Cartan matris

I matematik har termen Cartan-matris tre betydelser. Samtliga är uppkallade efter den franske matematikern Elie Cartan . Faktum är att Cartans matriser i samband med Lie-algebras först utforskades av Wilhelm Killing , medan Killing-formen beror på Cartan.

Lie algebror

Den generaliserade Cartan-matrisen är en kvadratisk matris med heltalsposter så att $A=(a_{ij})$

Diagonala element a ii = 2.
Off-diagonala element . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ om och bara om . $a_{ji}=0$
A kan skrivas som DS där D är en diagonal matris och S är symmetrisk .

Till exempel kan Cartan-matrisen för G 2 delas upp enligt följande:

\left [ \begin{smallmatrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ] = \left [ \begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \ end{smallmatrix}\right ] \left [ \begin{smallmatrix} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{smallmatrix}\right ].

Det tredje villkoret är inte oberoende och är en konsekvens av det första och fjärde villkoret.

Vi kan alltid välja D med positiva diagonala element. I det här fallet, om S i expansionen är positiv definitiv , sägs A vara en Cartan-matris .

Cartan-matrisen för en enkel Lie-algebra är en matris vars element är skalära produkter

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\över (r_i,r_i)}

(kallas ibland Cartan-heltal ), där r i är algebrans rotsystem . Elementen är heltal på grund av en av rotsystemets egenskaper . Det första villkoret följer av definitionen, det andra av det faktum att for är en rot, vilket är en linjär kombination av enkla rötter r i och r j med en positiv koefficient för r j , och sedan måste koefficienten för r i vara icke -negativ. Det tredje villkoret är sant på grund av ortogonalitetsrelationens symmetri . Och slutligen, låt och . Eftersom enkla rötter är linjärt oberoende, så är S deras grammatris (med en faktor på 2), och är därför positiv definitiv. $i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\över (r_i,r_i)}r_i$ $D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}$ $S_{ij}=2(r_i,r_j)$

Och vice versa, om en generaliserad Cartan-matris ges, kan man hitta motsvarande Lie-algebra (se detaljer i artikeln Kac-Moody Algebra ).

Klassificering

En matris A av storlek är nedbrytbar om det finns en icke-tom delmängd så att för alla och . A är oupplösligt om detta villkor inte är uppfyllt. $n\ gånger n$ $Jag \subset \{1,\dots,n\}$ $a_{ij}=0$ $i\i jag$ $j \notin I$

Låt A vara en oupplöslig generaliserad Cartan-matris. Vi säger att A är av finit typ om alla dess huvudsakliga biroller är positiva, att A är av affin typ om alla dess egentliga huvudsakliga biroller är positiva och determinanten för A är 0, och att A är av obestämd typ annars.

Oupplösliga matriser av ändlig typ klassificerar enkla Lie-grupper med ändlig dimension (av typen ), medan oupplösliga matriser av affin typ klassificerar affina Lie-algebras (över några algebraiskt slutna fält med karakteristiken 0). $A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$

Determinanter för Cartan-matriser för enkla Lie-algebror

Determinanterna för Cartan-matriserna för enkla Lie-algebror anges i tabellen.

$En}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n=6,7,8$	$F_{4}$	$G_{2}$
n +1	2	2	fyra	9- n	ett	ett

En annan egenskap hos denna determinant är att den är lika med indexet för det associerade rotsystemet, det vill säga det är lika med , där betecknar viktgittret respektive rotgittret. $|P/Q|$ $P, Q$

Representationer av finita dimensionella algebror

I teorin om modulära representationer och i den mer allmänna teorin om representationer av finita dimensionella associativa algebror som inte är halvenkla definieras Cartan-matrisen genom att betrakta en (ändlig) uppsättning av huvudsakliga oupplösliga moduler och skriva kompositionsserier för dem i form av primmoduler , vilket ger en matris av heltal som innehåller antalet förekomster av primmodulen.

Cartan-matriser i M-teori

I M-teorin kan man representera geometrin som en gräns för två cykler som skär varandra vid ett ändligt antal punkter, eftersom arean av två cykler tenderar till noll. I gränsen uppstår en lokal symmetrigrupp . Matrisen av skärningsindex för tvåcykelbasen är hypotetiskt Cartan-matrisen för Lie-algebra för denna lokala symmetrigrupp [1] .

Detta kan förklaras på följande sätt: i M-teorin finns det solitoner , som är tvådimensionella ytor som kallas membran eller 2-braner . 2-braner har spänningar och tenderar därför att krympa, men de kan lindas runt två cykler för att förhindra membran från att kollapsa till noll.

Det är möjligt att utföra en komprimering en dimension, där alla tvåcykler och deras skärningspunkter är belägna, och ta gränsen vid vilken dimensionen kollapsar till noll, och därigenom erhålla en minskning av denna dimension. Sedan får vi typ IIA strängteori som en gräns för M-teori med två-cykelomslag 2-braner, nu representerade som öppna strängar sträckta mellan D-braner . Det finns en lokal symmetrigrupp U(1) för varje D-bran, liknande graderna av rörelsefrihet utan omorientering. Gränsen där två cykler har area noll är gränsen där dessa D-braner ligger ovanpå varandra.

En öppen sträng sträckt mellan två D-braner representerar en Lie-algebragenerator, och kommutatorn för två sådana generatorer är den tredje generatorn representerad av en öppen sträng, som kan erhållas genom att limma kanterna på de två öppna strängarna. Ytterligare kopplingar mellan olika öppna strängar beror på hur 2-braner kan skära varandra i den ursprungliga M-teorin, det vill säga i antalet tvåcykelkorsningar. Så Lie-algebra beror helt på dessa skärningsnummer. Kopplingen till Cartan-matrisen föreslås eftersom den beskriver de enkla rotkommutatorerna som är associerade med tvåcyklerna i den valda basen.

Notera att generatorerna i Cartan-subalgebra representeras av öppna strängar som sträcks mellan en D-bran och samma bran.

Se även

Anteckningar

↑ Ashoke Sen. A Note on Enhanced Gauge Symmetries in M- and String Theory // Journal of High Energy Physics. - IOP Publishing, 1997. - T. 1997 , nr. 9 . - doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 .

Litteratur

William Fulton, Joe Harris. Representationsteori: En första kurs. - Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - S. 334. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys. Introduktion till Lie algebror och representationsteori. - Springer-Verlag, 1972. - T. 9. - S. 55-56. — ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 0-387-90052-7 .
Victor G. Kac. Oändligt dimensionell lögnalgebras. — 3:a. - 1990. - ISBN 978-0-521-46693-6 .
Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Cartan matris (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .