Lista över vanliga flerdimensionella polyedrar och föreningar

Exempel på vanliga polyedrar

Regelbundna (2D) polygoner
konvex	stellate
{5}	{5/2}
Vanliga 3D-polyedrar
konvex	stellate
{5,3}	{5/2.5}
Korrekt 2D plattsättning
euklidisk	Hyperbolisk
{4,4}	{5,4
Vanliga 4D-polyedrar
konvex	stellate
{5,3,3}	{5/2,5,3
Korrekt 3D-plattor
euklidisk	Hyperbolisk
{4,3,4}	{5,3,4}

Den här sidan innehåller en lista över vanliga flerdimensionella polytoper (polytoper) och regelbundna anslutningar av dessa polytoper i euklidiska , sfäriska och hyperboliska rum med olika dimensioner.

Schläfli-symbolen beskriver varje regelbunden plattsättning av n-sfären, euklidiska och hyperboliska rymden. Schläfli-symbolen för att beskriva en n-dimensionell polyeder beskriver också en plattsättning av en (n-1)-sfär. Dessutom uttrycks symmetrin för en vanlig polyeder eller plattsättning som en Coxeter-grupp , som Coxeter betecknade identiskt med Schläfli-symbolerna förutom avgränsning med hakparenteser, och denna notation kallas Coxeter-notation . En annan relaterad symbol är Coxeter-Dynkin-diagrammet , som representerar en symmetrigrupp (utan inringade noder) och vanliga polytoper eller tessellationer med en inringad första nod. Till exempel har kuben Schläfli-symbolen {4,3}, med sin oktaedriska symmetri [4,3] eller, representeras av Coxeter-diagrammet.

Vanliga polyedrar grupperas efter dimension och sedan efter form - konvexa, icke-konvexa och oändliga. Icke-konvexa vyer använder samma hörn som konvexa vyer, men har korsande fasetter (facetter med maximal dimension = utrymmesdimensioner - 1). Oändliga vyer tesselerar det euklidiska rummet med en dimension mindre.

Oändliga former kan utökas till hyperboliska rymdtesselationer . Hyperboliskt rymd liknar det vanliga rummet, men parallella linjer divergerar med avståndet. Detta tillåter vertexfigurer att ha negativa hörndefekter . Till exempel kan sju regelbundna trianglar som ligger på ett plan konvergera vid en vertex. Detta kan inte göras på det vanliga (euklidiska) planet, utan kan göras i någon skala på det hyperboliska planet.

Polytoper som uppfyller en mer allmän definition och inte har enkla Schläfli-symboler inkluderar vanliga sneda polytoper och regelbundna sneda polyedrar med oändliga vinklar med icke-plana fasetter eller vertexfigurer .

Översikt

Tabellen visar en sammanfattning av vanliga polyedrar efter dimensioner.

	Slutlig			euklidisk	Hyperbolisk			Anslutningar
Storlek	Konvex _	Star Chat	sned	Konvex _	Kompakt _	Star Chat	Paracompact _	Konvex _	Star Chat
ett	ett	0	0	ett	0	0	0	0	0
2	∞	∞	∞	ett	ett	0	0	∞	∞
3	5	fyra	?	3	∞	∞	∞	5	0
fyra	6	tio	?	ett	fyra	0	elva	26	tjugo
5	3	0	?	3	5	fyra	2	0	0
6	3	0	?	ett	0	0	5	0	0
7	3	0	?	ett	0	0	0	3	0
åtta	3	0	?	ett	0	0	0	6	0
9+	3	0	?	ett	0	0	0	*	0

* 1 om dimensionen är 2 k − 1; 2 om dimensionen är en potens av två; 0 annars.

Det finns inga vanliga stjärnplattor i det euklidiska rymden av någon dimension.

Endimensionellt utrymme

	Coxeter-Dynkin-diagrammet representerar speglade "plan" som noder, och placerar en cirkel runt noden om punkten inte ligger på planet. Segment , { },är punkten p och spegelbilden av punkten p , såväl som segmentet mellan dem.

En endimensionell polytop (1-polytop) är ett slutet segment som begränsas av två ändpunkter. En 1-polytop är regelbunden per definition och representeras av en Schläfli-symbol { } [1] [2] eller ett Coxeter-diagram med en enkel inringad nod,. Norman Johnson gav dem namnet datale och Schläfli-symbolen { } [3] .

Eftersom den är trivial som en polyeder, uppstår daitylen som kanter av polygoner och polyedrar [4] . Det används i definitionen av homogena prismor (som i Schläfli-symbolen { }×{p}) eller i Coxeter-diagrammetsom en direkt produkt av ett segment och en vanlig polygon [5] .

Tvådimensionellt utrymme (polygoner)

Tvådimensionella polytoper kallas polygoner . Regelbundna polygoner har lika sidor och är inskrivna i en cirkel. En vanlig p-gon representeras av Schläfli-symbolen {p}.

Vanligtvis anses endast konvexa polygoner vara regelbundna, men stjärnpolygoner som ett pentagram kan också betraktas som regelbundna. De använder samma hörn som konvexa former, men förenas på ett annat sätt, där cirkeln korsas mer än en gång.

Stjärnpolygoner bör kallas icke- konvexa snarare än konkava , eftersom skärningen av kanter inte bildar nya hörn och alla hörn är på en cirkel.

Utbuktande

Schläfli-symbolen {p} representerar en vanlig p -gon .

namn	Triangel ( 2-simplex )	Fyrkantig (2 - ortoplex ) ( 2-kub )	Pentagon	Sexhörning	Heptagon	Oktogon
Schläfli	{3}	{fyra}	{5}	{6}	{7}	{åtta}
Symmetri	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D8 , [ 8 ]
coxeter
Bild
namn	femhörning	Decagon	Hendecagon	Dodecagon	Tretton	tetradekagon
Schläfli	{9}	{tio}	{elva}	{12}	{13}	{fjorton}
Symmetri	D9 , [ 9 ]	D10 , [ 10 ]	D 11 , [11]	D12 , [ 12 ]	D 13 , [13]	D14 , [ 14 ]
Dynkin
Bild
namn	Pentagon	Sexhörning	Sjutton	oktogon	Nittonagon	Dodecagon	... p-gon
Schläfli	{femton}	{16}	{17}	{arton}	{19}	{tjugo}	{ p }
Symmetri	D15 , [ 15 ]	D16 , [ 16 ]	D17 , [ 17 ]	D18 , [ 18 ]	D19 , [ 19 ]	D20 , [ 20 ]	D p , [p]
Dynkin
Bild

Sfärisk

Den reguljära digonen {2} kan betraktas som en degenererad reguljär polygon. Det kan existera som icke-degenererat i vissa icke-euklidiska utrymmen som ytan av en sfär eller en torus .

namn	Monogon	Bigon
Schläfli symbol	{ett}	{2}
Symmetri	D 1 , [ ]	D 2 , [2]
Coxeter diagram	eller
Bild

Stjärnor

Det finns oändligt många vanliga stjärnpolyedrar i 2D-rymden (dvs polygoner) vars Schläfli-symboler är rationella tal { n / m }. De kallas stjärnpolygoner och har samma vertexarrangemang som en konvex polygon.

I allmänhet, för alla naturliga tal n och för alla m så att m < n /2 och m , n coprime , finns det n-punkts reguljära stjärnor med Schläfli-symboler { n / m } (strängt taget, { n / m }= { n /( n − m )}) .

namn	Pentagram	Heptagram		Oktagram	Enneagram		Dekagram	... n-gram
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
Symmetri	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D8 , [ 8 ]	D9 , [ 9 ],		D10 , [ 10 ]	Dp , [ p ]
coxeter
Bild

Regelbundna stjärnpolygoner med upp till 20 sidor

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Rumsliga polygoner

I 3-dimensionellt rymd kallas en regelbunden rumslig polygon [6] en antiprismatisk polygon och den har samma vertexarrangemang som den för ett antiprisma , och dess kanter är en delmängd av kanterna på antiprismat, som förbinder hörnen av de övre och nedre polygonerna i en sicksack.

Ett exempel på en vanlig rumslig sicksackpolygon

D 3d , [2 + ,6]	D4d , [ 2 + ,8]	D 5d , [2 + ,10]
Sexhörning	Oktogon	Decagon
{3}#{ }	{fyra}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

I 4-dimensionell rymd kan en vanlig rymdpolygon ha hörn på en Clifford-torus och är associerad med en Clifford-rotation . Till skillnad från antiprismatiska 3D-polygoner kan 3D-polygoner med dubbelrotation ha ett udda antal sidor.

De kan ses i Petri-polygonerna av konvexa reguljära fyrdimensionella polyedrar , ses som regelbundna platta polygoner av omkretsen av Coxeter-projektioner:

Pentagon	Oktogon	Dodecagon	Tridecagon
Femceller	Hexadecimal cell	tjugofyra celler	Sexhundra celler

Tredimensionellt utrymme (polyhedra)

I 3D-rymden, en vanlig polyeder med Schläfli-symbol {p,q} och Coxeter-diagramhar regelbundna ytor av formen {p} och en regelbunden vertexfigur {q}.

En vertexfigur (av en polyeder) är en polygon som erhålls genom att sammanfoga hörn som är en kant bort från en given vertex. För vanliga 3D-polyedrar är denna vertexfigur alltid en vanlig (och plan) polygon.

Förekomsten av en vanlig polyeder {p,q} begränsas av olikheten relaterad till hörndefekten hos vertexfiguren:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}

: Polyeder (finns i euklidiskt 3-rum)

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}

: Euklidisk plan plattsättning

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}

: Kakelsättning av det hyperboliska planet

Om vi numrerar om permutationerna hittar vi 5 konvexa former, 4 stjärnformer och 3 plana plattsättningar, alla med {p} och {q} polygoner från listan: {3}, {4}, {5}, {5/2} och {6}.

Förutom de euklidiska rymdplattorna finns det ett oändligt antal vanliga hyperboliska plattsättningar.

Utbuktande

De fem konvexa regelbundna polyedrarna kallas de platonska fasta kropparna . Hörnets form anges tillsammans med antalet hörn. Alla dessa polyedrar har Euler-karakteristiken (χ) 2.

namn	Schläfli {p,q}	Fasett {p}	revben	Vertices {q}	Symmetri	Dubbel
Tetraeder ( 3-simplex )	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (*332)	(självdubbel)
Hexkub ( 3- kub )	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	O h [4,3] (*432)	Oktaeder
Oktaeder (3 -ortoplex )	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	O h [4,3] (*432)	Kub
Dodekaeder	{5,3}	12 {5}	trettio	20 {3}	I h [5,3] (*532)	icosahedron
icosahedron	{3,5}	20 {3}	trettio	12 {5}	I h [5,3] (*532)	Dodekaeder

Sfärisk

I sfärisk geometri finns det regelbundna sfäriska polyedrar ( plattor på sfären ) som är degenererade polyedrar i normalfallet. Dessa är osohedrarna {2,n} och deras dubbla dihedrar {n,2}. Coxeter kallar sådana fall "olämpliga" tesselleringar [7] .

De första exemplen (n från 2 till 6) visas nedan.

Osohedra

namn	Schläfli {2,p}	Ansikter {2} π/s	revben	Vertices {p}	Symmetri	Dubbel
Biangulär oshedron	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Självdubbel
triangulär oshedron	{2,3}	3 {2} π/3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (*322)	triangulär dihedron
Fyrkantig oshedron	{2,4}	4 {2} π/4	fyra	2 {4}	D 4h [2,4] (*422)	kvadratisk dihedron
Pentagonal osohedron	{2,5}	5 {2} π/5	5	2 {5}	D 5h [2,5] (*522)	Pentagonal dihedron
Sexkantig oshedron	{2,6}	6 {2} π/6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (*622)	Hexagonal dihedron

dihedra

namn	Schläfli {s,2}	Fasett {p}	revben	Vertices {2}	Symmetri	Dubbel
Tvåkantig dihedron	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Självdubbel
triangulär dihedron	{3,2}	2 {3}	3	3 {2} π/3	D 3h [3,2] (*322)	triangulär oshedron
kvadratisk dihedron	{4,2}	2 {4}	fyra	4 {2} π/4	D 4h [4,2] (*422)	Fyrkantig oshedron
Pentagonal dihedron	{5,2}	2 {5}	5	5 {2} π/5	D 5h [5,2] (*522)	Pentagonal osohedron
Hexagonal dihedron	{6,2}	2 {6}	6	6 {2} π/6	D 6h [6,2] (*622)	Sexkantig oshedron

Star dihedra och osohedra finns också, som {5/2,2} och {2,5/2}.

Stjärnor

Regelbundna stellerade polyedrar kallas Kepler-Poinsot solids, och det finns fyra av dem. De är baserade på platsen för hörnen dodekaedern {5,3} och ikosaedern {3,5}:

Liksom sfäriska plattsättningar överlappar dessa stjärnformer sfären flera gånger, vilket kallas deras täthet . För dessa former är densiteten 3 eller 7. Mosaikteckningar visar ansikten på enskilda sfäriska polygoner i gult.

namn	Schläfli {p,q} och Coxeter	Fasett {p}	revben	Vertices {q} Figur	χ	Densitet [ sv	Symmetri	Dubbel
Liten stjärnformad dodekaeder	{5/2.5}	12 {5/2}	trettio	12 {5}	−6	3	I h [5,3] (*532)	Stor dodekaeder
Stor dodekaeder	{5,5/2}	12 {5}	trettio	12 {5/2}	−6	3	I h [5,3] (*532)	Liten stjärnformad dodekaeder
Stor stjärnformad dodekaeder	{5/2,3}	12 {5/2}	trettio	20 {3}	2	7	I h [5,3] (*532)	Stor ikosaeder
Stor ikosaeder	{3,5/2}	20 {3}	trettio	12 {5/2}	2	7	I h [5,3] (*532)	Stor stjärnformad dodekaeder

Skev polyedrar

En regelbunden sned polyeder är en generalisering av uppsättningen regelbundna polytoper, där icke-planariteten hos vertexfigurer är tillåten .

För 4-dimensionella sneda polyedrar föreslog Coxeter en modifierad Schläfli-symbol {l,m|n}, med en vertexfigur {l,m}, m l-goner runt vertexen med n -gonala hål. Deras vertexformer är rymdpolygoner som representerar sicksack mellan två plan.

För vanliga sneda polyedrar, representerade av symbolen {l,m|n}, gäller likheten:

2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Fyra av dem kan ses i 4-dimensionell rymd som uppsättningen av ytor av fyra vanliga 4-polyedrar med samma vertexarrangemang och kantarrangemang :

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4\| 3}

Fyrdimensionellt utrymme

Vanliga 4-dimensionella polyedrar med Schläfli-symbolen har vyceller, vyytor , kantformer och vertexformer . ${\displaystyle \{p,q,r\))$ ${\displaystyle \{p,q\))$ ${\displaystyle \{p\))$ ${\displaystyle \{r\))$ ${\displaystyle \{q,r\))$

En vertexfigur (av en 4-dimensionell polytop) är en (3-dimensionell) polytop som bildas av hörnen på polytopen intill en given vertex. För vanliga 4-polytoper är denna vertexfigur en vanlig (3-dimensionell) polytop.
En kantfigur är en polygon som bildas av ytor som gränsar till kanten. För vanliga 4D-polyedrar kommer kantfiguren alltid att vara en vanlig polygon.

Förekomsten av vanliga fyrdimensionella polytoper begränsas av förekomsten av en vanlig polytop . För 4-dimensionella polyedrar föreslås att man använder namnet "polychorus" [8] [9] ${\displaystyle \{p,q,r\))$ ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\))$

Varje art kan existera i ett utrymme beroende på följande uttryck:

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)

>0

: Hypersfäriska 3-dimensionella bikakor eller 4-dimensionella polyedrar

{\displaystyle=0}

: Euklidisk 3-dimensionell honungskaka

<0

: Hyperbolisk 3-dimensionell bikaka

Dessa begränsningar gäller för 21 former - 6 former är konvexa, 10 är inte konvexa, en är en euklidisk 3-dimensionell bikaka och 4 är en hyperbolisk bikaka.

Euler-karakteristiken för en fyrdimensionell polyeder beräknas med formeln och är lika med noll för alla typer. $\chi$ $\chi =V+FEC$

Utbuktande

De 6 konvexa reguljära 4D-polyedrarna visas i tabellen nedan. Alla dessa polyedrar har Euler-karakteristiken (χ) 0.

namn	Schläfli {p,q,r}	Celler {p,q}	Fasett {p}	revben {r}	Vertices {q,r}	Dubbel {r,q,p}
Fem -celler ( 4-simplex )	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(självdubbel)
Tesseract ( 4-kub )	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	Hexadecimal cell
Sextonceller (4 -ortoplex )	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	tesserakt
tjugofyra celler	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(självdubbel)
120 celler	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 celler
600 celler	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 celler

Femceller	tesserakt	Sexton celler	Tjugofyra celler	120 celler	600 celler
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Trådram ( Petri polygon ) i snett ortogonal projektion

ortogonal projektion
Tetraedriskt skal ( cell/vertex centrerad )	Kubikskal (cellcentrerad)	Kubikskal (cellcentrerad )	Cuboctaedral skal (cellcentrerad)	Trunkerat rhombotriacontahedral skal ( cellcentrerad )	Pentakiikosi - dodekaedriskt skal (vertex centrerad)
Schlegeldiagram ( perspektivprojektion )
(centrerad på cellen)	(centrerad på cellen)	(centrerad på cellen)	(centrerad på cellen)	(centrerad på cellen)	(överst centrerad)
Stereografisk projektionsram ( hypersfärisk )

Sfärisk

4-dimensionella dihedrar och osohedra existerar som vanliga plattsättningar av 3-sfären .

Vanliga 4-dimensionella dihedrar (2 fasetter = 3-dimensionella ytor) inkluderar: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} och deras dubbla 4-dimensionella osohedra (2 hörn): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Polyedrar av formen {2,p,2} är både 4-dimensionella diedrar och osoedrar. Det finns också former {p,2,q} som har dihedriska celler och osoedriska vertexfigurer.

Vanliga 4-dimensionella osohedra som en bikaka på en 3-sfär

Schläfli {2,p,q}	Celler {2,p} π/q	Ytor {2} π/p,π/q	revben	Toppar	Hönsfigur {p,q}	Symmetri	Dubbel
{2,3,3}	4 {2,3} π/3	6 {2} π/3,π/3	fyra	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}	6 {2,4} π/3	12 {2} π/4,π/3	åtta	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}	8 {2,3} π/4	12 {2} π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}	12 {2,5} π/3	30 {2} π/5,π/3	tjugo	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}	20 {2,3} π/5	30 {2} π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Stjärnor

Det finns tio regelbundna 4-dimensionella stjärnpolyedrar , som kallas Schläfli-Hess-polytoper . Deras hörn är belägna på en konvex 120 cell { 5,3,3 } och en sexhundra cell {3,3,5} .

Ludwig Schläfli hittade fyra av dem och kasserade de återstående sex eftersom han inte tillät kränkning av Euler-karaktäristiken på celler eller vertexfigurer (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) kompletterade listan i sin bok Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ( [3] , 1883) (En introduktion till läran om plattsättning sfär med hänsyn till teorin om isoedriska och ekvikantiga polyedrar) .

Det finns 4 kantarrangemang och 7 ansiktsarrangemang i dessa 10 vanliga stellerade 4D-polyedrar, visade som ortogonala projektioner :

namn	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Celler {p, q}	Fasett {p}	revben {r}	Vertices {q, r}	Densitet [ sv	χ	Symmetrigrupp	Dubbla {r, q, p}
Icosahedral 120-cell (facetterad 600-cell)	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	fyra	480	H4 [ 5,3,3 ]	Liten stjärnformad 120-cell
Liten stjärnformad 120-celler	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	fyra	−480	H4 [ 5,3,3 ]	Icosahedral 120-cell
Stor 120 celler	{5.5/2.5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H4 [ 5,3,3 ]	självdual
Bra 120-celler	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	tjugo	0	H4 [ 5,3,3 ]	Stor stjärnformad 120-cell
Stor stjärnformad 120-celler	{5/2,3,5}	120 {5/2.3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	tjugo	0	H4 [ 5,3,3 ]	Bra 120-celler
Great stellated 120-cell	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H4 [ 5,3,3 ]	självdual
Big great 120-cell	{5.5/2.3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2.3}	76	−480	H4 [ 5,3,3 ]	Stor ikosaedrisk 120-cell
Stor ikosaedrisk 120-cell (stora fasetterad 600-celler)	{3.5/2.5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H4 [ 5,3,3 ]	Stora 120-celler
Bra 600 celler	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H4 [ 5,3,3 ]	Stora 120-celler
Big great 120-cell	{5/2,3,3}	120 {5/2.3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H4 [ 5,3,3 ]	Fantastiska 600 celler

Det finns 4 misslyckade reguljära stjärnpermutationer av polytoper: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Deras celler och vertexfigurer finns, men de täcker inte hypersfären med ett ändligt antal representationer.

Dimension fem och högre

I femdimensionellt utrymme kan vanliga polytoper betecknas som , där är en 4-ytastyp, är en celltyp, är en 2-ytastyp, är en ansiktsfigur, är en kantfigur och är en vertex figur. ${\displaystyle \{p,q,r,s\))$ ${\displaystyle \{p,q,r\))$ ${\displaystyle \{p,q\))$ ${\displaystyle \{p\))$ ${\displaystyle \{s\))$ ${\displaystyle \{r,s\))$ $\{q,r,s\}$

En vertexfigur (av en 5-dimensionell polytop) är en 4-dimensionell polytop som bildas av hörnen intill den givna vertexen. En kantfigur (av en 5-dimensionell polyeder) är en polyeder som bildas av ytor runt varje kant. Ansiktsformen (5-dimensionell polyeder) är en polyeder som bildas av celler runt varje ansikte.

En vanlig 5-polytop existerar bara om och är vanliga 4-polytoper. ${\displaystyle \{p,q,r,s\))$ ${\displaystyle \{p,q,r\))$ $\{q,r,s\}$

Beroende på värdet

{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi}{q))\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p }}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac { \pi }{s}}\right)}}

få utrymmestypen

<1

: Sfärisk 4D plattsättning eller 5D polyeder

{\displaystyle=1}

: Euklidisk 4-dimensionell plattsättning

>1

: Hyperbolisk 4D plattsättning

Från dessa begränsningar får vi 3 konvexa polyedrar, noll icke-konvexa polytoper, 3 4-dimensionella plattsättningar och 5 hyperboliska 4-dimensionella plattsättningar. Det finns inga icke-konvexa vanliga polyedrar i 5D och uppåt.

Utbuktande

I dimensionerna 5 och uppåt finns det bara tre typer av konvexa reguljära polyedrar [10] .

namn	Schläfli-symbol { p 1 ,...,p n −1 }	coxeter	k -ansikten	Fasetttyp _	Vertex figur	Dubbel
n -enkelt	{ 3n− 1 }	...		{ 3n −2 }	{ 3n −2 }	Självdubbel
n -kub	{4,3n − 2 }	...	${\displaystyle 2^{nk}{n \choose k))$	{4,3n − 3 }	{ 3n −2 }	n -ortoplex
n - ortoplex	{ 3n − 2,4 }	...	$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$	{ 3n −2 }	{ 3n − 3,4 }	n -kub

Det finns också felaktiga fall där vissa siffror i Schläfli-symbolen är lika med 2. Till exempel är {p,q,r,...2} en felaktig regelbunden sfärisk polytop i fallet {p,q,r... } är regelbunden sfärisk polytop, och {2,...p,q,r} är en felaktig regelbunden sfärisk polytop när {...p,q,r} är en vanlig sfärisk polytop. Sådana polyedrar kan användas som fasetter som ger former av formen {p,q,...2...y,z}.

Femdimensionella utrymmen

namn	Schläfli symbol { p,q,r,s} Coxeter	Antal facetter ( fyradimensionella ytor) {p,q,r}	Celler (3D- ansikten) {p,q}	Ansikten (2D) {p}	revben	Toppar	Ansiktsform { s}	Kantfigur { r,s}	Hönsfigur { q,r,s}
Hexateron	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	femton	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
Penteract	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	tio	{fyra}	{3,4}	{3,3,4}

Hexateron	Penteract	5-ortoplex

Sexdimensionellt utrymme

namn	Schläfli	Toppar	revben	Fasett (2D)	Celler (3D)	4D ansikten	5D ansikten
6-simplex	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
Hexeract	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
6-ortoplex	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

6-dimensionell simplex	Hexeract	6-dimensionell ortoplex

Sjudimensionellt utrymme

namn	Schläfli	Toppar	revben	Fasett (2D)	Celler (3D)	4D ansikten	5D ansikten	6D ansikten	χ
7-simplex	{3,3,3,3,3,3}	åtta	28	56	70	56	28	åtta	2
Hepteract	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	fjorton	2
7-ortoplex	{3,3,3,3,3,4}	fjorton	84	280	560	672	448	128	2

7-simplex	Hepteract	7-ortoplex

Åttadimensionellt utrymme

namn	Schläfli	Toppar	revben	Fasett (2D)	Celler (3D)	4D ansikten	5D ansikten	6D ansikten	7D ansikten
8-simplex	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
Octeract	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
8-ortoplex	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256

8-simplex	Octeract	8-ortoplex

Niodimensionellt utrymme

namn	Schläfli	Toppar	revben	Fasett (2D)	Celler (3D)	4D ansikten	5D ansikten	6D ansikten	7D ansikten	8D ansikten	χ
9-simplex	{3 8 }	tio	45	120	210	252	210	120	45	tio	2
Enteragera	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	arton	2
9-ortoplex	{3 7 ,4}	arton	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simplex	Enteragera	9-ortoplex

Tiodimensionellt utrymme

namn	Schläfli	Toppar	revben	Fasett (2D)	Celler (3D)	4D ansikten	5D ansikten	6D ansikten	7D ansikten	8D ansikten	9D ansikten
10-simplex	{ 39 }	elva	55	165	330	462	462	330	165	55	elva
Deceract	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	tjugo
10-ortoplex	{3 8 ,4}	tjugo	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

10-simplex	Deceract	10-ortoplex

...

Icke-konvex

Det finns inga icke-konvexa vanliga polyedrar i dimensionerna 5 eller högre.

Regelbundna projektiva polyedrar

En projektiv regelbunden ( n + 1)-polytop existerar om den ursprungliga regelbundna n -sfäriska plattsättningen {p,q,...} är centralt symmetrisk . Sådana polyedrar kallas semi-{p,q,...} och innehåller hälften så många element. Coxeter ger dem symbolen {p,q,...}/2, medan McMullen skriver {p,q,...} h/2 , där h är Coxeter-talet . [elva]

Reguljära polygoner med ett jämnt antal sidor har semi - 2n -gonala projektiva polygoner, {2p}/2.

Det finns 4 regelbundna projektiva polytoper , motsvarande 4 av de 5 platoniska soliderna .

Halvkuben och semi-oktaedern generaliserar till semi- n - kuber och semi - n - ortoplexer i vilken dimension som helst.

Vanliga projektiva polyedrar i 3D-rymden

3-dimensionella vanliga hemi-polytoper

namn	Coxeter McMullen	ansikten	Kanter	Vertices	χ
Halv kub	{4,3}/2 {4,3} 3	3	6	fyra	ett
Semioktaeder	{3,4}/2 {3,4} 3	fyra	6	3	ett
Semidodecahedron	{5.3}/2 {5.3} 5	6	femton	tio	ett
Semiikosaeder	{3.5}/2 {3.5} 5	tio	femton	6	ett

Vanliga projektiva polyedrar i fyra dimensioner

I ett 4-dimensionellt utrymme bildar 5 av 6 konvexa reguljära polyedrar projektiva 4-polytoper. De 3 specialfallen är halvt tjugofyra celler, halvt sexhundra celler och halvhundratjugo celler.

4-dimensionella reguljära semi-polytoper! Titel
Coxeter symbol
McMullen symbol celler ansikten revben Toppar χ

semi tesseract	{4,3,3}/2	{4,3,3} 4	fyra	12	16	åtta
halv sexton cell	{3,3,4}/2	{3,3,4} 4	åtta	16	12	fyra
halvtjugofyra celler	{3,4,3}/2	{3,4,3} 6	12	48	48	12
semi 120 cell	{5,3,3}/2	{5,3,3} 15	60	360	600	300
halv sexhundra celler	{3,3,5}/2	{3,3,5} 15	300	600	360	60

Regelbundna projektiva polytoper i femdimensionellt utrymme

Det finns bara 2 konvexa reguljära projektiva semipolytoper i utrymmen med dimension 5 och högre.

namn	Schläfli	4D ansikten	Celler (3D)	Fasett (2D)	revben	Toppar	χ
semi penteract	{4,3,3,3}/2	5	tjugo	40	40	16	ett
semi pentacross	{3,3,3,4}/2	16	40	40	tjugo	5	ett

Infinitesimals

Infinite är enpolyedermed ett oändligt antal fasetter. En ntope är enn-dimensionell oändlig-top: 2-oändlig-top = oändlig-gon (apeirogon), 3-oändlig-top = oändlig-top i 3D-rymden, etc.

Det finns två huvudsakliga geometriska klasser av infinitetoper: [12]

Vanliga bikakor i n - dimensionellt utrymme, fyller helt n -dimensionellt utrymme.
Vanliga sneda oändlighetsoper som innehåller n -dimensionella grenrör i högre utrymmen.

Endimensionell rymd (oändlig)

En direkt apeirogon är en regelbunden plattsättning av en rät linje med dess indelning i oändligt många lika stora segment. Den har oändligt många hörn och kanter. Dess Schläfli-symbol är {∞} och dess Coxeter-diagram är.

... ...

Apeirogoner på det hyperboliska planet , bland vilka den vanliga apeirogonen {∞} är den mest anmärkningsvärda, kan ha krökning, som ändliga polygoner på det euklidiska planet, och ha hörn liggande på horocykler eller hypercykler .

Regelbundna apeirogoner med konvergens i oändligheten har symbolen {∞} och finns på horocykler, även om de i allmänhet kan existera på hypercykler.

{∞}	{πi/λ}
Oändlighet på en horocykel	Oändlighet på en hypercykel

Ovan visas två hyperboliska apeirogoner på en Poincaré-skiva . Figuren till höger visar vinkelräta linjer som skiljer de fundamentala regionerna åt med ett avstånd λ från varandra.

Rumsliga oändligheter

Sned apeirogoner i tvådimensionellt utrymme (plan) bildar en sicksack. Om sicksacken är symmetrisk och enhetlig är apeirogonen korrekt.

Sned apeirogoner kan konstrueras i ett utrymme av vilken dimension som helst. I det tredimensionella rummet bildar sneda apeirogoner spiral och kan vara vänster eller höger.

tvådimensionellt utrymme	3D-utrymme
Apeirogon i form av en sicksack	spiral apeirogon

Tvådimensionellt utrymme (oändligt)

Euklidiska plattsättningar

Det finns tre vanliga plattsättningar av planet. Alla tre har Euler-karakteristiken (χ) 0.

namn	Fyrkantig mosaik (quadrille)	Triangulär mosaik (deltatil)	Sexkantig parkett (hexatil)
Symmetri	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Schläfli {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Coxeter diagram
Bild

Det finns två felaktiga regelbundna plattsättningar - {∞,2}, en oändligt vinklad dihedron , erhållen från två apeirogoner , som var och en fyller ett halvplan, och dess dubbla {2,∞} plattsättning, en oändligt vinklad osohedron , som kan representeras som ett oändligt antal parallella linjer.

{∞,2} ,	{2,∞} ,

Euklidiska stjärnplattor

Det finns inga regelbundna plattsättningar av planet av stjärnpolygoner . Det finns oändligt många talpar för vilka villkoret för platt plattsättning (1/ p + 1/ q = 1/2) är uppfyllt, till exempel {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10 }, {12/5,12} osv., men ingen av dessa stjärnor är lämpliga för plattsättning.

Hyperboliska plattsättningar

Tegelsättningarna i ett hyperboliskt tvådimensionellt utrymme är hyperboliska plattsättningar . Det finns oändligt många vanliga plattsättningar i H 2 . Som nämnts ovan, vilket positivt par som helst { p , q } så att 1/ p + 1/ q < 1/2 ger en hyperbolisk sida. Faktum är att för den allmänna Schwartz-triangeln ( p , q , r ) gäller samma sak för 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.

Det finns många olika sätt att representera det hyperboliska planet, inklusive Poincaré-skivmodellen , som mappar planet till en skiva, som visas nedan. Alla polygonala ytor av plattsättningen bör behandlas som liksidiga, och polygonerna blir mindre när du kommer närmare kanten av skivan på grund av projektion, vilket liknar effekten av en fisheye- kamera .

Det finns oändligt många platta regelbundna 3-oändliga-toppar som regelbundna plattsättningar av hyperbolplanet av formen {p,q}, där p+q<pq/2.

{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Exempel:

Sfäriska (platoniska) / euklidiska / hyperboliska (Poincare-skiva: kompakt / parakompakt / icke- kompakt ) plattor med sina Schläfli-symboler
p\q	3	fyra	5	6	7	åtta	...	∞	...	iπ/λ
3	( tetraeder ) {3,3}	( oktaeder ) {3,4}	( ikosaeder ) {3,5}	( deltabricka ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
fyra	( kub ) {4,3}	( quadrille ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	( dodekaeder ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	( hexatil ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
åtta	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}		{∞,∞}		{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{ip/λ,3}	{ip/λ,4}	{ip/λ,5}	{ip/λ,6}	{ip/λ,7}	{ip/λ,8}		{iπ/λ,∞}		{iπ/λ,iπ/λ}

Hyperboliska stjärnplattor

Det finns två oändliga typer av hyperboliska plattsättningar vars ytor eller vertexfigurer är stjärnpolygoner — { m /2, m } och deras dualer { m , m /2} med m = 7, 9, 11, .... Mosaiker { m / 2, m } är stellationer av { m , 3} tilings, medan dubbla tilings { m , m /2} är facetter av {3, m } tilings och augmentations { m , 3} tilings.

Scheman { m /2, m } och { m , m / 2} fortsätter för udda m < 7 som polyedrar : om m = 5 får vi en liten stellerad dodekaeder och en stor dodekaeder , och med m = 3 får vi en tetraeder . De andra två Kepler-Poinsot fasta ämnen ( stor stellated dodecahedron och great icosahedron ) har inga analoger i vanliga hyperboliska plattsättningar. Om m är jämnt, beroende på hur vi väljer definitionen av { m /2}, kan vi få antingen en degenererad täckning av en annan plattsättning eller en korsning av plattsättningar.

namn	Schläfli	Ansiktstyp {p}	Hönsfigur {q}	Densitet [ sv	Symmetri	dubbel
Heptagonal plattsättning av ordning 7	{7/2,7}	{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Heptagonal heptagram plattsättning
Heptagonal heptagram kakelsättning	{7,7/2}	{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Heptagrambeläggning av order 7
Enneagram Mosaic of Order 9	{9/2,9}	{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Enneagram niosidig plattsättning
Enneagram niosidig plattsättning	{9,9/2}	{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Beställning 9 Enneagram niosidig plattsättning
Genecagram mosaik av ordning 11	{11/2,11}	{11/2}	{elva}	3	*11.3.2 [11.3]	Hendecagram plattsättning elvavinklar plattsättning
Hendecagram plattsättning elvavinklar plattsättning	{11,11/2}	{elva}	{11/2}	3	*11.3.2 [11.3]	Genecagram mosaik av ordning 11
p - gram plattsättning av ordning sid	{ p /2, p }	{ p /2}	{ p }	3	* s 32 [s, 3]	p - gram p - kolplattning
p -gram plattsättning p -vinkel plattsättning	{ p , p /2}	{ p }	{ p /2}	3	* s 32 [s, 3]	p -gram plattsättning av ordning sid

Skev oändligheter i euklidiskt 3-rum

Det finns tre regelbundna skevningsoändligheter i euklidiskt 3D-rum med en regelbunden rumslig polygon som vertexfigurer [13] [14] [15] . De har samma vertexarrangemang och kantarrangemang som 3 konvexa enhetliga bikakor .

6 rutor runt varje hörn: {4,6|4}
4 hexagoner runt varje vertex: {6,4|4}
6 hexagoner runt varje vertex: {6,6|3}

Regelbunden sned polygon
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}

Det finns trettio regelbundna oändligheter i det euklidiska tredimensionella rummet [17] . De inkluderar både de som listas ovan och 8 andra "rena" oändligheter. De är alla förknippade med kubiska bikakor {4,3,4}. Resten har rymliga polygonala ytor: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6.4 , {∞,6} 4.4 och {∞,6} 6.3 .

Sned oändligheter i hyperboliskt 3D-utrymme

Det finns 31 regelbundna sneda oändligheter i hyperboliskt tredimensionellt utrymme [18] :

14 kompakta: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5}, {10,6|3}, {6} ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, { 8.6|3} och {6.8|3}.
17 parakompakt: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6}, {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12.8|3}, {8.12|3} och {8.8|4}.

Tessellations av euklidiska tredimensionella rymden
Det finns bara en icke-degenererad regelbunden plattsättning av 3-dimensionellt utrymme ( honeycomb ), {4, 3, 4} [19] :

namn Schläfli
{p,q,r} coxeter
Celltyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} Kantfigur
{
r} Hönsfigur
{
q,r} χ Dubbel

kubisk honungskaka {4,3,4} {4,3} {fyra} {fyra} {3,4} 0 Självdubbel
Felaktig beläggning av euklidiskt tredimensionellt utrymme
Det finns sex felaktiga vanliga plattsättningar, parvis baserade på tre vanliga euklidiska plattsättningar. Deras celler och vertexfigurer är vanliga { 2,n} osohedra , {n,2} dihedra och euklidiska plattsättningar. Dessa felaktiga regelbundna tesselleringar är strukturellt relaterade till prismatiska enhetliga bikakor genom trunkeringsoperationen. De är högdimensionella motsvarigheter till ordningen 2 oändlig vinkel plattsättning [en och oändlig vinkel osohedron .

Schläfli
{p,q,r}
Coxeter diagram Celltyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} Kantfigur
{
r} Hönsfigur
{
q,r}

{2,4,4 {2,4} {2} {fyra} {4,4}

{2,3,6 {2,3} {2} {6} {3,6}

{2,6,3} {2,6} {2} {3} {6,3}

{4,4,2} {4,4} {fyra} {2} {4,2}

{3,6,2} {3,6} {3} {2} {6,2}

{6,3,2} {6,3} {6} {2} {3,2}
Plattläggning av hyperboliskt tredimensionellt utrymme

4 kompakta vanliga kammar

{5,3,4}
{5,3,5

{4,3,5
{3,5,3

4 av 11 paracompact vanliga kammar

{3,4,4}
{3,6,3

{4,4,3}
{4,4,4}

Det finns tio platta vanliga bikakor i hyperboliskt 3-dimensionellt utrymme [20] ( listade ovan som plattsättningar):

4 kompakta: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} och {5,3,5}

6 parakompakt: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} och {6,3,6}.

Kakelsättningar av hyperboliska 3-mellanrum kan kallas hyperboliska honungskakor . Det finns 15 hyperboliska honeycombs i H 3 , 4 compact och 11 paracompact.

namn
Schläfli-symbol {
p,q,r} coxeter
Celltyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} Kantfigur
{
r} Hönsfigur
{
q,r} χ Dubbel

Icosahedral honeycombs {3,5,3} {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Självdubbel

Cubic honeycombs order 5 {4,3,5} {4,3} {fyra} {5} {3,5} 0 {5,3,4}

Beställ 4 dodekaedriska honeycomb {5,3,4} {5,3} {5} {fyra} {3,4} 0 {4,3,5}

Dodekaedrisk honeycomb order 5 {5,3,5} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Självdubbel

Det finns också 11 parakompakta H 3 -bikakor (med oändliga (euklidiska) celler och/eller vertexfigurer): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } och {6,3,6}.

namn
Schläfli-symbol {
p,q,r} coxeter
Celltyp
{
p,q} Tpi-
kant
{p} Kantfigur
{
r} Hönsfigur
{
q,r} χ Dubbel

Tetraedriska bikakor av ordning 6 {3,3,6} {3,3} {3} {6} {3,6} 0 {6,3,3}

Sexkantiga mosaikbikakor {6,3,3} {6,3} {6} {3} {3,3} 0 {3,3,6}

Beställ 4 oktaedriska honeycomb {3,4,4} {3,4} {3} {fyra} {4,4} 0 {4,4,3}

Fyrkantiga mosaik honeycombs {4,4,3} {4,4} {fyra} {3} {4,3} 0 {3,3,4}

Triangulära mosaikbikakor {3,6,3} {3,6} {3} {3} {6,3} 0 Självdubbel

Cubic honeycombs order 6 {4,3,6} {4,3} {fyra} {fyra} {3,4} 0 {6,3,4}

Beställ 4 hexagonala mosaikhoneycombs {6,3,4} {6,3} {6} {fyra} {3,4} 0 {4,3,6}

Fyrkantiga mosaik honeycombs order 4 {4,4,4} {4,4} {fyra} {fyra} {4,4} 0 {4,4,4}

Dodekaedrisk honeycomb order 6 {5,3,6} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 {6,3,5}

Hexagonal mosaik honeycomb order 5 {6,3,5} {6,3} {6} {5} {3,5} 0 {5,3,6}

Hexagonala mosaik honeycombs order 6 {6,3,6} {6,3} {6} {6} {3,6} 0 Självdubbel

Icke-kompakta lösningar existerar som Lorentzian Coxeter-grupper och kan visualiseras med ett öppet område i hyperboliskt utrymme (en fundamental tetraeder med vissa delar oåtkomliga på grund av oändligheten), och några är ritade nedan och visar deras skärning med planet. Alla honeycombs som inte visas i tabellerna och som inte har en 2 i sin Schläfli-symbol är icke-kompakta.
Sfäriska / euklidiska /hyperboliska ( kompakta / parakompakta / icke- kompakta ) bikakor {p,3,r}

p\r 3 fyra 5 6 7 åtta ...∞

3

{3,3,3}

{3,3,4}

{3,3,5}

{3,3,6}

{3,3,7}

{3,3,8}

{3,3,∞}

fyra

{4,3,3}

{4,3,4}

{4,3,5}

{4,3,6}

{4,3,7}

{4,3,8}

{4,3,∞}

5

{5,3,3}

{5,3,4}

{5,3,5}

{5,3,6}

{5,3,7}

{5,3,8}

{5,3,∞}

6

{6,3,3}

{6,3,4}

{6,3,5}

{6,3,6}

{6,3,7}

{6,3,8}

{6,3,∞}

7

{7,3,3}
{7,3,4}
{7,3,5}
{7,3,6}
{7,3,7}
{7,3,8}
{7,3,∞}

åtta
{8,3,3}
{8,3,4}
{8,3,5}
{8,3,6}
{8,3,7}
{8,3,8}
{8,3,∞}

... ∞
{∞,3,3}
{∞,3,4}
{∞,3,5}
{∞,3,6}
{∞,3,7}
{∞,3,8}
{∞,3,∞}

q = 4 q = 5 q = 6

p\r 3 fyra 5

3

{3,4,3}

{3,4,4}

{3,4,5}

fyra

{4,4,3}

{4,4,4}

{4,4,5}

5

{5,4,3}

{5,4,4}

{5,4,5}

p\r 3 fyra

3

{3,5,3}

{3,5,4}

fyra

{4,5,3}

{4,5,4}

5

{5,5,3}

{5,5,4}

p\r 3 fyra

3

{3,6,3}

{3,6,4}

fyra

{4,6,3}

{4,6,4}

5

{5,6,3}

{5,6,4}

Det finns inga hyperboliska stellerade bikakor i H 3 - alla former med en vanlig stellerad polyeder som cell, vertexfigur eller båda visar sig vara sfäriska.

Fyrdimensionellt utrymme (5-oändliga hedrar)
Euklidisk plattsättning av 4-dimensionell rymd
Det finns tre typer av oändligt regelbundna ( bikakor ) som kan fylla det euklidiska fyrdimensionella utrymmet:

namn
Schläfli-symbol {
p,q,r,s} Fasetttyp
{
p,q,r} Celltyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} ansiktsform
{
s} Kantfigur
{
r,s} Hönsfigur
{
q,r,s} Dubbel

Tesseract honeycombs {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {fyra} {fyra} {3,4} {3,3,4} Självdubbel

16-cells honungskaka {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}

Tjugofyra -cells honungskaka {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}

Projicerat bikakefragment {4,3,3,4}
(Tesseract honeycomb)
Projicerat cellfragment {3,3,4,3}
(sexton cellers bikaka)
Projicerat cellfragment {3,4,3,3}
(24-cellers bikaka)

Det finns också två felaktiga fall, {4,3,4,2} och {2,4,3,4}. Det finns tre platta vanliga typer av bikakor i det euklidiska 4-dimensionella rymden: [19]

{4,3,3,4}, {3,3,4,3} och {3,4,3,3}.

Det finns sju platta regelbundna konvexa bikakor i ett hyperboliskt 4-dimensionellt utrymme: [20]

5 kompakta: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}

2 parakompakta: {3,4,3,4} och {4,3,4,3}.

Det finns fyra platta vanliga stjärntyper av bikakor i hyperboliskt 4-dimensionellt utrymme: [20]

{5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} och {5.5/2.5.3}.
Plattläggning av hyperboliskt 4-mellanslag
Det finns sju konvexa regelbundna bikakor och fyra stjärnformade bikakor i utrymmet H 4 [21] . Fem konvexa typer är kompakta och två är parakompakta.
Fem kompakta vanliga bikakor i H 4 :

namn
Schläfli-symbol {
p,q,r,s} Fasetttyp
{
p,q,r} Celltyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} ansiktsform
{
s} Kantfigur
{
r,s} Hönsfigur
{
q,r,s} Dubbel

Fem-cells honeycomb order 5 {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}

120 cells honungskakor {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}

Tesseract honeycombs order 5 {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {fyra} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}

120 cell ordning 4 celler {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {fyra} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}

120 cell order 5 honeycombs {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Självdubbel

Två vanliga parakompakta vanliga typer av bikakor i H 4 : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

namn
Schläfli-symbol {
p,q,r,s} Fasetttyp
{
p,q,r} Celltyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} ansiktsform
{
s} Kantfigur
{
r,s} Hönsfigur
{
q,r,s} Dubbel

24 cell ordning 4 celler {3,4,3,4} {3,4,3} {3,4} {3} {fyra} {3,4} {4,3,4} {4,3,4,3}

Cubic honeycomb {4,3,4,3} {4,3,4} {4,3} {fyra} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,4}

Icke-kompakta lösningar existerar som Lorentzian Coxeter-grupper och kan visualiseras med hjälp av ett öppet område i hyperboliskt utrymme (en grundläggande femcell med vissa delar ouppnåeliga på grund av oändligheten). Alla honeycombs som inte visas i tabellerna och som inte har en 2 i sin Schläfli-symbol är icke-kompakta.
Sfäriska / euklidiska /hyperboliska ( kompakta / parakompakta / icke- kompakta ) bikakor {p,q,r,s}

q=3, s=3
p\r 3 fyra 5

3
{3,3,3,3}

{3,3,4,3}

{3,3,5,3}

fyra
{4,3,3,3}

{4,3,4,3}

{4,3,5,3}

5
{5,3,3,3}

{5,3,4,3}

{5,3,5,3}

q=3, s=4
p\r 3 fyra

3
{3,3,3,4}

{3,3,4,4}

fyra
{4,3,3,4}

{4,3,4,4}

5
{5,3,3,4}

{5,3,4,4}

q=3, s=5
p\r 3 fyra

3 {3,3,3,5}

{3,3,4,5}

fyra {4,3,3,5}

{4,3,4,5}

5
{5,3,3,5}

{5,3,4,5}

q=4, s=3
p\r 3 fyra

3
{3,4,3,3}

{3,4,4,3}

fyra
{4,4,3,3}

{4,3,4,3}

q=4, s=4
p\r 3 fyra

3 {3,4,3,4}

{3,4,4,4}

fyra
{4,4,3,4}

{4,4,4,4}

q=4, s=5
p\r 3 fyra

3 {3,4,3,5}

{3,4,4,5}

fyra
{4,4,3,5}

{4,4,4,5}

Stjärnkanter av hyperboliska 4-mellanslag
Det finns fyra typer av vanliga stellerade bikakor i H 4 rymden :

namn
Schläfli-symbol {
p,q,r,s} Fasetttyp
{
p,q,r} Celltypstyp
{
p,q} Ansiktstyp
{
p} ansiktsform
{
s} Kantfigur
{
r,s} Hönsfigur
{
q,r,s} Dubbel Densitet
_

Bikaka från en liten stjärnformad 120-cell {5/2,5,3,3} {5/2,5,3 {5/2.5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2} 5

600-cells pentagram order {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5,5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3} 5

Icosahedral 120-cells honeycomb order 5 {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2.5} {5.5/2.5} {5.5/2.5.3} tio

Honeycombs av en stor 120-celler {5.5/2.5.3} {5.5/2.5} {5,5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5} tio

Femdimensionellt utrymme (oändligt vinklade 6-polyedrar)

Det finns bara en platt vanlig bikaka i Euklidisk 5-utrymme: ( listad ovan som plattsättningar) [19]

{4,3,3,3,4}

Det finns fem platta vanliga bikakor i hyperboliska 5-mellanslag, alla parakompakta: ( listade ovan som plattsättningar) [20]

{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} och {4 ,3,3,4,3}
En plattsättning av ett euklidiskt 5-mellanslag
Den hyperkubiska honungskakan är den enda familjen av vanliga bikakor som kan belägga ett utrymme av vilken dimension som helst (fem eller fler) som bildas av hyperkuba fasetter , fyra runt varje (n-2)-dimensionell yta.

namn Schläfli
{ p 1 , p 2 , ..., p n −1 } Fasetttyp
_ Vertex
figur Dubbel

Fyrkantig parkett {4,4} {fyra} {fyra} Självdubbel
_

kubisk honungskaka {4,3,4} {4,3} {3,4}
Själv - dubbel

Tesseract honeycombs {4,3 2 ,4} {4,3 2 } {3 2 ,4}
Själv - dubbel

5-kubisk honeycomb {4,3 3 ,4} {4,3 3 } {3 3 ,4}
Själv - dubbel

6-kubisk honeycomb {4,3 4 ,4} {4,3 4 } {3 4 ,4}
Själv - dubbel

7-kubika honeycombs {4,3 5 ,4} {4,3 5 } {3 5 ,4}
Själv - dubbel

8-kubika honeycombs {4,3 6 ,4} {4,3 6 } {3 6 ,4}
Själv - dubbel

n -dimensionella hyperkubiska bikakor {4,3 n−2 ,4} {4,3n −2 } { 3n−2 ,4}
Själv - dubbel

I E 5 finns det även oegentliga fall {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} och {2,3,4,3,3}. I E n är {4,3 n−3 ,4,2} och {2,4,3 n−3 ,4} alltid olämpliga euklidiska plattsättningar.
Plattläggning av hyperboliskt 5-dimensionellt utrymme
Det finns 5 vanliga typer av honeycomb i H 5 , alla paracompact. De inkluderar oändliga (euklidiska) fasetter eller vertexformer: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} och {4,3,3,4,3}.
Det finns två icke-kompakta reguljära plattsättningar i ett hyperboliskt utrymme med dimension 5 eller mer, och det finns inga parakompakta vanliga plattsättningar i ett hyperboliskt utrymme med dimension 6 eller mer.

namn
Schläfli symbol {
p,q,r,s,t} Fasetttyp
{
p,q,r,s} 4-ansiktstyp
{
p,q,r} celltyp
{
p,q} ansiktstyp
{
p} cellfigur
{
t} ansiktsfigur
{
s,t} kantfigur
{
r,s,t} Hönsfigur
{
q,r,s,t} Dubbel

5-ortoplex honeycomb {3,3,3,4,3} {3,3,3,4} {3,3,3} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,3}

Tjugofyra -cells honungskakor {3,4,3,3,3} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4,3}

16-cells honungskaka {3,3,4,3,3} {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,4,3,3}
Själv - dubbel

24 cell ordning 4 celler {3,4,3,3,4} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {fyra} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,4 {4,3,3,4,3}

Tesseract honeycombs {4,3,3,4,3} {4,3,3,4 {4,3,3} {4,3} {fyra} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,4}

Eftersom det inte finns några regelbundna stellerade n -polytoper för n ≥ 5 som kan vara potentiella celler eller vertexfigurer, finns det inga fler hyperboliska stellerade bikakor i H n för n ≥ 5.

Dimension 6 och högre (7-dimensionell oändlighet+)
Plattläggning av hyperboliskt 6-dimensionellt utrymme och högre
Det finns inga korrekta kompakta eller parakompakta plattor av ett hyperboliskt utrymme av dimension 6 eller högre. Alla icke-uppräknade heltalsvärden ger en icke-kompakt plattsättning av ett hyperboliskt n - dimensionellt utrymme.

Föreningar av polyedrar

2D-anslutningar

För alla naturliga tal n finns det en regelbunden stjärnpolygon med n-vertex med Schläfli-symbolen {n/m} för alla m < n/2 (strängt taget, {n/m}={n/(n−m)} ), där m och n är relativt primtal . Om m och n inte är relativt primtal kommer den resulterande polygonen att ha n / m sidor. En ny siffra erhålls genom att rotera dessa n / m -goner med en vertex (till vänster) tills antalet rotationer når talet n / m minus en, och genom att kombinera dessa roterade figurer. I extremfallet, när n / m är lika med 2, får vi en siffra på n / 2 segment. En sådan figur kallas en degenererad stjärnpolygon .
I andra fall, när n och m har en gemensam divisor, får vi en stjärnpolygon med ett mindre n , och versionerna som erhålls genom rotation kan kombineras med den. Dessa former kallas stjärnformer , felaktiga stjärnpolygoner eller sammansatta polygoner . Samma notation { n / m } används ofta för dem , även om vissa författare, såsom Grünbaum (1994), föredrar (med vissa kvalifikationer) formen k { n } som mer korrekt, där k = m i allmänhet .
En ytterligare komplikation uppstår när vi kopplar samman två eller flera stjärnpolygoner, till exempel två pentagram som skiljer sig åt i rotation med 36° och är inskrivna i en dekagon. Det är mer korrekt i det här fallet att skriva i formen k { n / m }, i vårt fall 2{5/2}, snarare än att använda det vanliga {10/4}.
Den utökade Coxeter-notationen för att ansluta polygoner är c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, vilket återspeglar att d distinkta { p , q ,...} tillsammans täcker hörnen { m , n ,...} c gånger och ansiktena { s , t ,...} e gånger. Om det inte finns någon giltig { m , n ,...} tas den första delen av posten bort och lämnar [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. Det motsatta fallet är om det inte finns några korrekta { s , t ,...}. Dualen av av c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} är e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Om c eller e är lika med 1 kan de utelämnas. För att koppla polygoner reduceras denna notation till { nk }[ k { n / m }]{ nk }. Till exempel kan ett hexagram skrivas som {6}[2{3}]{6}.
Exempel för n =2..10, nk ≤30

2{2}
3{2}
4{2}
5{2}
6{2}
7{2}
8{2}
9{2}
10{2}
11{2}
12{2}
13{2}
14{2}
15{2}

2{3}
3{3}
4{3}

5{3}
6{3}
7{3}
8{3}
9{3}
10{3}
2{4}
3{4}
4{4}
5{4}
6{4}
7{4}

2{5}
3{5}
4{5}
5{5}
6{5}
2{5/2}
3{5/2}
4{5/2}
5{5/2}
6{5/2}
2{6}
3{6}
4{6}
5{6}

2{7}
3{7}
4{7}
2{7/2}
3{7/2}
4{7/2}
2{7/3}
3{7/3}
4{7/3}
2{8}
3{8}
2{8/3}
3{8/3}

2{9}
3{9}
2{9/2}
3{9/2}
2{9/4}
3{9/4}
2{10}
3{10}
2{10/3}
3{10/3}

2{11}
2{11/2}
2{11/3}
2{11/4}
2{11/5}
2{12}
2{12/5}
2{13}
2{13/2}
2{13/3}
2{13/4}
2{13/5}
2{13/6}

2{14}
2{14/3}
2{14/5}
2{15}
2{15/2}
2{15/4}
2{15/7}

Regelbundna rumsliga polygoner skapar också kopplingar, som kan observeras i kanterna av den prismatiska anslutningen av antiprismor , till exempel:
Korrekt kopplingar av rumsliga polygoner
Förbindande
rymdrutor Anslutning
av rumsliga hexagoner Förbinder
rumsliga dekagoner

Två {2}#{ } Tre {2}#{ } Två {3}#{ } Två {5/3}#{ }

3D-anslutningar

Vanliga polytopanslutningar kan definieras som anslutningar som, liksom vanliga polytoper, är vertextransitiv , kanttransitiv , och face-transitiv . Enligt denna definition finns det 5 korrekta anslutningar.

Symmetri [4,3], O h [5,3] + , I [5,3], I h

Dualitet självdual Dubbla par

Bild

Sfärisk

Polyedra stellartad oktaeder 5 {3,3} 10 {3,3 5 {4,3} 5 {3,4}

coxeter {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} 2 {5,3} [5 {4,3} ] [5 {3.4} ]2 {3.5}
Anslutningar på det euklidiska och hyperboliska planet
Det finns arton tvåparameterfamiljer med regelbundna kopplingar av euklidiska plana plattor. Fem enparameterfamiljer och sjutton isolerade fall är kända på det hyperboliska planet, men fullständigheten i denna lista har ännu inte bevisats.
Familjerna av föreningar i det euklidiska och hyperboliska planet 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p är heltal) liknar sfäriska stellerade oktaedrar , 2 {3,3}.
Några exempel på euklidiska och hyperboliska regelbundna kopplingar
Självdubbel Självdubbel Självdubbel

2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}

{{4,4}} eller a{4,4} eller {4,4}[2{4,4}]{4,4}
+ eller [2{6,3}]{3,6} a{6,3} eller {6,3}[2{3,6}]
+eller {{∞,∞}} eller a{∞,∞} eller {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}
+eller

3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}

2{3,6}[3{6,3}]{6,3} {3,6}[3{3,6}]2{6,3}
++
++

Anslutningar i 4D-rymden
Ortografiska projektioner

75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

I det 4-dimensionella rymden finns det trettiotvå regelbundna anslutningar av vanliga polytoper, som Coxeter listade i sin bok Regular Polytopes : [22]
Självdubbla regelbundna konjunktioner
Förening Symmetri Vertex plats Celllayout

120 {3,3,3} [5,3,3], order 14400 {5,3,3} {3,3,5}

5 {3,4,3} [5,3,3], order 14400 {3,3,5} {5,3,3}
Korrekt anslutningar som dubbla par
Förening 1 Förening 2 Symmetri Hönsplats (1) Celllayout (1) Hönsplats (2) Celllayout (2)

3 {3,3,4} [23] 3 {4,3,3} [3,4,3], order 1152 {3,4,3} 2{3,4,3} 2{3,4,3} {3,4,3}

15 {3,3,4} 15 {4,3,3} [5,3,3], order 14400 {3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5} {5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], order 14400 5{3,3,5} 10{5,3,3} 10{3,3,5} 5{5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], order 14400 {5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} {3,3,5}

300 {3,3,4} 300 {4,3,3} [5,3,3] + , order 7200 4{5,3,3} 8{3,3,5} 8{5,3,3} 4{3,3,5}

600 {3,3,4} 600 {4,3,3} [5,3,3], order 14400 8{5,3,3} 16{3,3,5} 16{5,3,3} 8{3,3,5}

25 {3,4,3} 25 {3,4,3} [5,3,3], order 14400 {5,3,3} 5{5,3,3} 5{3,3,5} {3,3,5}

Det finns två olika kopplingar med 75 tesserakter: en använder samma hörn som 120-cellen och den andra använder samma hörn som 600-cellen. Därav följer att de motsvarande dubbla föreningarna av 75 sexton-celler också är olika.
Self-Dual Star Compounds
Förening Symmetri Vertex plats Celllayout

5 {5.5/2.5} [5,3,3] + , order 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5.5/2.5} [5,3,3], order 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,5,5/2} [5,3,3] + , order 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], order 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}
Vanliga stjärnanslutningar som dubbla par
Anslutning 1 Anslutning 2 Symmetri Hönsplats (1) Celllayout (1) Hönsplats (2) Celllayout (2)

5 {3,5,5/2 5 {5/2,5,3 [5,3,3] + , order 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3 [5,3,3], order 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5.5/2.3} 5 {3.5/2.5} [5,3,3] + , order 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 _ 10 {3.5/2.5} [5,3,3], order 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,3,5 5 {5,3,5/2} [5,3,3] + , order 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,3,5 10 {5,3,5/2} [5,3,3], order 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

Det finns också fjorton delvis regelbundna kopplingar som antingen är vertextransitiva eller celltransitiva, men inte båda. De sju vertextransitiva partiellt regelbundna kopplingarna är dubbla till de sju celltransitiva delvis regelbundna kopplingarna.
Delvis korrekta anslutningar som dubbla par
Förening 1
är vertex transitiv Förening 2
cell transitiv Symmetri

2 hex-celler [24] 2 tesserakter [4,3,3], order 384

100 tjugofyra celler 100 tjugofyra celler [5,3,3] + , order 7200

200 tjugofyra celler 200 tjugofyra celler [5,3,3], order 14400

5 sexhundra celler 5 hundra och tjugo celler [5,3,3] + , order 7200

10 sexhundra celler 10 hundra tjugo celler [5,3,3], order 14400
Delvis regelbundna stjärnkopplingar som dubbla par
Connection1
är vertex transitiva Join2
cell transitive Symmetri

5 {3,3,5/2 5 {5/2,3,3 [5,3,3] + , order 7200

10 {3,3,5/2 10 {5/2,3,3 [5,3,3], order 14400
Anslutningar i euklidiskt 3-utrymme
De enda vanliga euklidiska bikakekopplingarna är den oändliga familjen av kubiska bikakekopplingar som delar hörn och ytor med andra kubiska bikakekakor. Denna anslutning kan ha valfritt antal kubiska celler. Coxeter-notationen är {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.

Anslutningar i femdimensionella och högre utrymmen

Det finns inga korrekta kopplingar i femdimensionella och sexdimensionella rum. Tre sjudimensionella föreningar (16, 240 och 480 7-simplices ) och sex åttadimensionella (16, 240 och 480 okterakter eller 8-ortoplex ) är kända. Det finns också en koppling av n -dimensionella förenklingar i n -dimensionella rymden, förutsatt att n är en mindre än en potens av två, såväl som två anslutningar (en koppling av n -dimensionella kuber och dess dubbla anslutning av n -dimensionella ortoplexer ) i ett n -dimensionellt utrymme, om n är en potens av två.
Coxeter-notationen för dessa föreningar (där α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:

7-simplicerade: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , där c = 1, 15 eller 30

8-ortoplexer: c γ 8 [16 c β 8 ]

8-kuber: [16 c γ 8 ] c β 8

Allmänt fall (när n = 2 k och d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):

Simplex: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1

Ortoplexer: γ n [ d β n ]

Hyperkuber: [ d γ n ]β n
Euklidisk bikakekoppling
En oändlig familj av vanliga euklidiska bikakekopplingar i dimensioner fem och uppåt är känd - en koppling av hyperkubiska bikakekakor som delar hörn och ytor med andra hyperboliska bikakor. Denna koppling kan ha ett godtyckligt antal hyperboliska celler. Coxeter-notationen för dessa föreningar är δ n [ d δ n ] δ n där δ n = {∞} för n = 2 och {4,3 n −3 ,4} för n ≥ 3.

Abstrakt polyedra

Konceptet med en abstrakt polyeder uppstod när man försökte studera polyedrar utan att koppla dem till det geometriska utrymme där de befinner sig. De inkluderar beläggningar av sfäriska, euklidiska och hyperboliska utrymmen, beläggningar av andra grenrör och många andra objekt som inte har en väldefinierad topologi, utan istället karakteriseras av sin "lokala" topologi. Det finns oändligt många abstrakta polyedrar i vilken dimension som helst. Se atlas för exempel. Några anmärkningsvärda exempel på abstrakta reguljära polyedrar som är svåra att hitta någon annanstans är de elva -cellen , {3,5,3} och de femtiosju -cellerna , {5,3,5}, som har regelbundna projektiva polytoper som celler och vertexfigurer.
Elementen i en abstrakt polyeder är dess kropp (maximalt element), ytor, kanter, hörn och nollpolyedern (tom uppsättning). Dessa abstrakta element kan visas i vanligt utrymme eller tas som geometriska former. Vissa abstrakta polyedrar har välformade eller rimliga implementeringar, andra inte. En flagga är en uppsättning relaterade element för varje dimension. För en fyrdimensionell polyeder är detta en kropp, en yta, en kant på denna yta, en spets på kanten och en nollpolyeder. En abstrakt polyeder sägs vara regelbunden om dess kombinatoriska symmetrier är transitiva på dess flaggor, det vill säga vilken som helst av dess flaggor kan översättas av polyederns symmetri till vilken som helst annan. Abstrakta vanliga polyedrar är ett aktivt forskningsområde.
Fem sådana reguljära abstrakta polyedrar som inte på ett rimligt sätt kan realiseras gavs av Coxeter i hans bok Regular Polytopes (1977) och senare i JM Wills artikel "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987) [25] . De är topologiskt likvärdiga med en toroid . Deras konstruktion genom att placera n ytor nära varje vertex kan fortsätta på obestämd tid, vilket ger en plattsättning av det hyperboliska planet.

Polyeder
Mellersta rhombotriacontahedron
Dodekoddekaeder
Mellersta triambikycosahedron
Bitrigonal dodecahedron
Skårad dodekaeder

Vertex figur {5}, {5/2}
(5,5/2) 2
{5}, {5/2}
(5,5/3) 3

Fasett 30 diamanter
12 pentagoner
12 pentagram
20 hexagoner
12 pentagoner
12 pentagram
20 hexagram

Mosaik
{4, 5
{5, 4
{6, 5
{5, 6
{6, 6}{6, 6

χ −6 −6 −16 −16 −20

De visas som dubbla par:

Den mellersta rombiska triacontahedron och dodecodecahedron är dubbla till varandra.

Den mellersta triambikycosahedron och den bitrigonala dodecahedron är dubbla till varandra.

Den skårade dodekaedern är självdual.

Se även

Polygon
vanlig polygon

stjärnpolygon

Polyeder
Vanlig polyeder (5 vanliga platonska fasta ämnen och 4 Kepler-Poinsot fasta ämnen )
Uniform polyeder

4D polyeder
Vanlig 4-polytop (16 vanliga 4-polytoper, 4 konvexa och 10 stjärniga (Schläfli–Hess))

Uniform fyrdimensionell polyeder

Parkett (geometri)
Tessellation av det euklidiska planet med regelbundna polygoner

Konvexa enhetliga honeycombs

Vanliga flerdimensionella polyedrar
Uniform fyrdimensionell polyeder

Rätt karta

Anteckningar

↑ Coxeter, 1973 , sid. 129.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , sid. trettio.

↑ Johnson, 2012 , sid. 86.

↑ Coxeter, 1973 , sid. 120.

↑ Coxeter, 1973 , sid. 124.

↑ I engelsk litteratur - skev polygon, bokstavligen - en sned polygon . I rysk litteratur har termen rumslig polygon slagit rot , och termen skev polyhedron motsvarar termen skev polyhedron ( skew polyhedron ). Den här artikeln använder termen skev polyeder för dimensioner 4 och högre.

↑ Coxeter, 1973 , sid. 66-67.

↑ Källa . Datum för åtkomst: 10 januari 2016. Arkiverad från originalet den 29 november 2014. (obestämd)

↑ På engelska används följande namn för polyhedra: polyhedra - en tredimensionell polyhedron, polychoron - en fyrdimensionell polyhedron, polytope - en polyeder med dimension 5 och högre. På ryska används som regel termen polyhedron , ibland polytop , för alla dessa arter .

↑ Coxeter (1973 ), Tabell I: Regelbundna polytoper, (iii) Tre vanliga polytoper för dimensionerna n (n>=5), s. 294–295.

↑ Abstrakta reguljära polytoper, sid. 162-165 [1] Arkiverad 15 september 2019 på Wayback Machine

↑ Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra—Gammal och New", Aeqationes mathematicae , Vol. 16 (1977), sid 1-20.

↑ Coxeter, 1937 , sid. 33–62.

↑ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34

↑ The Symmetry of Things, 2008, Kapitel 23 Objekt med primär symmetri , Infinite Platonic Polyhedra , s. 333–335

↑ McMullen, Schulte, 2002 , sid. 224.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , sid. 7E §.

↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Kanada. J Math. 19, 1179–1186, 1967. [2] Arkiverad 2 april 2015 på Wayback Machine Obs: Artikeln säger att det finns 32, men en är självdual, så det lämnar 31.

↑ 1 2 3 Coxeter, 1973 , sid. 296, Tabell II: Vanliga bikakor.

↑ 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , sid. Kapitel 10

↑ Coxeter, 1956 , sid. 213, tabell IV.

↑ Coxeter, 1973 , sid. 305 Tabell VII.

↑ Richard Klitzing, Uniform compound, stellated icositetrachoron Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine

↑ Richard Klitzing, Uniform compound, demidistesseract Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine

↑ The Regular Polyhedra (av index två) Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine , David A. Richter

Litteratur

HSM Coxeter . Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - S. 155-169. . Omtryckt i HSM Coxeter . Kapitel 10, sid. 199–214 // Geometrins skönhet: tolv essäer . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Se särskilt tabellerna II,III,IV,V, s. 212–213 iGeometrins skönhet.

HSM Coxeter . Vanliga polytoper. — 3:a. — Dover Publications, Inc., 1973.. Se särskilt tabellerna I och II: Regelbundna polytoper och honeycombs, s. 294–296.

Norman W. Johnson. Internationell konferens om matematik för avstånd och tillämpningar. — 2–5 juli 2012, Varna, Bulgarien, 2012. — S. 85–95.

HSM Coxeter. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions // Proc. London Math. Soc.. - 1937. - Utgåva. 43 . — s. 33–62 .

Peter McMullen, Egon Schulte. Abstrakta vanliga polytoper. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .

DMY Sommerville. En introduktion till n dimensioners geometri. — New York: Dover Publications, Inc., 1958. . Nyutgåva 1930, EP Dutton. Se kapitel X: De vanliga polytoperna.

Visualisera hyperboliska honungskakor Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]

Länkar

Platonska fasta ämnen

Kepler-Poinsot kroppar

Vanliga 4d Polytope utfällbara

Flerdimensionell ordlista (se Hexacosichoron och Hecatonicosachoron )

Polytope Viewer

Polytoper och optimal packning av p-punkter i n-dimensionella sfärer

Atlas över små regelbundna polyedrar

Regelbundna polyedrar genom tiden I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetries

Polyedra
Korrekt
Tredimensionell
(platoniska fasta ämnen)
vanlig tetraeder

Kub

Oktaeder

Dodekaeder

icosahedron

4D
Femceller

tesserakt

Hexadecimal cell

tjugofyra celler

120 celler

Sexhundra celler

Större dimension
(anges inom parentes)
Vanlig simplex

Hypercube ( Penteract (5)

Hexeract (6)

Hepteract (7)

Octeract (8)

Enneract (9)

Deceract (10) )

hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex
stjärnformad dodekaeder

Stjärnbildad icosidodecahedron

stjärnbildad ikosaeder

stjärnpolyeder

stellartad oktaeder

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)
Monohedron (1)

Dihedron (2)

Trihedron (3)

Tetraeder (4)

Pentahedron (5)

Hexaeder (6)

Heptahedron (7)

Oktaeder (8)

Enneahedron (9)

Dekaeder (10)

Endecahedron (11)

Dodekaeder (12)

Tridecahedron (13)

Tetradecahedron (14)

Pentadecahedron (15)

Hexadekaeder (16)

Heptadecahedron (17)

Octadecahedron (18)

Enneadekaeder (19)

Icosahedron (20)

Icosotetrahedron (24)

Triacontahedron (30)

Hexacontahedron (60)

Enneacontahedron (90)

Hectotriadiohedron (132)

Apeirohedron (∞)

konvex
Arkimedeiska fasta ämnen
Cuboctahedron

icosidodecahedron

stympad tetraeder

stympad oktaeder

Stympad icosahedron

stympad kub

stympad dodekaeder

Rhombicuboctahedron

Rhombicosidodecahedron

Stympad cuboctahedron

Rombottrunkerad icosidodecahedron

snubb kub

snubbig dodekaeder

Katalanska kroppar
rombisk dodekaeder

Rhombotriacontahedron

Triakistetraeder

Tetrakishexahedron

Pentakisdodecahedron

Triakisoctahedron

Triakisicosahedron

Deltoidal icositetrahedron

Deltoidal hexecontahedron

Hexakisoktaeder

hexakisicosahedron

Pentagonal icositetrahedron

Pentagonal hexecontahedron

Prismor

trekantsprisma

fyrkantigt prisma

Pentagonal prisma

Sexkantigt prisma

Heptagonal prisma

Åttakantigt prisma

Niovinklat prisma

Dekagonalt prisma

Elvavinklat prisma

Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

fyrkantig pyramid

Pentagonal pyramid

Tri-slope kupol

Fyrkantig kupol

fem sluttningar kupol

fem lutning rotunda

Långsträckt triangulär pyramid

Långsträckt fyrkantig pyramid

Långsträckt femkantig pyramid

Vriden långsträckt fyrkantig pyramid

Vriden långsträckt femkantig pyramid

triangulär bipyramid

Pentagonal bipyramid

Långsträckt triangulär bipyramid

Långsträckt fyrkantig bipyramid

Långsträckt femkantig bipyramid

Vriden långsträckt fyrkantig bipyramid

Långsträckt triangulär kupol

Förlängd höftkupol

Förlängd femsidig kupol

Långsträckt rotunda med fem lutning

Vriden långsträckt triangulär kupol

Vriden långsträckt fyrkantig kupol

Vriden långsträckt kupol med fem höjdpunkter

Vriden långsträckt femlutningsrotunda

Gyrobifastigium

Tre lutning rak bi-dome

Fyra lutning rak bi-dome

Fyra lutning svarvad bi-dome

Fem lutning rak bi-dome

Fem sluttande bi-dome

Fem lutning rak kupol

Fem sluttningar svängd kupol-orotonda

Fem sluttningar raka birotunda

Långsträckt tri-slope rak bi-dome

Långsträckt tri-slope roterad bi-dome

Långsträckt fyrkantig gyrobikupol

Långsträckt femlutande rak bi-dome

Långsträckt femlutande svarvad bi-dome

Långsträckt femlutande rak kupol

Långsträckt kupol med fem lutning

Långsträckt femlutande rak birotunda

Långsträckt femlutningssvängd birotunda

Vriden långsträckt tri-slope bi-dome

Vriden långsträckt fyrkantig bi-dome

Vriden långsträckt femlutande bi-dome

Vriden långsträckt kupol med fem lutning

Vriden långsträckt femlutningsbirotunda

Förlängt triangulärt prisma

Dubbelt förlängt triangulärt prisma

Trippelförlängt triangulärt prisma

Förlängt femkantigt prisma

Dubbelt förlängt femkantigt prisma

Förlängt hexagonalt prisma

Dubbelt motsatt förlängt hexagonalt prisma

Dubbelt snett utdraget sexkantigt prisma

Trippelt förlängt hexagonalt prisma

förstärkt dodekaeder

Dodekaedern dubbelt utsträckt

Dodekaedern dubbelt utsträckt

Triple Augmented Dodecahedron

Dubbel snett skuren icosahedron

Trippelskuren icosahedron

Förstärkt triple cut icosahedron

Förstärkt trunkerad tetraeder

Förstärkt trunkerad kub

Dubbelt förstärkt trunkerad kub

Förstärkt stympad dodekaeder

Dodekaeder stympad dodekaeder dubbelt utsträckt

Dodekaeder dodekaeder

Triple-Augmented Trunkated Dodecahedron

Vriden rhombicosidodecahedron

Dubbelt vriden rhombicosidodecahedron

Dubbelt vriden rhombicosidodecahedron

Tri-twisted rhombicosidodecahedron

Skär av rhombicosidodecahedron

Motsatt vriden stympad rhombicosidodecahedron

Snett vriden stympad rhombicosidodecahedron

Dubbelt vriden stympad rhombicosidodecahedron

Dubbelt motsatt skuren rhombicosidodecahedron

Den två gånger snett skurna rhombicosidodecahedronen

Vriden dubbelskuren rhombicosidodecahedron

Tredelad rhombicosidodecahedron

skivepitelbiclinoid

Snub fyrkantig antiprisma

kilkrona

Förlängd kilkrona

Stor kilkrona

Tillplattad stor kilkrona

Biclinic med bälte

Dubbel Serporotonda

Tillplattad triangulär clinorohonde

Pyramid

Bipyramid

antiprisma

Zonohedron

Parallellepiped

Romboeder

prismatoid

Tetraeder

Stympad pyramid

Pentagondodecahedron

parallelloeder

Kupol

Rotunda

Birotonda

Deltahedron

Trapecerombisk dodekaeder

Bilinsky dodekaeder

Cyklisk polyeder

Formler ,
satser ,
teorier
Alexandrovs svepsats

Bleeckers sats

Cauchys polytopsats

Lindelöfs polytopsats

Minkowskis polyhedrasats

Sabitovs teorem

Eulers sats för polyedrar

Schläfli formel

Övrig
Schläfli symbol

Conway notation

Silashi polyeder

Chasar polyeder

Schoenhardt polyeder

Flexibel polyeder ( Steffen polyhedron )

Hanner polyeder

Holyhedron

Permutationspolyeder

Ortocentrisk tetraeder

Isoedrisk tetraeder

kubisk

Polyeder grupp

Dodekaedrar

Gedigen vinkel

enhetskub

Skanna

Parkett

Scutoid

Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i utrymmen med dimensionerna 2–10

Familj ${\tilde{A}}_{n-1}$ ${\tilde{C}}_{n-1}$ ${\tilde{B}}_{n-1}$ ${\tilde{D}}_{n-1}$ ${\tilde{G}}_2$ / / ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$

Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal

Homogena konvexa bikakor {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4

enhetlig femdimensionell bikaka {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Bikaka med 24 celler

enhetlig sexdimensionell bikaka {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6

enhetlig sjudimensionell bikaka {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _

enhetlig åttadimensionell bikaka {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31

enhetlig niodimensionell bikaka {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21

Enhetliga n - dimensionella bikakor {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriska mosaiker
Periodisk
Pythagoras

Rombisk

Schwartz triangel

Rektangulär
Domino

Femsidig

Homogen mosaik

Honeycombs
Färgläggning

Konvex

Delad mosaik

Platt kristallografisk grupp

Wythoff konstruktion

Aperiodisk
Ammann-Binker

Aperiodisk uppsättning mosaikplattor
Lista

En brickutmaning
Sokolara - Taylor

Gilbert

Penrose

pinwheel

Kupolformad

Delande och självklistrade set
Sfinx

Truche

Övrig
Non- isohedral och isohedral

Arkitektonisk och reflekterande

Circle Limit III

Datorgrafik

honungskakor

Kant transitiv

Paket

Uppgifter
Skåpbil

heesh

kvadrera

Mosaikplattor
Conways kriterium

Girih

Regelbunden uppdelning av planet

Vanligt galler

Byten

Voronoi diagram

Foderberg

Genom vertexkonfiguration
_
Sfärisk
2n _

3 3 n

V3 3.n _

42.n _ _

V4 2.n _

Korrekt
2∞ _

3 6

4 4

6 3

halvkorrekt
_
3 2 .4.3.4

V3 2.4.3.4 _

3 3 .4 2

3 3 .∞

3 4 .6

V3 4.6 _

3.4.6.4

(3.6) 2

3.12 2

4 2 .∞

4.6.12

4,8 2

Hyperbolisk
_
3 2 .4.3.5

3 2 .4.3.6

3 2 .4.3.7

3 2 .4.3.8

3 2 .4.3.∞

3 2 .5.3.5

3 2 .5.3.6

3 2 .6.3.6

3 2 .6.3.8

3 2 .7.3.7

3 2 .8.3.8

3 3 .4.3.4

3 2 .∞.3.∞

3 4 .7

3 4 .8

3 4 .∞

3 5 .4

3 7

3 8

3∞ _

(3.4) 3

(3.4) 4

3.4.6 2.4 _

3.4.7.4

3.4.8.4

3.4.∞.4

3.6.4.6

(3.7) 2

(3.8) 2

3,14 2

3,16 2

(3.∞) 2

3.∞ 2

4 2 .5.4

4 2 .6.4

4 2 .7.4

4 2 .8.4

4 2 .∞.4

4 5

4 6

4 7

4 8

4∞ _

(4.5) 2

(4.6) 2

4.6.12

4.6.14

V4.6.14

4.6.16

V4.6.16

4.6.∞

(4.7) 2

(4.8) 2

4.8.10

V4.8.10

4.8.12

4.8.14

4.8.16

4.8.∞

4.10 2

4.10.12

4.12 2

4.12.16

4,14 2

4,16 2

4.∞ 2

(4.∞) 2

5 4

5 5

5 6

5∞ _

5.4.6.4

(5.6) 2

5,8 2

5.10 2

5.12 2

(5.∞) 2

6 4

6 5

6 6

6 8

6.4.8.4

(6.8) 2

6,8 2

6.10 2

6.12 2

6,16 2

7 3

74 _

7 7

7,6 2

7,8 2

7.14 2

8 3

8 4

8 6

8 8

8 12

8,6 2

8.16 2

∞ 3

∞ 4

∞ 5

∞∞ _

∞.6 2

∞.8 2

Schläfli {p,q,r}	Celltyp { p,q}	Ansiktstyp { p}	Kantfigur { r}	Hönsfigur { q,r}
{2,4,4	{2,4}	{2}	{fyra}	{4,4}
{2,3,6	{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}	{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}	{4,4}	{fyra}	{2}	{4,2}
{3,6,2}	{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}	{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

namn	Schläfli-symbol { p,q,r}	Celltyp { p,q}	Ansiktstyp { p}	Kantfigur { r}	Hönsfigur { q,r}	Dubbel
Icosahedral honeycombs	{3,5,3}	{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	Självdubbel
Cubic honeycombs order 5	{4,3,5}	{4,3}	{fyra}	{5}	{3,5}	{5,3,4}
Beställ 4 dodekaedriska honeycomb	{5,3,4}	{5,3}	{5}	{fyra}	{3,4}	{4,3,5}
Dodekaedrisk honeycomb order 5	{5,3,5}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	Självdubbel

namn	Schläfli-symbol { p,q,r}	Celltyp { p,q}	Tpi- kant {p}	Kantfigur { r}	Hönsfigur { q,r}	Dubbel
Tetraedriska bikakor av ordning 6	{3,3,6}	{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	{6,3,3}
Sexkantiga mosaikbikakor	{6,3,3}	{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	{3,3,6}
Beställ 4 oktaedriska honeycomb	{3,4,4}	{3,4}	{3}	{fyra}	{4,4}	{4,4,3}
Fyrkantiga mosaik honeycombs	{4,4,3}	{4,4}	{fyra}	{3}	{4,3}	{3,3,4}
Triangulära mosaikbikakor	{3,6,3}	{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	Självdubbel
Cubic honeycombs order 6	{4,3,6}	{4,3}	{fyra}	{fyra}	{3,4}	{6,3,4}
Beställ 4 hexagonala mosaikhoneycombs	{6,3,4}	{6,3}	{6}	{fyra}	{3,4}	{4,3,6}
Fyrkantiga mosaik honeycombs order 4	{4,4,4}	{4,4}	{fyra}	{fyra}	{4,4}	{4,4,4}
Dodekaedrisk honeycomb order 6	{5,3,6}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{6,3,5}
Hexagonal mosaik honeycomb order 5	{6,3,5}	{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	{5,3,6}
Hexagonala mosaik honeycombs order 6	{6,3,6}	{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	Självdubbel

namn	Schläfli-symbol { p,q,r,s}	Fasetttyp { p,q,r}	Celltyp { p,q}	Ansiktstyp { p}	ansiktsform { s}	Kantfigur { r,s}	Hönsfigur { q,r,s}	Dubbel
Tesseract honeycombs	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{fyra}	{fyra}	{3,4}	{3,3,4}	Självdubbel
16-cells honungskaka	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
Tjugofyra -cells honungskaka	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

namn	Schläfli-symbol { p,q,r,s}	Fasetttyp { p,q,r}	Celltyp { p,q}	Ansiktstyp { p}	ansiktsform { s}	Kantfigur { r,s}	Hönsfigur { q,r,s}	Dubbel
Fem-cells honeycomb order 5	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
120 cells honungskakor	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Tesseract honeycombs order 5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{fyra}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
120 cell ordning 4 celler	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{fyra}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
120 cell order 5 honeycombs	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Självdubbel

namn	Schläfli-symbol { p,q,r,s}	Fasetttyp { p,q,r}	Celltyp { p,q}	Ansiktstyp { p}	ansiktsform { s}	Kantfigur { r,s}	Hönsfigur { q,r,s}	Dubbel
24 cell ordning 4 celler	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{fyra}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Cubic honeycomb	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{fyra}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

namn	Schläfli-symbol { p,q,r,s}	Fasetttyp { p,q,r}	Celltypstyp { p,q}	Ansiktstyp { p}	ansiktsform { s}	Kantfigur { r,s}	Hönsfigur { q,r,s}	Dubbel	Densitet _
Bikaka från en liten stjärnformad 120-cell	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3	{5/2.5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
600-cells pentagram order	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
Icosahedral 120-cells honeycomb order 5	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2.5}	{5.5/2.5}	{5.5/2.5.3}	tio
Honeycombs av en stor 120-celler	{5.5/2.5.3}	{5.5/2.5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	tio

namn	Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 }	Fasetttyp _	Vertex figur	Dubbel
Fyrkantig parkett	{4,4}	{fyra}	{fyra}	Självdubbel _
kubisk honungskaka	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Själv - dubbel
Tesseract honeycombs	{4,3 2 ,4}	{4,3 2 }	{3 2 ,4}	Själv - dubbel
5-kubisk honeycomb	{4,3 3 ,4}	{4,3 3 }	{3 3 ,4}	Själv - dubbel
6-kubisk honeycomb	{4,3 4 ,4}	{4,3 4 }	{3 4 ,4}	Själv - dubbel
7-kubika honeycombs	{4,3 5 ,4}	{4,3 5 }	{3 5 ,4}	Själv - dubbel
8-kubika honeycombs	{4,3 6 ,4}	{4,3 6 }	{3 6 ,4}	Själv - dubbel
n -dimensionella hyperkubiska bikakor	{4,3 n−2 ,4}	{4,3n −2 }	{ 3n−2 ,4}	Själv - dubbel

namn	Schläfli symbol { p,q,r,s,t}	Fasetttyp { p,q,r,s}	4-ansiktstyp { p,q,r}	celltyp { p,q}	ansiktstyp { p}	cellfigur { t}	ansiktsfigur { s,t}	kantfigur { r,s,t}	Hönsfigur { q,r,s,t}	Dubbel
5-ortoplex honeycomb	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
Tjugofyra -cells honungskakor	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
16-cells honungskaka	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	Själv - dubbel
24 cell ordning 4 celler	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{fyra}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4	{4,3,3,4,3}
Tesseract honeycombs	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4	{4,3,3}	{4,3}	{fyra}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

2{2}	3{2}	4{2}	5{2}	6{2}	7{2}	8{2}	9{2}	10{2}	11{2}	12{2}	13{2}	14{2}	15{2}
2{3}	3{3}	4{3}	5{3}	6{3}	7{3}	8{3}	9{3}	10{3}	2{4}	3{4}	4{4}	5{4}	6{4}	7{4}
2{5}	3{5}	4{5}	5{5}	6{5}	2{5/2}	3{5/2}	4{5/2}	5{5/2}	6{5/2}	2{6}	3{6}	4{6}	5{6}
2{7}	3{7}	4{7}	2{7/2}	3{7/2}	4{7/2}	2{7/3}	3{7/3}	4{7/3}	2{8}	3{8}	2{8/3}	3{8/3}
2{9}	3{9}	2{9/2}	3{9/2}	2{9/4}	3{9/4}	2{10}	3{10}	2{10/3}	3{10/3}
2{11}	2{11/2}	2{11/3}	2{11/4}	2{11/5}	2{12}	2{12/5}	2{13}	2{13/2}	2{13/3}	2{13/4}	2{13/5}	2{13/6}
2{14}	2{14/3}	2{14/5}	2{15}	2{15/2}	2{15/4}	2{15/7}

Förbindande rymdrutor		Anslutning av rumsliga hexagoner	Förbinder rumsliga dekagoner
Två {2}#{ }	Tre {2}#{ }	Två {3}#{ }	Två {5/3}#{ }

Dualitet	självdual			Dubbla par
Symmetri	[4,3], O h	[5,3] + , I	[5,3], I h
Bild
Sfärisk
Polyedra	stellartad oktaeder	5 {3,3}	10 {3,3	5 {4,3}	5 {3,4}
coxeter	{4,3} [2 {3,3} ] {3,4}	{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}	2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5}	2 {5,3} [5 {4,3} ]	[5 {3.4} ]2 {3.5}

Självdubbel	Självdubbel		Självdubbel
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}

{{4,4}} eller a{4,4} eller {4,4}[2{4,4}]{4,4} + eller	[2{6,3}]{3,6}	a{6,3} eller {6,3}[2{3,6}] +eller	{{∞,∞}} eller a{∞,∞} eller {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} +eller
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

	2{3,6}[3{6,3}]{6,3}	{3,6}[3{3,6}]2{6,3} ++	++

Förening	Symmetri	Vertex plats	Celllayout
120 {3,3,3}	[5,3,3], order 14400	{5,3,3}	{3,3,5}
5 {3,4,3}	[5,3,3], order 14400	{3,3,5}	{5,3,3}

Förening 1	Förening 2	Symmetri	Hönsplats (1)	Celllayout (1)	Hönsplats (2)	Celllayout (2)
3 {3,3,4} [23]	3 {4,3,3}	[3,4,3], order 1152	{3,4,3}	2{3,4,3}	2{3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], order 14400	{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], order 14400	5{3,3,5}	10{5,3,3}	10{3,3,5}	5{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], order 14400	{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3] + , order 7200	4{5,3,3}	8{3,3,5}	8{5,3,3}	4{3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], order 14400	8{5,3,3}	16{3,3,5}	16{5,3,3}	8{3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], order 14400	{5,3,3}	5{5,3,3}	5{3,3,5}	{3,3,5}

Förening	Symmetri	Vertex plats	Celllayout
5 {5.5/2.5}	[5,3,3] + , order 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5.5/2.5}	[5,3,3], order 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3] + , order 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], order 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Anslutning 1	Anslutning 2	Symmetri	Hönsplats (1)	Celllayout (1)	Hönsplats (2)	Celllayout (2)
5 {3,5,5/2	5 {5/2,5,3	[5,3,3] + , order 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3	[5,3,3], order 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5.5/2.3}	5 {3.5/2.5}	[5,3,3] + , order 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 _	10 {3.5/2.5}	[5,3,3], order 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,3,5	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] + , order 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,3,5	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], order 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Förening 1 är vertex transitiv	Förening 2 cell transitiv	Symmetri
2 hex-celler [24]	2 tesserakter	[4,3,3], order 384
100 tjugofyra celler	100 tjugofyra celler	[5,3,3] + , order 7200
200 tjugofyra celler	200 tjugofyra celler	[5,3,3], order 14400
5 sexhundra celler	5 hundra och tjugo celler	[5,3,3] + , order 7200
10 sexhundra celler	10 hundra tjugo celler	[5,3,3], order 14400

Connection1 är vertex transitiva	Join2 cell transitive	Symmetri
5 {3,3,5/2	5 {5/2,3,3	[5,3,3] + , order 7200
10 {3,3,5/2	10 {5/2,3,3	[5,3,3], order 14400

Polyeder	Mellersta rhombotriacontahedron	Dodekoddekaeder	Mellersta triambikycosahedron	Bitrigonal dodecahedron	Skårad dodekaeder
Vertex figur	{5}, {5/2}	(5,5/2) 2	{5}, {5/2}	(5,5/3) 3
Fasett	30 diamanter	12 pentagoner 12 pentagram	20 hexagoner	12 pentagoner 12 pentagram	20 hexagram
Mosaik	{4, 5	{5, 4	{6, 5	{5, 6	{6, 6}{6, 6
χ	−6	−6	−16	−16	−20