Ikosaedrisk symmetri

Punktgrupp i 3D-rymden

Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetrier C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrisk symmetri Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

En vanlig ikosaeder har 60 rotationssymmetrier (eller orienteringsbevarande) symmetrier och har en symmetriordning 120, inklusive transformationer som kombinerar reflektion och rotation. Den vanliga dodekaedern har samma uppsättning symmetrier som den är dubbel till ikosaedern.

Uppsättningen av orienteringsbevarande symmetrier bildar en grupp, som betecknas med A5 ( en alternerande grupp med 5 bokstäver) , och den fullständiga symmetrigruppen (inklusive reflektioner) är produkten av A5Z2 . Den sista gruppen är också känd som Coxeter-gruppen H 3 och representeras i Coxeter-notationen som [5,3] och har ett Coxeter-Dynkin-diagram $\ gånger$ .

Som en punktgrupp

Bortsett från de två oändliga familjerna av prismatiska och antiprismatiska symmetrier, är rotationsikosaedrisk symmetri eller kiral ikosaedrisk symmetri av kirala objekt och full ikosaedrisk symmetri eller akiral ikosaedrisk symmetri de diskreta punktsymmetrierna (eller motsvarande symmetrierna ) med den största symmetrin på den största symmetrin .

Ikosaedrisk symmetri är inte kompatibel med translationell symmetri , så det finns inga associerade kristallografiska punktgrupper eller kristallografiska grupper .

Schoenflugor	Coxeter		Orbifold	abstrakt struktur	Beställ
jag	[5,3] +		532	A5 _	60
jag h	[5,3]		*532	$A_{5}\times 2$	120

Gruppuppgifter motsvarande de som beskrivs ovan:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Detta motsvarar de ikosaedriska grupperna (rotation och total), som är triangelgrupperna (2,3,5) .

Den första uppgiften för gruppen gavs av Hamilton 1856 i hans papper om Icosians [1] .

Observera att andra uppdrag är möjliga, till exempel en alternerande grupp (för I ).

Visualisering

Schoenflies ( Orbifold )	Coxeter notation	Element	Spegeldiagram
Schoenflies ( Orbifold )	Coxeter notation	Element	ortogonal	Stereografisk projektion
I h (*532)	[5,3]	Spegellinjer : 15
I (532)	[5,3] +	Rotationspoäng : 12 5 20 3 30 2

Gruppstruktur


Kanterna på den sfäriska anslutningen av fem oktaedrar representerar 15 plan av spegelreflektion i form av stora färgade cirklar. Varje oktaeder kan representera 3 ortogonala spegelreflektionsplan längs dess kanter.

Pyritohedrisk symmetri är en undergrupp med index 5 av icosaedrisk symmetri, med 3 ortogonala gröna reflektionslinjer och 8 röda ordningsföljder med 3 rotationspunkter. Eftersom undergruppen har index 5, finns det 5 andra pyrit-hedriska symmetriorienteringar.

Rotationsgruppen för ikosaedern I har ordning 60. Gruppen I är isomorf till gruppen A 5 , en alternerande jämn permutationsgrupp på fem objekt. Denna isomorfism kan realiseras genom att verka på olika föreningar av I , särskilt föreningen av fem kuber (som är inskriven i en dodekaeder ), föreningen av fem oktaedrar eller en av de två föreningarna av fem tetraedrar (som är enantiomorf och inskriven i en dodekaeder).

Gruppen innehåller 5 T h versioner med 20 D 3 versioner (10 axlar, 2 per axel), och 6 D 5 versioner .

Den fullständiga ikosaedriska gruppen Ih har ordning 120. I är en normal undergrupp av gruppen Ih av index 2. Gruppen Ih är isomorf till , eller , med central symmetri motsvarande (1,-1), där Z 2 är skriven multiplikativt. $I\times Z_{2}$ $A_{5}\times Z_{2}$

I h verkar på sammansättningen av fem kuber och sammansättningen av fem oktaedrar , men −1 fungerar som det identiska elementet (eftersom kuber och oktaedrar är centralt symmetriska). Gruppen verkar på sammansättningen av tio tetraedrar - I verkar på de två kirala halvorna ( sammansättningar av fem tetraedrar ), och −1 byter ut de två halvorna. I synnerhet fungerar den inte som S 5 och dessa grupper är inte isomorfa, se nedan.

Gruppen innehåller 10 versioner av D 3d och 6 versioner av D 5d (symmetrier som liknar antirpisims).

I är också isomorf till PSL 2 (5), men Ih är inte isomorf till SL 2 (5).

Grupper som ofta förväxlas med symmetrigruppen i icosahedron

Följande grupper har ordning 120 men är inte isomorfa till varandra:

S 5 , symmetrisk grupp av 5 element
I h , full ikosaedrisk grupp (ämnet för denna artikel, även känd som H 3 )
2 I , binär grupp av icosahedron

De motsvarar följande korta exakta sekvenser (av vilka den sista inte delas) och produkten

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

{\displaystyle I_{h}=A_{5}\ gånger Z_{2))

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Med andra ord,

$A_{5}$ är en normal undergrupp i gruppen $S_5$
$A_{5}$ är faktorgruppen i gruppen som är den direkta produkten $I_{h}$
$A_{5}$ är en faktorgrupp i gruppen $2I$

Observera att den har en exceptionell irreducerbar 3-dimensionell representation (som en icosaedrisk rotationsgrupp), men inte har en irreducerbar 3-dimensionell representation som motsvarar en full icosahedrisk grupp som inte är en symmetrisk grupp. $A_{5}$ $S_5$

De kan relateras till linjära grupper över ett ändligt fält med fem element, som är undergrupper av direkttäckande grupper. Ingen av dessa är kompletta ikosaedriska grupper:

$A_{5}\cong \operatörsnamn {PSL} (2,5),$ projektiv speciell linjär grupp ;
$S_{5}\cong \operatörsnamn {PGL} (2,5),$ projektiv fullständig linjär grupp ;
$2I\cong \operatörsnamn {SL} (2,5),$ speciell linjär grupp .

Konjugationsklasser

Konjugationskurser

jag	jag h
Identitet $12\ gånger$ 72° rotation, order 5 $12\ gånger$ 144° rotation, order 5 $20\times$ 120° rotation, order 3 $15\times$ 180° rotation, order 2	Reflexion $12\ gånger$ spegelbild med 108° rotation, order 10 $12\ gånger$ spegelbild med 36° rotation, order 10 $20\times$ r spegelvänd bild roterad 60°, order 6 $15\times$ spegelbild, order 2

Explicit representation av rotationsmatriser

I beräkningssammanhang kan gruppen av ikosaedriska rotationer som beskrivs ovan representeras av följande 60 rotationsmatriser . Rotationsaxlarna motsvarar alla cykliska permutationer , där är det gyllene snittet . Reflektion om vilket plan som helst genom ursprunget ger hela den ikosaedriska gruppen . Alla dessa matriser kan erhållas genom att börja med identitetsmatrisen, successivt multiplicera varje matris i mängden med någon av två godtyckliga icke-singulära matriser, såsom och , tills storleken på mängden slutar växa. $jag$ $(\pm 1,0,\pm \phi )$ $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $I_{h}$ ${\displaystyle R_{6))$ $R_{58}$

R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2))&-{\frac {1}{2\phi ))&-{\frac {1}{2 ))\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1} {2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2 ))\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2 ))\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2 }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi } {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2 ))&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2} }&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\ \-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\ \{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}} &{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2} }&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2 }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\ \-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}} &-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\ \{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}& -{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

Undergrupper med full ikosaedrisk symmetri

Schoenflugor	Coxeter	Orbifold	G-M	Strukturera	Ordning	Index
jag h	[5,3]	*532	53 2/m	A5 _ $\times Z_{2}$	120	ett
D2h _	[2,2]	*222	hmmm	Dih 2 ${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3))$	åtta	femton
C5v _	[5]	*55	5m	Dih 5	tio	12
C 3v	[3]	*33	3m	Dih 3 =S 3	6	tjugo
C 2v	[2]	*22	2 mm	Dih 2 = Dih 1 2	fyra	trettio
Cs _	[ ]	*	2 eller m	Dih 1	2	60
T h	[3 + ,4]	3*2	m 3	${\displaystyle A_{4}\times Z_{2))$	24	5
D5d _	[2 + ,10]	2*5	10 m2	$\mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}$	tjugo	6
D3d _	[2 + ,6]	2*3	3 m	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3))$	12	tio
$D_{1d}=C_{2h}$	[2 + ,2]	2*	2/m	Dih 2 = Z 2 $\times \mathrm {Dih} _{1}$	fyra	trettio
S 10	[2 + ,10 + ]	$5\ gånger$	5	${\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\ gånger Z_{5))$	tio	12
S6 _	[2 + ,6 + ]	$3\ gånger$	3	${\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\ gånger Z_{3))$	6	tjugo
S2 _	[2 + ,2 + ]	$\ gånger$	ett	$Z_{2}$	2	60
jag	[5,3] +	532	532	A5 _	60	2
T	[3,3] +	332	332	A4 _	12	tio
D5 _	[2,5] +	522	522	Dih 5	tio	12
D3 _	[2,3] +	322	322	Dih 3 =S 3	6	tjugo
D2 _	[2,2] +	222	222	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2))$	fyra	trettio
C5 _	[5] +	55	5	$Z_{5}$	5	24
C3 _	[3] +	33	3	$Z_{3}=A_{3}$	3	40
C2 _	[2] +	22	2	$Z_{2}$	2	60
C1 _	[ ] +	elva	ett	$Z_{1}$	ett	120

Alla dessa undergruppsklasser är konjugerade (det vill säga alla vertexstabilisatorer är konjugerade) och kan tolkas geometriskt.

Observera att stabilisatorn för en vertex/kant/yta/polyeder och dess motsats är lika.

Vertex stabilisatorer

Stabilisatorerna för motsatta hörnpar kan tolkas som stabilisatorerna för de axlar de bildar.

vertexstabilisatorer i I ger cykliska grupper C 3
vertexstabilisatorer i Ih ger dihedriska grupper D 3
stabilisatorer av motsatta par av hörn i I ger dihedriska grupper D 3
stabilisatorer av motsatta par av hörn i I h ge $D_{3}\times \pm 1$

Revbensstabilisatorer

Stabilisatorerna för motsatta par av kanter kan tolkas som stabilisatorerna för rektangeln de bildar.

Kantstabilisatorer i I ger cykliska grupper Z 2
Kantstabilisatorer i I h ger fyra Klein-grupper $Z_{2}\times Z_{2}$
kant-par stabilisatorer i Jag ger Klein fyrdubbla grupper . Det finns 5 av dem definierade av 180° rotation i 3 vinkelräta axlar. $Z_{2}\times Z_{2}$
kantparstabilisatorer i I h ge . Det finns 5 av dem, och de ges av reflektioner kring 3 vinkelräta axlar. ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2))$

Kantstabilisatorer

Stabilisatorerna för motsatta par av ansikten kan tolkas som stabilisatorerna för den antiprisma som de genererar.

ansiktsstabilisatorer i I ger cykliska grupper C 5
ansiktsstabilisatorer i Ih ger dihedriska grupper D 5
stabilisatorer av motsatta par av ansikten i I ger dihedriska grupper D 5
stabilisatorer av motsatta par ansikten i I h ge $D_{5}\times \pm 1$

Stabilisatorer av polyedrar

För var och en av dem finns det 5 konjugerade kopior och konjugationsoperationen bildar en kartläggning, i själva verket en isomorfism . $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$

stabilisatorerna för den inskrivna tetraedern i I är en kopia av T
stabilisatorerna för den inskrivna tetraedern i I h är en kopia av T
stabilisatorerna för de inskrivna kuberna (eller motsatta par av tetraedrar eller oktaedrar) i I är kopior av T
stabilisatorerna för de inskrivna kuberna (eller motsatta par av tetraedrar eller oktaedrar) i I h är kopior av T h

Grundläggande område

De grundläggande regionerna för den icosaedriska rotationsgruppen och den fullständiga icosaedriska gruppen ges av:

icosahedral rotationsgrupp I	Komplett icosahedral grupp I h	Hexakisicosahedronens ytor är de grundläggande regionerna

I hexakisicosahedron är en hel yta den grundläggande regionen. Andra kroppar med samma symmetri kan erhållas genom att justera orienteringen av ansikten, till exempel att platta ut en vald delmängd av ansikten och sedan slå samman varje delmängd till ett ansikte, eller genom att ersätta varje ansikte med flera ansikten, eller genom att skapa en icke-planar yta.

Polyedra med icosaedrisk symmetri

Kirala polyedrar

Klass	Symboler	Bild
Archimedovs	sr{5,3}
Catalanovs	V3.3.3.3.5

Full icosaedrisk symmetri

vanlig polyeder	Kepler-Poinsot fasta ämnen		Arkimedeiska fasta ämnen
{5,3}	{5/2.5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
vanlig polyeder	Kepler-Poinsot fasta ämnen		Katalanska kroppar
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Andra objekt med icosaedrisk symmetri

Barth-
Virusets och kapsidens struktur
Inom kemi , dodekaboratjonen ([B 12 H 12 ] 2− ) och dodekaedranmolekylen ( C 20 H 20 )

Flytande kristaller med ikosaedrisk symmetri

För det mellanliggande tillståndet av ett ämne som kallas flytande kristaller , föreslagits förekomsten av icosahedrisk symmetri av H. Kleinert och K. Maki [2] och för första gången analyserade strukturen av dessa kristaller i detalj. Se artikelöversikt här . I aluminium upptäcktes den ikosaedriska strukturen tre år senare av Dan Shechtman , vilket gav honom Nobelpriset 2011.

Relaterade geometrier

Symmetrigruppen i ikosaedern är ekvivalent med den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2,5) och är symmetrigruppen för den modulära kurvan X(5). Dessutom är gruppen PSL(2, p ) symmetrigruppen för den modulära kurvan X( p ). Den modulära kurvan X(5) är geometriskt sett en dodekaeder med en spets i mitten av varje yta och har en motsvarande symmetrigrupp.

Denna geometri och tillhörande symmetrigrupp studerades av Felix Klein som monodromigrupperna på Belyi-ytan - Riemann-ytor med en holomorf avbildning in i Riemann-sfären, förgrenad vid 0, 1 och oändlighet - spetsarna är punkter i oändligheten, medan hörnen och mitten av varje kant ligger vid 0 och 1. Täckningsgraden (antal ark) är 5.

Detta kommer från hans försök att ge en geometrisk motivering till varför ikosaedrisk symmetri förekommer i lösningen av femtegradsekvationen i teorin från Kleins berömda artikel [3] . En modern beskrivning ges i Thoths artikel [4] .

Kleins forskning fortsatte med hans upptäckt av symmetrierna ordning 7 och 11 i tidningarna 1878-1879 [5] [6] (och tillhörande omslag av grad 7 och 11) och dessins d'enfants (de så kallade "barnteckningarna" "), vilket gav de första uppenbarelserna av Klein quartics vars associerade geometri har en plattsättning av 24 heptagoner (med en spets i mitten av varje heptagon).

Liknande geometrier inträffar för PSL(2, n )-grupper och mer allmänna grupper för andra modulära kurvor.

En mer exotisk manifestation, det finns ett speciellt förhållande mellan grupperna PSL(2,5) (ordning 60), PSL(2,7) (ordning 168) och PSL(2,11) (ordning 660), som också tillåter geometriska tolkningar - PSL( 2,5) är symmetrierna för icosahedron (släkte 0), PSL(2,7) är Klein quartic (genus 3) och PSL(2,11) är ytan av fulleron (släkte 70). Dessa grupper bildar en " treenighet " i V. I. Arnolds terminologi , som ger grunden för olika kopplingar. Se artikeln " Trinity " för mer information .

Även symmetrigruppen av icosahedron är nära besläktad med de andra symmetrigrupperna av vanliga polyedrar .

Se även

Anteckningar

↑ Hamilton, 1856 , sid. 446.
↑ Kleinert, Maki, 1981 , sid. 219–259.
↑ Klein, 1888 .
↑ Toth, 2002 , sid. 66; Avsnitt 1.6, Ytterligare ämne: Kleins teori om Icosahedron .
↑ Klein, 1878 .
↑ Klein, 1879 .

Litteratur

Memorandum som respekterar ett nytt System of Roots of Unity // Philosophical Magazine . - 1856. - T. 12 . - S. 446 .
Kleinert H. , Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. - 1981. - T. 29 , nr. 5 . — S. 219–259 . - doi : 10.1002/prop.19810290503 .
Felix Klein . Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. - 1878. - T. 14 , nr. 3 . — S. 428–471 . - doi : 10.1007/BF01677143 . engelsk översättning
- På order-sju transformationen av elliptiska funktioner // The Eightfold Way / Silvio Levy. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 978-0-521-66066-2 .
Felix Klein . Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (På elfte ordningens transformation av elliptiska funktioner) // Mathematische Annalen. - 1879. - T. 15 , nr. 3-4 . — S. 533–555 . - doi : 10.1007/BF02086276 . Oeuvres, volym 3, s. 140-165
Felix Klein . Föreläsningar om Icosahedron och lösningen av ekvationer av den femte graden. - Trübner & Co., 1888. - ISBN 0-486-49528-0 .
Gabor Toth. Finita Möbius-grupper, minimala nedsänkningar av sfärer och moduler. - New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95323-X .
Peter R. Cromwell. Polyeder . - Cambridge university press, 1997. - S. 296 . — ISBN 9-521-55432-2 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Kaleidoscopes: Selected Writings of Coxeter HSM / redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
Johnson NW Kapitel 11: Finita symmetrigrupper , 11.5 Sfäriska Coxeter-grupper // Geometrier och transformationer. - 2018. - ISBN 978-1-107-10340-5 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Icosahedral group (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
UNDERGRUPPERNA AV W(H3) ( Undergrupper till andra Coxeter-grupper ) Gotz Pfeiffer