Anslutning av polyedrar

En sammansättning av polyedrar är en figur som består av några polyedrar som har ett gemensamt centrum. Anslutningar är de tredimensionella motsvarigheterna till polygonala anslutningar som hexagrammet .

En anslutnings yttre hörn kan kopplas ihop för att bilda en konvex polyeder , kallad ett konvext skrov . Kopplingen är en aspekt av det konvexa skrovet.

Inom föreningen bildas en mindre konvex polyeder som en gemensam del av alla medlemmar av föreningen. Denna polyeder kallas kärnan för stjärnpolyeder .

Korrekt anslutningar

Regelbundna polyedriska förbindelser kan definieras som förbindelser som, som i fallet med vanliga polyedrar, är vertextransitiv , edge-transitive och face -transitive [ . Det finns fem vanliga anslutningar av polyedrar.

Den mest kända är sammansättningen av två tetraedrar . Kepler kallade denna förening på latin stella octangula (stellad oktaeder). De två tetraedrarnas hörn definierar en kub , och deras skärningspunkt är en oktaeder , vars ytor ligger på samma plan som ytorna på komponenttetraedrarna. Således är konjunktionen en reduktion till oktaederns stjärna och i själva verket dess enda möjliga reduktion.

Den stjärnformade oktaedern kan också ses som en dubbel regelbunden sammansättning.

En sammansättning av fem tetraedrar har två spegelversioner, som tillsammans ger en sammansättning av tio tetraedrar. Alla föreningar av tetraedrar är självdubbla, och sammansättningen av fem kuber är dubbel till sammansättningen av fem oktaedrar.

Dual Compounds

En dubbelförening är en sammansättning av en polyeder och dess dubbel, belägen ömsesidigt motsatt med avseende på en vanlig inskriven eller halvinskriven sfär, så att kanten på en polyeder skär den dubbla kanten av den dubbla polyederen. Det finns fem sådana föreningar av vanliga polyedrar.

Tetraedern är självdual, så den dubbla sammansättningen av en tetraeder med sin dubbla är också en stellartad oktaeder.

De dubbla föreningarna kub-oktaeder och dodekaeder-ikosaeder är stjärnreduktioner av kuboktaedern respektive icosidodekaedern .

Konjunktionen av den lilla stjärnformade dodekaedern och den stora dodekaedern ser utåt ut som samma lilla stjärnformade dodekaeder, eftersom den stora dodekaedern är helt innesluten i den. Av denna anledning visas bilden av den lilla stjärnformade dodekaedern ovan som en trådram.

Homogena föreningar

År 1976 publicerade John Skilling Uniform Compounds of Uniform Polyhedra [1] där han listade 75 föreningar (inklusive 6 oändliga uppsättningar av prismatiska föreningar, #20-25) erhållna från enhetliga polyedrar genom rotationer. (Varje vertex är vertextransitiv .) Listan innehåller fem föreningar av vanliga polytoper från listan ovan. [ett]

Dessa 75 homogena föreningar listas i tabellen nedan. I de flesta föreningar motsvarar olika färger olika beståndsdelar. Vissa chirala par är färgade enligt spegelsymmetri.

• 1-19: Blandning (4,5,6,9,17 är de fem korrekta föreningarna )

• 20-25: Prismasymmetri inbäddad i dihedrisk symmetri i 3D-rymden ,

• 26-45: Prismasymmetri kapslad i oktaedrisk eller ikosaedrisk symmetri,

• 46-67: Tetraedrisk symmetri kapslad inom oktaedrisk eller ikosaedrisk symmetri,

• 68-75: enantiomorfa par

Andra anslutningar

• Anslutning av tre oktaedrar
• Anslutning av fyra kuber

Två polyedrar som är sammansättningar, men deras element är strikt inneslutna i en liten sammansatt icosidodecahedron (en sammansättning av en ikosaeder och en stor dodekaeder ) och en stor sammansatt isosidodekaeder (en sammansättning av en liten stjärndodekaeder och en stor ikosaeder ). Om vi ​​accepterar den generaliserade definitionen av en homogen polyeder kommer de att vara homogena.

Sektionen av entianomorfa par i Skillings lista innehåller inte en sammansättning av två stora snub dodecicosidodecahedrons eftersom ytorna på pentagrammet sammanfaller. Att ta bort matchande ytor kommer att resultera i en anslutning av tjugo oktaedrar .

Fyrdimensionella anslutningar

I det fyrdimensionella rummet finns ett stort antal regelbundna kopplingar av vanliga polyedrar. Coxeter listade några av dem i sin bok Regular Polyhedra [2] .

Självdubbel:

Dubbla par:

Homogena förbindelser med konvexa fyrdimensionella polyedrar:

Dubbla positioner:

Anslutning av vanliga stjärna fyrdimensionella polyedrar

Självdubbla stjärnanslutningar:

Dubbla par av konjunktioner av stjärnor:

Homogena föreningar av stjärnor :

Gruppteori

När det gäller gruppteori , om G är symmetrigruppen för en förening av polytoper och gruppen verkar transitivt på en polytop (så vilken polytop som helst kan vara i vilken som helst annan, som i homogena föreningar), då om H är stabilisatorn för en vald polytop, kan polytoperna definieras av omloppsbana G / H .

Anslutande mosaiker

Det finns arton tvåparameterfamiljer av regelbundna kakelkopplingar i det euklidiska planet. Fem enparameterfamiljer och sjutton isolerade plattsättningar är kända i hyperboliskt utrymme, men listan är inte komplett.

Euklidiska och hyperboliska familjer 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p är heltal) liknar sfäriska stellerade oktaedrar , 2 {3,3}.

En välkänd familj av regelbundna euklidiska bikakekopplingar i utrymmen med dimension fem och högre är en oändlig familj av hyperboliska bikakekakor som har gemensamma hörn och ytor. En sådan anslutning kan ha ett godtyckligt antal celler i anslutningen.

Det finns också dubbla regelbundna kakelkopplingar. Ett enkelt exempel är E 2 - anslutningen av en sexkantig plattsättning och dess dubbla triangulära plattsättning . Den euklidiska kopplingen mellan två hyperboliska bikakor är regelbunden och dubbelt regelbunden.

Anteckningar

1. ↑ Skilling, 1976 , sid. 447–457.
2. ↑ Coxeter, 1973 , sid. 305, tabell VII.
3. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Stellated icosahedron Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
4. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Demidistesseract Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
5. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Dual positioned 24-cells Arkiverad 2 april 2016 på Wayback Machine

Litteratur

• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .
• P. Cromwell. Polyedra. - Storbritannien: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Arkimedeiska fasta ämnen . - ISBN 0-521-55432-2 .
• Magnus Wenninger. Dubbla modeller . - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P.  51-53 . .
• Michael G Harman Polyedriska föreningar. - opublicerat manuskript, 1974. .
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen och Gleichflächigen Polyeder. Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. - 1876. - T. 11. - S. 5–97.
• HSM Coxeter . Kapitel 8: Trunkering // Regular Polytopes . — 3:e upplagan. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .

• Anthony Pugh. Polyhedra: Ett visuellt tillvägagångssätt. - Kalifornien: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . sida 87 Fem vanliga föreningar

Externa länkar

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Compound polyhedra – från Virtual Reality Polyhedra
  • Uniforma föreningar av enhetliga polyedrar
• Skillings 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skillings Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Polyedriska föreningar
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Sammansättning av Small Stellated Dodecahedron och Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}