ADE-klassificering

$ADE$ -klassificering - en komplett lista över entrådiga Dynkin-diagram - diagram där det inte finns flera kanter , vilket motsvarar enkla rötter i rotsystemet som bildar vinklar (ingen kant mellan hörn) eller (enkant mellan hörn). Listan består av: $\pi/2$ $2\pi /3$

A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}

Listan innehåller två av de fyra familjerna av Dynkin-diagram (och ingår inte ) och tre av de fem exceptionella Dynkin-diagrammen ( och ingår inte ). $B_{n}$ $C_{n}$ $F_{4}$ $G_{2}$

Listan är inte överflödig om den tas för . Om vi utökar familjerna får vi exceptionella isomorfismer $n\geqslant 4$ $D_{n}$

D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},

och motsvarande isomorfismer hos föremålen som klassificeras.

Frågan om att skapa en gemensam början av en sådan klassificering (snarare än att identifiera paralleller empiriskt) togs upp av Arnold i rapporten "Problems of Modern Mathematics" [1] .

Klasserna , , inkluderar också entrådiga ändliga Coxeter-grupper med samma diagram – i det här fallet är Dynkin-diagrammen exakt samma som Coxeter-diagrammen, eftersom det inte finns flera kanter. $A$ $D$ $E$

Lie algebror

När det gäller komplexa halvenkla Lie-algebror :

$En}$ motsvarar en speciell linjär Lie-algebra av operatorer med spår noll , ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),$
$D_{n}$ motsvarar en jämn speciell ortogonal Lie-algebra av skevsymmetriska operatorer ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),$
$E_{6},E_{7},E_{8}$ är tre av de fem exceptionella Lie-algebrorna.

När det gäller kompakta Lie-algebras och motsvarande ensträngade Lie-grupper :

$En}$ motsvarar algebra för den speciella enhetsgruppen ; ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ $SU(n+1)$
$D_{n}$ motsvarar algebra för en jämn projektiv ortogonal grupp , ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),$ $PSO(2n)$
$E_{6},E_{7},E_{8}$ är tre av de fem exceptionella kompakta Lie-algebrorna .

Binära polyedriska grupper

Samma klassificering gäller för diskreta undergrupper , den binära polyedriska gruppen . I huvudsak motsvarar binära polyedriska grupper ensträngs affina Dynkin-diagram , och tilldelningarna för dessa grupper kan förstås i termer av dessa diagram. Detta förhållande är känt som McKay korrespondens (efter John McKay ). Sambandet med vanliga polyedrar beskrivs i Dixons Algebraic Theories [2] . Korrespondensen använder konstruktionen av McKay-grafer . $SU(2)$ ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k}$

Dessutom är -korrespondensen inte en överensstämmelse mellan vanliga polytoper och deras reflektionsgrupper . Till exempel i -korrespondensen motsvarar tetraedern , kuben / oktaedern och dodekaedern / ikosaedern , medan reflektionsgrupperna för tetraedern, kuben och oktaedern, dodekaedern och ikosaedern är tilldelningar av Coxeter och $ADE$ $ADE$ $E_{6},E_{7},E_{8}$ $A_{3},BC_{3}$ $H_{3}.$

En orbifold konstruerad med alla diskreta undergrupper leder till en typsingularitet vid ursprunget, som kallas Du Val-singulariteten . $\mathbf {C} ^{2}$ $ADE$

McKay-korrespondensen kan också utökas till flerlinjes Dynkin-diagram genom att använda ett par binära polyedriska grupper. Denna korrespondens är känd som Slodovy-korrespondensen (efter den tyske matematikern Peter Slodovy ) [3] .

Märkta grafer

$ADE$ -grafer och utökade (affina) -grafer kan beskrivas i termer av att markera vissa egenskaper [4] , som kan formuleras i termer av diskreta Laplace-operatorer [5] eller Cartan-matriser . Bevis i termer av Cartan-matriser kan hittas i Katz bok "Infinite dimensional Lie algebras" [6] . $ADE$

Affina -grafer är positivt märkta grafer (när hörn är märkta med positiva reella tal ) med följande egenskaper: $ADE$

Varje etikett är en halv summa av angränsande hörn.

Det vill säga, det finns funktioner som bara tar positiva värden med ett egenvärde på 1 av den diskreta Laplacian (summan av intilliggande hörn minus värdet vid vertex) - en positiv lösning på den homogena ekvationen:

\Delta \phi =\phi

Likaså positiva funktioner i kärnan . Den resulterande uppräkningen är unik upp till en konstant faktor, och med en normalisering där minimitalet är 1, består av små heltal - från 1 till 6, som beror på grafen. $\Delta -I$

Vanliga -grafer är endast positivt märkta grafer med följande egenskaper: $ADE$

Varje etikett är lika med halva summan av angränsande hörn plus en.

När det gäller Laplacians är detta en positiv lösning på den homogena ekvationen:

\Delta \phi =\phi -2

Den resulterande numreringen är unik (upp till en konstant faktor, vars värde bestäms av talet "2") och består av heltal. För dessa siffror sträcker sig från 58 till 270 [7] . $E_8$

Andra klassificeringar

Elementära katastrofer klassificeras också med -klassificering. $ADE$

Diagram är exakt kogger av finit typ på grund av Gabriels sats . $ADE$

Det finns också ett samband med generaliserade fyrhörningar , eftersom tre icke-degenererade generaliserade fyrhörningar med tre punkter på varje linje motsvarar systemens exceptionella rötter , och = [8] . Klasserna och motsvarar de degenererade fallen där raduppsättningen är tom eller alla linjer passerar genom en punkt respektive [9] . $E_{6}$ $E_7$ $E_8$ $A$ $D$

Det finns en djup koppling mellan dessa entiteter bakom denna klassificering, och några av dessa kopplingar kan förstås genom strängteori och kvantmekanik .[ specificera ] .

Trinity

Arnold föreslog många andra kopplingar under rubriken "matematiska treenigheter" [10] [11] och McKay utökade dessa överensstämmelser. Arnold använde termen " treenighet " med en anspelning på religion och föreslog att (för närvarande) dessa paralleller är närmare tro än strikta bevis, även om vissa paralleller är väl utvecklade. Vidare plockades treenigheten upp av andra författare [12] [13] [14] . Arnolds treenigheter börjar med (reella tal, komplexa tal och kvaternioner ), som han anmärkte "alla vet", och fortsätter med andra treenigheter som "komplettering" och "kvaternisering" av klassiska (verkliga) matematiska objekt på ett liknande sätt som de söka efter symplektiska analogier till Riemannsk geometri som han föreslagit innan detta på 1970-talet. Bortsett från exempel från differentiell topologi (som de karakteristiska klasserna ) anser Arnold att de tre symmetrierna för vanliga polyedrar (tetraedriska, oktaedriska, icosaedriska) motsvarar reella tal, komplexa tal och kvartjoner, som är relaterade till ytterligare McKays algebraiska överensstämmelse. $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$

Det enklaste sättet att beskriva McKay-korrespondensen . För det första har utökade Dynkin-diagram (motsvarande tetraedriska, oktaedriska och icosaedriska symmetrier) symmetrigrupper , respektive, och tillhörande faltningar - diagram (med mindre exakt notation, förlängningstecknet - tilde - utelämnas ofta). Mer signifikant, McKay föreslog en överensstämmelse mellan hörn av diagrammen och några monster cosets , vilket är känt som McKays anmärkning om [15] [16] . McKay tilldelar vidare hörn till cosets i (förlängning av ordning 2 i Baby Monster-gruppen ) och hörn till cosets i (förlängning av ordning 3 i Fishers grupp ) [16] . Dessa är de tre största sporadiska grupperna , med expansionsordningen som motsvarar diagrammets symmetri. ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1))$ ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ ${\tilde {E}}_{8}$ $E_8$ ${\tilde {E}}_{7}$ $2.B$ ${\tilde {E}}_{6}$ $3.Fi_{24}'$

Om vi går från stora enkla grupper till små, grupperna som motsvarar vanliga polytoper och har ett samband med de projektiva specialgrupperna , och (av ordningen 60, 168 och 660) [17] [13] . Dessa grupper är de enda (enkla) grupperna med ett sådant värde att det agerar icke-trivialt på punkter , ett faktum som går tillbaka till Évariste Galois arbete på 1830-talet. Faktum är att grupper bryts ner till en produkt av mängder (men inte en produkt av grupper) enligt följande: och dessa grupper är också relaterade till olika geometrier (som börjar med Felix Kleins arbete på 1870-talet) [18] . Associerade geometrier (plattor på Riemann-ytor ) där man kan se verkan på punkter är följande: är symmetrigruppen för icosahedron (släkte 0) på en förening av fem tetraedrar som en 5-elementuppsättning, är symmetrigruppen av Klein quartic [ (släkte 3) på inbäddat Fano-plan som en 7-elementuppsättning (dubbelplan av ordning 2) och är symmetrigruppen för Buckminsterfulleren- ytan (släkte 70) på det inbäddade dubbla Paley-planet som en uppsättning med 11 element ( dubbelplan av ordning 3) [19] . Av dessa har icosaedrar varit kända sedan antiken, Klein quartics introducerades av Klein på 1870-talet och buckyballytor introducerades av Pablo Martin och Seegerman 2008. ${\displaystyle A_{4},S_{4))$ $A_{5}$ $PSL(2,5)$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,11)$ $sid$ $PSL(2,p)$ $sid$ $A_{4}\times Z_{5},$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7))$ $A_{5}\times Z_{11}.$ $sid$ $PSL(2,5)$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,11)$

McKay förbinder också , och respektive med 27 linjer på en kubisk yta , 28 dubbla tangenter av ett kvarts och 120 trippeltangensplan av en sjätte ordningens kanonisk kurva med släkte 4 [20] [21] . $E_{6}$ $E_7$ $E_8$

Se även

Elliptisk yta

Notera

↑ Arnold, 1976 .
↑ Dickson, 1959 .
↑ Stekolshchik, 2008 .
↑ Proctor, 1993 , sid. 937–941.
↑ Proctor, 1993 , sid. 940.
↑ Kac, 1990 , sid. 47–54.
↑ Bourbaki, 1972 .
↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , sid. 305-327.
↑ Chris, Royle, 2001 .
↑ Vladimir Arnold, 1997, Toronto föreläsningar, föreläsning 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities Arkiverad 9 december 2015 på Wayback Machine , juni 1997 (senast uppdaterad augusti 1998). TeX Arkiverad 24 september 2015 på Wayback Machine , PostScript Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine , PDF Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
↑ Polymatematik: är matematik en enda vetenskap eller en uppsättning konst? Arkiverad 9 december 2015 på Wayback Machine On Server 10/03/99, abstrakt arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine , TeX Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine , PostScript Arkiverad 24 september 2015 på Wayback Machine , PDF Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine ; se tabell på sidan 8
↑ Les trinités remarquables Arkiverad 23 april 2015 på Wayback Machine , Frédéric Chapoton Arkiverad 10 mars 2015 på Wayback Machine (fr.)
↑ 12 le Bruyn , 2008 .
↑ le Bruyn, 2008-2 .
↑ Duncan, 2009 .
↑ 12 le Bruyn , 2009 .
↑ Kostant, 1995 , sid. 959–968.
↑ Kostant, 1995 .
↑ Martin, Singerman, 2008-04-17 .
↑ Arnold 1997, s. 13
↑ McKay, Sebbar, 2007 , sid. 373–386.

Litteratur

N. Bourbaki. Lögngrupper och algebror. - Moskva: "Mir", 1972. - (Elements of mathematics).
Vladimir Arnold. Matematisk utveckling som härrör från Hilbertproblem / Felix E. Browder . - American Mathematical Society , 1976. - V. 28. - (Proceedings of symposia in pure mathematics). (Problem VIII. ADE- klassificeringarna).
Leonard E. Dickson. XIII: Grupper av vanliga fasta ämnen; Quintiska ekvationer // Algebraiska teorier. — New York: Dover Publications, 1959.
PJ Cameron, JM Goethals, JJ Seidel, EE Shult. Linjediagram, rotsystem och elliptisk geometri // Journal of Algebra. - 1976. - Utgåva. 43 .
Pablo Martin, David Singerman. Från Biplanes till Klein Quartic och Buckyball. - 2008-04-17.
John F. Duncan. Grupper och symmetrier: från neolitiska skotter till John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. - Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009. - V. 47. - (CRM Proceedings & föreläsningsanteckningar). - ISBN 978-08218-4481-6 .
Bertram Costant. Grafen över den trunkerade Icosahedron och Galois sista bokstav. — Märker Amer. Matematik. Soc.. - 1995. - Vol. 42. Se The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) och Galois' Letter to Chevalier.
Lieven le Bruyn. Galois sista brev. - 2008. Arkiverad den 15 augusti 2010.
Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. Överallt för Coxeter Dynkin-diagram. (En introduktion av ADE-problemet) // Nieuw Archief v. Wiskunde. - 1977. - T. 35 , nr. 3 . — S. 257–307 .
John McKay. Grafer, singulariteter och ändliga grupper // Proc. Symp. Ren matematik.. - Amer. Matematik. Soc., 1980. - T. 37 . - S. 183-,265- .
John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. - Berlin, 1982. - S. 549– .
Victor G. Kac. Oändligt dimensionell lögnalgebras. — 3:a. - Cambridge: Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-46693-8 .
John McKay. En snabb introduktion till ADE-teori. - 2001-01-01.
RA Proctor. Två underhållande Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly . - 1993. - T. 100 , nr. 10 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2324217 . — .
J. McKay, Abdellah Sebbar. Gränser i talteori, fysik och geometri, II. - Springer, 2007. - doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_10 .
R. Stekolshchik. Anteckningar om Coxeter-transformationer och McKay-korrespondensen. - 2008. - (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6 . - doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 .
Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraisk grafteori. - New York: Springer, 2001. - Vol. 207. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 0-387-95241-1 . Kapitel 12
Lieven le Bruyn. Arnolds treenigheter. - 2008-2.
Lieven le Bruyn. Arnolds trinities version 2.0. - 2008-3.
Lieven le Bruyn. monstergrafen och McKays observation. - 2009. Arkiverad 14 augusti 2010.
Joris van Hoboken. Platoniska fasta ämnen, binära polyedriska grupper, kleinska singulariteter och Lie-algebror av typ A,D,E. - 2002. Arkiverad den 26 april 2012.

Länkar

John Baez , Denna veckas fynd i Mathematical Physics Arkiverad 7 maj 2015 på Wayback Machine : Vecka 62 Arkiverad 30 december 2015 på Wayback Machine , Vecka 63 Arkiverad 26 december 2015 på Wayback Machine , Vecka 64 Arkiverad 27 december 2015 på Wayback Machine , Vecka 65 Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine , 28 augusti 1995 till 3 oktober 1995 och Vecka 230 Arkiverad 14 november 2015 på Wayback Machine 4 maj 2006
The McKay Correspondence Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine , Tony Smith