hela problemet." [11] [12]
Ett nära samband etablerades mellan Lobatsjovskijs geometri och kinematik i den speciella (privata) relativitetsteorin . Detta samband bygger på det faktum att likheten uttrycker lagen om ljusets spridning

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2))

när delas med , det vill säga för ljusets hastighet, ger

t^{2}

v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}

- ekvationen för en sfär i rymden med koordinater , , - komponenter av hastigheten längs x , y , z -axlarna (i "hastighetsutrymmet"). Lorentz-transformationerna bevarar denna sfär och, eftersom de är linjära, omvandlar de direkta hastighetsutrymmena till raka linjer. Därför, enligt Klein-modellen, i utrymmet av hastigheter inuti en sfär med radie c , det vill säga för hastigheter mindre än ljusets hastighet, äger Lobachevsky-geometrin rum. [elva]

v_{x}

v_{y}

v_{z}

Med hjälp av Klein-modellen ges ett mycket enkelt och kort bevis på fjärilssatsen i euklidisk geometri.

Myter

Det finns en utbredd missuppfattning (som återspeglas i synnerhet i icke-matematisk litteratur och folklore) att i Lobatsjovskijs geometri "korsar parallella linjer" [13] [14] . Det är inte sant. För det första kan parallella linjer inte skära varandra (i någon geometri) enligt definitionen av parallellism . För det andra, i Lobatjovskijs geometri är det just möjligt att dra igenom en punkt som inte ligger på en given linje, oändligt många linjer som inte skär den.

Se även

Anteckningar

↑ Rosenfeld B. A. Bevis för det femte postulatet av Euklid av medeltida matematiker Hassan ibn al-Khaytham och Leo Gersonides. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
↑ Clavius C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.
↑ Borelli GA Euclidus Restitutus. — Pisa, 1658.
↑ Man brukar säga att han var rädd för att bli missförstådd. Ja, i ett brev, som berör frågan om det femte postulatet och den icke-euklidiska geometrin, skriver Gauss: "var rädd för boeotianernas rop " <...> Men kanske en annan förklaring till Gauss tystnad: han var en av få som förstod att, oavsett hur många intressanta satser av icke-euklidisk geometri som inte har härletts, så bevisar detta ändå ingenting - det finns alltid en teoretisk möjlighet att ett motsägelsefullt uttalande kommer att erhållas som ytterligare konsekvenser. Eller kanske Gauss förstod (eller kände) att det vid den tiden (första hälften av 1800-talet) ännu inte hade hittats matematiska begrepp som skulle göra det möjligt att korrekt posera och lösa detta problem. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, kap. XII, par. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
↑ Om geometrins grunder. En samling klassiska verk om Lobatsjovskijs geometri och utvecklingen av dess idéer. Moskva: Gostekhizdat, 1956, s. 119-120.
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Lobachevsky, N.I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. Berlin: F. Fincke, 1840; trettio
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.) Mathematics of the 19th century. Moskva: Nauka, volym II, sid. 62.
↑ Larisa I. Brylevskaya. Lobachevsky's Geometry and Research of Geometry of the Universe (engelska) // Publications of the Astronomical Observatory of Belgrad. - 2008. - Nej . 85 . - S. 129-134 . Arkiverad från originalet den 24 september 2019.
↑ Kagan V.F. Lobachevsky . - M. - L .: Förlag för USSR:s vetenskapsakademi, 1948. - S. 238 -242.
↑ 1 2 Lobatsjovskij geometri // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ C.S. Yogananda. Poincaré och teorin om automorfa funktioner // Resonans. - 2000. - V. 5 , nr. 2 . - S. 26-31 .
↑ Parallella linjer - i mytologi, verklighet och matematik Arkivexemplar av 20 april 2010 på Wayback Machine Uspensky V. A. Apology of mathematics, kapitel 8.
↑ Upptäckten av Lobatsjovskijs geometri hade ett stort inflytande på matematikens utveckling och på förståelsen av förhållandet mellan matematik och omvärlden. De diskussioner som uppstod till följd av detta påverkade tydligen många humanistiska forskares åsikter. Tyvärr är de här ganska fixerade i form av en konstnärlig bild: motsättningen av den "jordiska" - euklidiska geometrin och den "abstrusa" - icke-euklidiska, uppfunnen av matematiker. Dessutom antas skillnaden mellan dessa två geometrier vara att i den första, som är begriplig för alla, korsar parallella linjer inte varandra, och i den andra, som är svår för det vanliga sinnet att förstå, skär de varandra. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, kap. XII, s. 426, - Fizmatlit, Moskva, 2009.

Litteratur

Grundarnas verk

Lobachevsky NI Geometriska studier om teorin om parallella linjer // Kazan Bulletin. - Kazan: Imperial Kazan University, 1829-1830. - Nr 25-29 .
På grunden för geometri. En samling klassiska verk om Lobatsjovskijs geometri och utvecklingen av dess idéer. Moskva: Gostekhizdat, 1956.

Modern litteratur

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometry. - Moskva: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Vad är icke-euklidisk geometri. — Moskva: URSS, 2007.
Delaunay BN Ett elementärt bevis på överensstämmelsen i Lobatsjovskijs planimetri. - Moskva: Gostekhizdat , 1956.
Iovlev N. N. Introduktion till elementär geometri och trigonometri av Lobachevsky . - M. - L. : Giz., 1930. - S. 67.
Kadomtsev S. B. Lobachevskys geometri och fysik. - Ed. 3:a. - M . : Bokhuset " LIBROKOM ", 2009. - 72 sid.
Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Popov A. G. "Lobachevskys geometri: upptäckt och väg till modernitet" // Priroda . - 1993. - Nr 7 . - S. 19-27 .
S.B. Kadomtsev, E.G. Poznyak , D.D. Sokolov Några frågor om Lobatsjovskijs geometri relaterade till fysik . — Resultat av vetenskap och teknik. Ser. Probl. geom., 13, VINITI, M., 1982, 157-188.
Klein F. Icke-euklidisk geometri . - M. - L. : ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G. Pseudosfäriska ytor // Soros Educational Journal . - ISSEP, 2004. - V. 8 , nr 2 . - S. 119-127 .
Popov AG Pseudo-sfäriska ytor och några problem inom matematisk fysik .
Rozenfeld B. A. Tolkningar av Lobachevskys geometri // Historiska och matematiska studier . - M. : GITTL, 1956. - Nr 9 . - S. 169-208 .
Smogorzhevsky A. S. "Om Lobachevskys geometri" // Populära föreläsningar om matematik . - Gostekhizdat, 1958. - T. 23 . - S. 68 .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - Moskva: Fizmatlit , 2009.

Länkar

Geometry of Lobachevsky Arkiverad 7 december 2021 på Wayback Machine

Ordböcker och uppslagsverk

Stor norsk
Stor ryss
Great Soviet (1 upplaga)
Britannica (online)

I bibliografiska kataloger
BNF : 12065206h GND : 4161041-6 J9U : 987007565328305171 LCCN : sh85054149 LNB : 000142143 NKC : ph257174