Coxeter grupp

Coxeter -gruppen är en grupp som genereras av reflektioner i ytorna på en dimensionell polyeder , där varje dihedral vinkel är en integrerad del av (det vill säga lika med för något heltal ). Sådana polyedrar kallas Coxeter polyhedra . Coxeter-grupper definieras för polyedrar i det euklidiska rymden , på en sfär och även i Lobachevsky-rymden . $n$ $\pi$ $\pi /k$ $k$

Exempel

Finita Coxeter-grupper är isomorfa, i synnerhet till Weyl-grupperna i enkla Lie-algebror.
Coxeter polyhedra i euklidiskt dimensionsutrymme : $n$
- $n$ -dimensionell kub av godtycklig dimension.
- $n$ -dimensionell simplex bildad av punkter med koordinater så att . $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$
Coxeter polyhedra i enhetens dimensionssfär : $n$
- vanlig -dimensionell simplex med sida . $n$ $\pi/2$
Coxeter polyhedra i Lobachevsky utrymmen:
- Regelbunden polygon med vinkel . $k$ $\pi/m$
- Vanlig rektangulär dodekaeder i dimension . $3$
- Vanlig rektangulär etthundratjugo celler i dimension . $fyra$

Egenskaper

Coxeter-grupper beskrivs och klassificeras med hjälp av Coxeter-Dynkin-diagram .
Coxeter-polyedern är den grundläggande domänen för Coxeter-gruppen.
- I synnerhet coxeter polytopen tessellaterar rymden .
- I synnerhet är vilken euklidisk Coxeter-grupp som helst ett exempel på en punktgrupp .
Vinbergs sats. [1] I Lobatsjovskij-utrymmen existerar inte alla tillräckligt stora dimensioner av avgränsade Coxeter-polyedrar.
De sfäriska Coxeter-polyedrarna är förenklade.
Coxeter polytoper är enkla .
Beteckna med reflektioner i polyederns ytor, och låt vara den dihedrala vinkeln mellan ytorna och . Låt , om ansikten inte bildar en dihedral vinkel i polyhedron, och . Sedan kan Coxeter-gruppen definieras enligt följande: $\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}$ $\pi/m_{ij}$ $i$ $j$ $m_{ij}=\infty$ $m_{ii}=1$ $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Variationer och generaliseringar

Coxeter-grupper är också en generalisering av klassen av grupper som beskrivs ovan, definierade med hjälp av uppgiften : $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$ ,

var och vid .

m_{ii}=1

m_{ij}\geqslant 2

i\neq j

Se även

Anteckningar

↑ E. B. Vinberg , Hyperboliska reflektionsgrupper _

Litteratur

HSM Coxeter. Diskreta grupper genererade av reflektioner // Annals of Mathematics . - 1934. - Vol. 35 . - s. 588-621 . - doi : 10.2307/1968753 .