Dynkin diagram

Ett Dynkin-diagram ( Dynkin-diagram ) är en typ av graf där vissa kanter är dubbla eller tredubbla (ritade som en dubbel- eller trippellinje). Flera kanter, med vissa begränsningar, är orienterade . Uppkallad efter den sovjetiske matematikern Evgeny Dynkin , som använde dem för första gången 1946.

Den huvudsakliga tillämpningen av diagram är klassificeringen av semisimpla Lie-algebror över algebraiskt slutna fält : de leder till Weyl-grupper , det vill säga till många (men inte alla) finita reflektionsgrupper . Dynkin-diagram uppstår även i andra sammanhang.

Termen "Dynkin-diagram" kan vara tvetydig. I vissa fall antas Dynkin-diagram vara orienterade, i vilket fall de motsvarar rotsystem och halvenkla Lie-algebror, medan de i andra fall antas vara oriktade, i vilket fall de motsvarar Weyl-grupper. Orienterade diagram för och ger samma oriktade diagram som anges i denna artikel som standard "Dynkin-diagram" betyder riktat Dynkin-diagram, och för oriktade Dynkin-diagram anges detta uttryckligen. $B_{n}$ $C_{n}$ $BC_{n}.$

Finita Dynkin-diagram
Affina (utökade) Dynkin-diagram

Klassificering av halvenkla Lie-algebror

Grundläggande intresse för Dynkin-diagram uppstår eftersom de tillåter en att klassificera halvenkla Lie-algebror över algebraiskt slutna fält. Vissa klassificerar sådana Lie-algebror i termer av deras rotsystem , som kan representeras av Dynkin-diagram. Andra klassificerar Dynkin-diagram enligt de begränsningar de måste uppfylla, som diskuteras nedan.

Att bli av med riktadheten av grafens kanter motsvarar att ersätta rotsystemet med den finita reflektionsgruppen som de skapar, den så kallade Weil-gruppen , och därmed oriktade Dynkin-diagram klassificerar Weyl-grupperna.

Relaterade klassificeringar

Dynkin-diagram kan användas för att klassificera många olika entiteter, och notationen "A n , B n , ..." används för att referera till alla sådana tolkningar beroende på sammanhanget. Sådana oklarheter kan vara förvirrande.

Den centrala klassificeringen avser enkla Lie-algebror som har ett rotsystem och till vilka (orienterade) Dynkin-diagram är associerade. Alla tre (listade nedan) kan till exempel betecknas som Bn .

Ett oriktat Dynkin-diagram är ett slags Coxeter-diagram och motsvarar Weil-gruppen, som är den finita reflektionsgruppen som är associerad med rotsystemet. Således kan B n referera till ett oriktat diagram (en speciell typ av Coxeter-diagram), en Weyl-grupp (en konkret reflektionsgrupp) eller en abstrakt Weyl-grupp.

Observera att medan Weyl-gruppen är, abstrakt, isomorf till Coxeter-gruppen, beror den speciella isomorfismen på ordningen för de enkla rötterna. Observera att notationen av Dynkin-diagram är standardiserad, medan Coxeter-diagram och gruppnotation varierar och ibland överensstämmer med Dynkin-diagrammet och ibland inte.

Slutligen, ibland associerade objekt betecknas med samma notation, även om detta inte alltid är möjligt på en regelbunden basis. Exempel:

Rotgallret bildat av rotsystemet, som i gittret E 8 . Det definieras naturligt, men inte en-till-en - till exempel bildar A 2 och G 2 samma hexagonala gitter .
Associerad polytop - till exempel Gosset 4 21 kan märkas "E 8 polytope ", eftersom dess hörn är härledda från E 8 rotsystem och den har E 8 Coxeter-gruppen som sin symmetrigrupp.
Associerad kvadratisk form eller grenrör - till exempel har E 8 en skärningsform som ges av gittret E 8 .

Dessa sista beteckningar används oftast för objekt associerade med exceptionella diagram - för objekt associerade med vanliga diagram (A, B, C, D) används traditionella namn.

Indexet ( n ) är lika med antalet noder i diagrammet, antalet enkla rötter i basen, dimensionen på rotgittret och rotsystemets linjära spann, antalet generatorer i Coxeter-gruppen och rangen av Lie-algebra. Men n är inte nödvändigtvis lika med dimensionen för den definierande modulen ( fundamental representation ) av Lie-algebra - indexet för Dynkin-diagrammet ska inte förväxlas med indexet för Lie-algebra. Till exempel motsvarar , som verkar i 9-dimensionellt rum, men har rang 4 som Lie-algebra. $B_{4}$ ${\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},$

Entrådiga Dynkin-diagram , det vill säga utan flera kanter (A, D, E), klassificerar många andra matematiska objekt. Se diskussionen i ADE Classification .

Exempel: A2

Till exempel kan en beteckning syfta på: $A_{2}$

Dynkin-diagram med två anslutna noder,, som också kan betraktas som ett Coxeter-diagram .
Ett rotsystem med två enkla rötter i vinkel(120 grader). $2\pi /3$
Liealgebra av rang 2. ${\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}$
Weylgruppen av symmetrier av rötter (reflektioner med avseende på hyperplan som är vinkelräta mot rötter), som är isomorf till den symmetriska gruppen (av ordning 6). $S_{3}$
Abstrakt Coxeter-grupp , representerad av generatorer och anslutningar, $\left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3 }=1\right\rangle .$

Begränsningar

Dynkin-diagrammet måste uppfylla vissa restriktioner, de som uppfylls av de finita Coxeter-Dynkin-diagrammen , och dessutom ytterligare kristallografiska restriktioner.

Förhållande med Coxeter-diagram

Dynkin-diagram är nära besläktade med Coxeter-diagram över ändliga Coxeter-grupper, och terminologin kombineras ofta [not 1] .

Dynkin-diagram skiljer sig från Coxeter-diagram över ändliga grupper i två viktiga avseenden:

partiell orientering Dynkin-diagram är delvis orienterade - vilken multipelkant som helst (i termer av Coxeter, märkt "4" och högre) har en riktning (en pil som pekar från en nod till en annan). Således innehåller Dynkin-diagrammet mer information än motsvarande Coxeter-diagram (oriktad graf). På rotsystemsnivå motsvarar riktningen att peka på en kortare vektor. Kanterna märkta "3" har ingen riktning eftersom motsvarande vektorer måste vara lika långa. (Tips: Vissa författare använder den omvända konventionen och pekar med pilen mot en längre vektor.) Kristallografisk begränsning Dynkin-diagram måste uppfylla en ytterligare begränsning, nämligen att endast kanter med beteckningarna 2, 3, 4 och 6 är tillåtna. Denna begränsning gäller inte för Coxeter-diagram, så inte varje Coxeter-diagram av en ändlig grupp kommer från ett Dynkin-diagram. På rotsystemsnivå motsvarar detta satsen om kristallografiska begränsningar .

En annan skillnad, rent stilistisk, är att det är vanligt att rita Dynkin-diagram med dubbla och tredubbla kanter mellan noder (för p = 4, 6), istället för att markera med siffran " p ".

Termen "Dynkin-diagram" kallas ibland för riktade grafer och ibland oriktade . För noggrannheten kommer "Dynkin-diagram" i denna artikel att betyda riktat, och motsvarande oriktade graf kommer att kallas "oriktat Dynkin-diagram". Således kan Dynkin-diagram och Coxeter-diagram relateras enligt följande:

	kristallografisk	poänggrupper
orienterad	Dynkin-diagram
oorienterad	Oriktade Dynkin-diagram	Coxeter-Dynkin diagram över ändliga grupper

Detta innebär att Coxeter-diagram över ändliga grupper motsvarar punktgrupper som genereras av reflektioner, medan Dynkin-diagram måste uppfylla ytterligare restriktioner motsvarande den kristallografiska restriktionssatsen . Det betyder också att Coxeter-diagram är oriktade, medan Dynkin-diagram är (delvis) orienterade.

Matematiska objekt systematiserade med diagram:

	kristallografisk	poänggrupper
orienterad	Rotsystem
oorienterad	Weil grupper	Finita Coxeter-grupper

Det tomma utrymmet i det övre högra hörnet som motsvarar riktade grafer med underliggande oriktade grafer i vilket Coxeter-diagram (ändlig grupp) som helst kan definieras formellt, men dessa definitioner tillåter inte en enkel tolkning i termer av matematiska objekt.

Det finns naturliga avsmalnande mappningar - från Dynkin-diagram till oriktade Dynkin-diagram, och följaktligen från rotsystem till associerade Weyl-grupper, såväl som direkta mappningar från oriktade Dynkin-diagram till Coxeter-diagram, och följaktligen från Weyl-grupper till ändliga Coxeter-grupper .

Begränsande mappningar mappar till (per definition), men inte en-till-en. Till exempel mappar diagram B n och C n till samma oriktade diagram, så ibland betecknas det resulterande Coxeter-diagrammet och Weyl-gruppen BC n .

Direkta mappningar är helt enkelt inneslutningar - oriktade Dynkin-diagram är ett specialfall av Coxeter-diagram, och Weil-grupper är specialfall av ändliga Coxeter-grupper, och denna mappning är inte på , eftersom inte alla Coxeter-diagram är ett oriktat Dynkin-diagram (de saknade diagrammen är H 3 , H 4 och I 2 ( p ) för p = 5 p ≥ 7), och följaktligen är inte varje finit Coxeter-grupp en Weil-grupp.

Isomorphisms

Dynkin-diagram är vanligtvis numrerade så att listan inte är överflödig - för för för och med utgångspunkt från element av familjer, men man kan också definiera för lägre n, erhålla exceptionella isomorfismer av diagram och motsvarande exceptionella isomorfismer av Lie-algebras och tillhörande Lie-grupper. $n\geq 1$ $En},$ $n\geq 2$ $B_{n},$ $n\geq 3$ $C_{n},$ $n\geq 4$ $D_{n}$ $E_{n}$ $n=6.$

Det är lättast att börja med fallen n = 0 eller n = 1, där alla serier är isometriska och det bara finns ett tomt diagram och ett noddiagram. Andra isomorfismer av anslutna Dynkin-diagram:

$A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$
$B_{2}\cong C_{2}$
$D_{2}\cong A_{1}\ gånger A_{1}$
$D_{3}\cong A_{3}$
$E_{3}\cong A_{1}\ gånger A_{2}$
$E_{4}\cong A_{4}$
$E_{5}\cong D_{5}$

Dessa isomorfismer motsvarar isomorfismer av enkla och semisimpla Lie-algebror.

Automorfismer

Förutom isomorfismer mellan olika diagram, har vissa diagram också isomorfismer på sig själva, det vill säga " automorfismer ". Diagramautomorfismer motsvarar yttre automorfismer av Lie-algebra, vilket innebär att den yttre automorfisgruppen Out = Aut/Inn är lika med diagrammets automorfisgrupp [1] [2] [3] .

Diagram med icke-triviala automorfismer är A n ( ), D n ( ) och E 6 . I alla dessa fall, med undantag för D 4 , finns det en icke-trivial automorfism (Out = C 2 , cyklisk grupp av ordning 2), medan för D 4 är automorfismgruppen en symmetrisk grupp med tre bokstäver ( S 3 , ordning 6) - detta fenomen känt som " triplicity ". Det visar sig att alla dessa diagramautomorfismer kan representeras som symmetrier av den traditionella ritningen av diagram i det euklidiska planet, men detta är bara resultatet av hur de ritas, och inte den inneboende strukturen hos diagram. $n>1$ $n>1$

För A n är en automorfism av diagram en omkastning av diagrammet. Diagrammets noder indexeras med grundvikter , som (för An −1 ) är lika med , och diagrammets automorfism motsvarar dualitet Betraktad som en Lie-algebra, kan den yttre automorfismen uttryckas som en negativ transponering, [2] . $\bigwedge ^{i}C^{n}$ $i=1,\prickar ,n$ $\bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{ni}C^{n}.$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},$ $T\mapsto -T^{\mathrm {T} }$

För D n växlar diagrammets automorfism de två noderna i slutet av Y, och motsvarar bytet av två kirala spinorrepresentationer . Sett som en Lie-algebra kan en yttre automorfism uttryckas som en konjugation med hjälp av en O( 2n )-matris med determinant −1 [not 2] . Observera att så deras automorfismer är desamma, medan detta diagram också är frånkopplat, så automorfismen motsvarar byte av noder. ${\mathfrak {so}}_{2n},$ $\mathrm {A} _{3}\cong \mathrm {D} _{3},$ $\mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}$

För D 4 är den fundamentala representationen isomorf till två spinorrepresentationer och den resulterande symmetriska gruppen med tre bokstäver ( S 3 , eller alternativt sjätte ordningens dihedriska grupp , Dih 3 ) motsvarar både Lie-algebra-automorfismer och diagramautomorfismer.

Automorfismen E 6 motsvarar diagrammets omkastning och kan uttryckas med Jordanalgebror [2] .

Frånkopplade diagram som motsvarar halvenkla Lie -algebror kan ha automorfismer som erhålls genom att omordna komponenterna i diagrammet.

Med en positiv egenskap finns det ytterligare diagramautomorfismer - grovt sett, med karakteristiken p , kan man ignorera pilarna på länkar av multiplicitet p i Dynkin-diagrammet när man överväger en diagramautomorfism. Sålunda, med karakteristik 2, finns det en automorfism av ordning 2 för och för F 4 , medan det med egenskap 3 finns en automorfism av ordning 2 för G 2 . $\mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}$

Konstruktion av Lie-grupper med hjälp av diagramautomorfismer

Diagramautomorfismer skapar ytterligare Lie-grupper och Lie -typgrupper , vilket är anledningen till deras centrala betydelse i klassificeringen av ändliga enkla grupper.

Konstruktionen av Chevalley- gruppen av Lie-grupper i termer av deras Dynkin-diagram ger inte klassiska grupper, nämligen enhetliga grupper och icke-delade ortogonala grupper . Steinberggrupper bygger enhetliga grupper 2 A n , medan andra ortogonala grupper bygger 2 D n , och i båda fallen syftar detta på kombinationen av en diagramautomorfism med en fältautomorfism. Detta ger också ytterligare exotiska Lie-grupper 2 E 6 och 3 D 4 , de senare definieras endast över fält med en automorfism av ordning 3.

Med en positiv egenskap ges ytterligare egenskaper av Suzuki Group - Ri , 2 B 2 , 2 F 4 och 2 G 2 .

Konvolutioner

Ett (enkeltrådigt) Dynkin-diagram (ändligt eller affint ) med symmetri (uppfyller ett villkor nedan) kan vikas i symmetri, vilket ger ett nytt, i allmänhet flertrådigt (med flera kanter), diagram med en process som kallas faltning . På nivån för Lie-algebra motsvarar detta att ta en invariant subalgebra under den yttre automorfismgruppen, och processen kan definieras rent på rotsystemet utan att använda diagram [4] . Vidare kan vilket flertrådsdiagram som helst (ändligt eller oändligt) erhållas genom faltning av ett entrådigt diagram [5] .

Det finns ett villkor för en faltningsautomorfism för att automorfism ska vara möjlig - olika noder i grafen på samma bana (under automorfism) får inte vara sammankopplade med en kant. På rotsystemets nivå måste rötterna i samma bana vara ortogonala [5] . På diagramnivå är detta nödvändigt eftersom det resulterande diagrammet annars kommer att ha en loop, eftersom detta förenar två noder som har en kant mellan sig, och loopar är inte tillåtna i Dynkin-diagram.

Noderna och kanterna på de erhållna ("vikta") diagrammen är banorna för noderna och kanterna på de ursprungliga diagrammen. Kanter är enkla (inte flera) om intilliggande kanter inte mappar till samma kant (särskilt för noder med valens större än 2 - "grenpunkter"), annars är vikten antalet intilliggande kanter och pilen pekar mot noden de är sammanfallande med - "Greneringspunkten är mappad till en icke-homogen punkt." Till exempel, i D4 , när de är vikta till G2 , är kanterna i G2 riktade från externa noder av klass 3 (valens 1) till centrala noder (valens 3).

Konvolutioner av finita diagram [6] [not 3] :

$A_{2n-1}\till C_{n}$

(Automorfismen A 2n skapar inte en sammandragning eftersom de två mittersta noderna är förbundna med en kant men inte är på samma omloppsbana.)

$D_{n+1}\till B_{n}$
$D_{4}\till G_{2}$ (om vi viker över en hel grupp eller en 3-cykel, dessutom på tre olika sätt om vi viker över en involution (ett element med ordning 2)) $D_{4}\till B_{3}$
$E_{6}\till F_{4}$

Liknande faltningar finns för affina diagram:

${\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}$
${\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}$
${\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}$
${\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}$

Notationen av faltningar kan också användas för Coxeter-Dynkin-diagram [7] . Det är möjligt att generalisera tillåtna kontraktioner av Dynkin-diagrammet till H n och I 2 ( p ). Geometriskt motsvarar detta projektionerna av homogena polytoper . Det kan ses att vilket ensträngat Dynkin-diagram som helst kan vikas till I 2 ( h ), där h är Coxeter-talet , geometriskt motsvarande projektionen på Coxeter-planet .

Konvolution kan användas för att reducera frågor om (halvenkla) Lie-algebror till frågor om enkeltrådade algebror, tillsammans med en automorfism som kan vara enklare än att direkt hantera Lie-algebror med flera kanter. Detta kan göras genom att till exempel konstruera semi-enkla Lie-algebror. Se Math Overflow: Folding by Automorphisms Arkiverad 11 september 2015 på Wayback Machine för ytterligare diskussion.

Andra diagramvisningar

Rotsystem A 2	Rotsystem G 2

Vissa ytterligare diagram har en meningsfull tolkning, som förklaras nedan. Men alla mappningar av rotsystem visas inte som diagrammappningar [8] .

Till exempel finns det två förekomster av A 2 rotsystem i G 2 , antingen som sex långa rötter eller som sex korta rötter. Noderna i G 2 -diagrammet motsvarar dock en lång och en kort rot, medan noderna i A 2 -diagrammet motsvarar rötter med lika långa rötter, och därför kan denna kartläggning av rotsystem inte uttryckas som en kartläggning av diagram.

Vissa inneslutningar av rotsystem kan uttryckas som en grafrelation där ett diagram är en genererad subgraf till en annan, vilket betyder förekomsten av "en delmängd av noder tillsammans med alla kanter mellan dem". Detta beror på att att ta bort en nod från Dynkin-diagrammet motsvarar att ta bort en enkel rot från rotsystemet, vilket resulterar i ett rotsystem med rang ett mindre. Att ta bort en kant (eller ändra mångfalden av en kant) samtidigt som noderna bibehålls motsvarar däremot att ändra vinklarna mellan rötterna, vilket inte kan göras utan att ändra hela rotsystemet. På så sätt kan du på ett meningsfullt sätt ta bort noder, men inte kanter. Att ta bort en nod från ett anslutet diagram kan ge ett anslutet diagram (en enkel Lie-algebra) om noden är ett löv, eller ett frånkopplat diagram (en halvenkel men inte en enkel Lie-grupp) med två eller tre komponenter (den senare för D n och En ) . På nivån för Lie-algebror motsvarar dessa inneslutningar Lie-subalgebror.

Maximala subgrafer (här betyder "konjugering" "med hjälp av ett diagram automorfism "):

A n +1 : A n , i två konjugerade banor.
Bn + 1 : An , Bn .
Cn + 1 : An , Cn .
Dn +1 : An ( tvåkonjugat ), Dn .
E n +1 : A n , D n , E n .
- För E 6 , av vilka två sammanfaller: och är konjugerade. $\mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}$
F4 : B3 , C3 . _
G 2 : A 1 , på två icke sammanhängande sätt (som långa rötter eller korta rötter).

Slutligen motsvarar dualiteten av diagrammen en förändring i pilarnas riktning, om någon: [8] B n och C n är dubbla, medan F 4 och G 2 är självduala eftersom de är entrådiga ADE-diagram .

Enkelradsdiagram

Dynkin-diagram utan flera kanter kallas enkeltråd . Dessa inkluderar diagram och klassificeringen av objekt med sådana diagram kallas ADE-klassificering . I det här fallet sammanfaller Dynkin-diagrammen exakt med Coxeter-diagrammen. $A_{n},D_{n},E_{n}$

Diagram av Satake

Dynkin-diagram klassificerar komplexa halvenkla Lie-algebror. Verkliga semisimple Lie-algebror kan klassificeras som verkliga former av komplexa semisimple Lie-algebror, och de klassificeras av Satake-diagram , som kan erhållas från Dynkin-diagram genom att markera några noder med svart färg (insidan av cirkeln ) och koppla ihop några andra noder i par med pilar enligt vissa regler.

Historik

Dynkin-diagram är uppkallade efter Evgeny Borisovich Dynkin , som använde dem i två artiklar (1946, 1947) för att representera klassificeringen av halvenkla Lie-algebror [9] , se ( E.B. Dynkin 2000 ). Efter att Dynkin lämnade Sovjetunionen 1976, vilket betraktades som ett svek på den tiden, använde sovjetiska matematiker namnet "enkla rotdiagram" istället för författarens efternamn för att referera till diagram.

Oriktade grafer användes tidigare av Coxeter (1934) för att klassificera reflektionsgrupper , och i dem motsvarade noderna enkla reflektioner. Grafer användes då av Witt (med längdinformation) (1941) i samband med rotsystem, där noder motsvarar enkla rötter, som används idag [9] [10] . Dynkin använde sedan diagrammen 1946 och 1947 och tackade Coxeter och Witt i ett papper från 1947.

Avtal

Dynkin-diagram ritas på många sätt [10] . Konventionerna som används i denna artikel är allmänt accepterade, med 180° vinklar för valens 2 knop, 120° vinklar för valens 3 knop för D n och 90°/90°/180° valens 3 knop för E n , med multiplicitet indikerad med 1, 2 eller 3 parallella kanter, och ange längden på roten genom att ange kantens orientering. Förutom enkelhet gör dessa konventioner det möjligt att visa automorfismer av diagram med hjälp av euklidiska isometrier av diagram.

Alternativa konventioner inkluderar att specificera antalet kanter för multiplicitet (används vanligtvis i Coxeter-diagram), att använda färg för att indikera rotlängd, eller att använda 120° vinklar för valens 2 knop för att göra knutarna mer urskiljbara.

Det finns också konventioner för nodnumrering. Den allmänt accepterade konventionen utvecklades och illustrerades på 1960-talet i Bourbakis bok [11] [10] .

Dynkin-diagram av rang 2

Dynkin-diagram är ekvivalenta med generaliserade Cartan-matriser , som visas i tabellen över Dynkin-diagram med rang 2 genom att ange deras motsvarande 2 x 2 Cartan-matriser.

För rang 2 är Cartan-matrisen:

A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]

Ett flerkantsdiagram motsvarar en off-diagonal Cartan-matris med element -a 21 , -a 12 , där antalet diagramkanter är max (-a 21 , -a 12 ), och pilen är riktad mot icke-singular element.

Den generaliserade Cartan-matrisen är en kvadratisk matris så att: $A=(a_{ij})$

För diagonala element . $a_{ii}=2$
För off-diagonala element . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ om och endast om $a_{ji}=0$

Cartan-matrisen bestämmer om en grupp är av finit typ (om den är positiv definitiv , dvs alla egenvärden är positiva), affin typ (om matrisen inte är positiv definitiv utan positiv semidefinit, dvs. alla egenvärden är icke-negativa ), eller obestämd typ . En obestämd typ delas ofta in i undertyper, till exempel är en Coxeter-grupp Lorentzian om den har ett negativt egenvärde och alla andra värden är positiva. Vidare talar vissa källor om hyperboliska Coxeter-grupper, men det finns flera icke-ekvivalenta definitioner för detta begrepp. I diskussionen nedan förstås hyperboliska Coxeter-grupper som ett specialfall av Lorentz-grupper som uppfyller ytterligare villkor. Observera att för rang 2 motsvarar alla Cartan-matriser med negativ determinant hyperboliska Coxeter-grupper. Men i allmänhet är de flesta matriser med negativ determinant varken hyperboliska eller lorentziska.

Slutliga grenar har (-a 21 , -a 12 )=(1,1), (2,1), (3,1) och affin (med noll determinant) har (-a 21 , -a 12 ) =( 2,2 ) eller (4.1).

Dynkin-diagram av rang 2

Gruppnamn _	Dynkin diagram			Cartan matris		Symmetriordning _	Länkad enkel tråd grupp 3
Gruppnamn _	(Standard) graf med flera kanter	Graf med värden 1	Earl of Coxeter 2	$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Determinant (4-a 21 *a 12 )	Symmetriordning _	Länkad enkel tråd grupp 3
Slut (kval >0)
A 1xA 1 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	fyra	2
A 2 (unor. [not 4] )				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3	3
B2 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	fyra	${A}_{3}$
C2 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	fyra	${A}_{3}$
BC 2 (icke-org.)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	fyra
G2 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	ett	6	${D}_{4}$
G 2 (unor.)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	ett	6
Affin (Determinant=0)
A 1 (1)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {A}}_{3}$
A 2 (2)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {D}}_{4}$
Hyperbolisk (Determinant <0)
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right]$	-ett	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right]$	-3	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	-fyra	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right]$	-fyra	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	-5	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right]$	4-ab<0	-
Obs 1 : För hyperboliska grupper, (a 12 *a 21 >4), används inte multi-edge stilen, och värdena (a 21 , a 12 ) anges direkt på kanten. Detta används vanligtvis inte för finita och affina grupper [12] . Anmärkning 2 : För oriktade grupper är Dynkin-diagram och Coxeter-diagram likvärdiga. Kanterna i dem är vanligtvis märkta med sin symmetriordning, och kanterna i ordning 3 är inte märkta. Note 3 : Många flerkantsgrupper kan erhållas från enkeltrådade grupper av högre rang med en lämplig faltningsoperation .

Finita Dynkin-diagram

Finita Dynkin-grafer med noder från 1 till 9

Rang	Klassiska lögngrupper				Exceptionella Lie-grupper
Rang	${A}_{1+}$	${\displaystyle {B}_{2+))$	${\displaystyle {C}_{2+))$	${D}_{2+}$		${G}_{2}$ / ${\displaystyle {F}_{4))$
ett	A 1
2	A2 _	B2 _	C2 = B2 _	D 2 \u003d A 1 xA 1		G2 _
3	A 3	B3 _	C3 _	D3 = A3 _	E 3 \u003d A 2 xA 1
fyra	A4 _	B4 _	C4 _	D4 _	E 4 = A 4	F4 _
5	A5 _	B5 _	C5 _	D5 _	E5 = D 5
6	A6 _	B6 _	C6 _	D6 _	E 6
7	A7 _	B7 _	C7 _	D7 _	E 7
åtta	En 8	B8 _	C 8	D8 _	E 8
9	A9 _	B9 _	C9 _	D9 _
10+	..	..	..	..

Affine Dynkin-diagram

Det finns tillägg av Dynkin-diagram, nämligen affina Dynkin-diagram . Dessa diagram klassificerar Cartan-matriserna för affina Lie-algebras . Klassificeringen utförs i artikeln av Katz [13] , listan ges i samma artikel på sidorna 53-55. Affina diagram betecknas som eller där X är bokstaven i det motsvarande slutliga diagrammet, och upphöjd anger den serie av affina diagram som diagrammet tillhör. Den första i serien, den mest kända, kallas utökade Dynkin-diagram och är markerad med en tilde (~), och ibland med ett upphöjt + tecken [14] , till exempel, . Serierna (2) och (3) kallas vridna affina diagram . $X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)}$ $X_{l}^{(3)},$ $X_{l}^{(1)},$ ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$

Se Dynkin Diagram Generator Arkiverad 13 december 2012 på Wayback Machine för diagram.

En uppsättning utökade affina Dynkin-diagram med tillagda noder (markerade i grönt) ( för och för ) $n\geq 3$ $B_{n}$ $n\geq 4$ $D_{n}$	"Vridna" affina diagram är markerade (2) eller (3) i upphöjd. ( k är lika med antalet gula noder i grafen)

Tabellen nedan listar alla Dynkin-grafer för affina grupper upp till 10 noder. Utökade Dynkin-grafer anges som familjer med ~ och motsvarar finita grafer ovan med en tillagd nod. Andra varianter av riktade grafer ges med upphöjda (2) eller (3) och de är veck av högre ordningsgrupper. De ingår i kategorin Vridna affina diagram [15] .

Anslutna affina Dynkin-grafer med 2 till 10 noder
(grupperade som oriktade grafer)

Rang	${\tilde {A}}_{1+}$	${\tilde {B}}_{3+}$	${\tilde {C}}_{2+}$	${\tilde {D}}_{4+}$	E/F/G
2	${\tilde {A}}_{1}$ eller ${\displaystyle {A}_{1}^{(1)))$		${\displaystyle {A}_{2}^{(2)))$ :
3	${\tilde {A}}_{2}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{2}^{(1)))$		${\tilde {C}}_{2}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{2}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{5}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{4}^{(2)))$ :		${\tilde {G}}_{2}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {G}_{2}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{4}^{(3)))$
fyra	${\tilde {A}}_{3}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{3}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{3}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{3}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{5}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{3}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{3}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{6}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{6}^{(2)))$ :
5	${\tilde {A}}_{4}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{4}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{4}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{7}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{4}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{7}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{8}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{4}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {D}_{4}^{(1)))$	${\tilde {F}}_{4}$ eller (se) ${\displaystyle {F}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {E}_{6}^{(2)))$
6	${\tilde {A}}_{5}$ eller (se) Arkiverad 11 oktober 2016 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{5}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{5}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{5}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{9}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{5}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{5}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{8}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{10}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{5}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {D}_{5}^{(1)))$
7	${\tilde {A}}_{6}$ eller (se) Arkiverad 15 juli 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{6}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{6}$ eller ${\displaystyle {B}_{6}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{11}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{6}$ eller ${\displaystyle {C}_{6}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{9}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{12}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{6}$ eller ${\displaystyle {D}_{6}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{6}$ eller ${\displaystyle {E}_{6}^{(1)))$
åtta	${\tilde {A}}_{7}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{7}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{7}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{7}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{13}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{7}$ eller ${\displaystyle {C}_{7}^{(1)))$ ${D}_{10}^{(2)}$ : ${\displaystyle {A}_{14}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{7}$ eller (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {D}_{7}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{7}$ eller ${\displaystyle {E}_{7}^{(1)))$
9	${\tilde {A}}_{8}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{8}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{8}$ eller ${\displaystyle {B}_{8}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{15}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{8}$ eller ${\displaystyle {C}_{8}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{11}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{16}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{8}$ eller ${\displaystyle {D}_{8}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{8}$ eller ${\displaystyle {E}_{8}^{(1)))$
tio	${\tilde {A}}_{9}$ eller (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{9}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{9}$ eller ${\displaystyle {B}_{9}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{17}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{9}$ eller ${\displaystyle {C}_{9}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{12}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{18}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{9}$ eller ${\displaystyle {D}_{9}^{(1)))$
elva	…	…	…	…

Hyperboliska Dynkin-diagram och högre nivåer

Uppsättningen av kompakta och icke-kompakta hyperboliska Dynkin-grafer listades i artikeln av Carbone et al. [16] Alla hyperboliska grafer av rang 3 är kompakta. Kompakta hyperboliska Dynkin-diagram finns upp till rang 5, medan icke-kompakta hyperboliska diagram finns upp till rang 10.

Antal diagram

Rang	Kompakt	Icke-kompakt	Total
3	31	93	123
fyra	3	femtio	53
5	ett	21	22
6	0	22	22
7	0	fyra	fyra
åtta	0	5	5
9	0	5	5
tio	0	fyra	fyra

Kompakta hyperboliska Dynkin-diagram

Kompakta hyperboliska grafer

Rank 3		Rank 4	Rank 5
Linjära grafer (6 4 2): H 100 (3) : H101 (3 ) : H105 ( 3) : H106 (3 ) : (6 6 2): H 114 (3) : H 115 (3) : H116 (3 ) :	Cykliska grafer (4 3 3): H 1 (3) : (4 4 3): 3 former... (4 4 4): 2 former... (6 3 3): H 3 (3) : (6 4 3): 4 former... (6 4 4): 4 former... (6 6 3): 3 former... (6 6 4): 4 former... (6 6 6): 2 former...	(4 3 3 3): H 8 (4) : H 13 (4) : (4 3 4 3): H 14 (4) :	(4 3 3 3 3): H 7 (5) :

Icke-kompakta (väsentligen utökade former)

Vissa notationer som används i teoretisk fysik , inom områden som M-teori , använder det upphöjda "+" för utökade grupper istället för "~", vilket gör det möjligt att definiera starkare gruppförlängningar.

Utökade Dynkin-diagram (affina) ges indexet "+" och de har ytterligare en nod. (Samma som "~")
Betydligt utökade Dynkin-diagram (hyperboliska) ges indexet "^" eller "++" och de har ytterligare två noder.
Starkt utökade Dynkin-diagram med 3 ytterligare noder får indexet "+++".

Några exempel på avsevärt utökade (hyperboliska) Dynkin-diagram

Rang	${AE}_{n}$ = A n-2 (1)^	${BE}_{n}$ = Bn-2 (1)^ ${CE}_{n}$	Cn -2 (1)^	${DE}_{n}$ = D n-2 (1)^	E/F/G
3	${AE}_{3}$ :
fyra	${AE}_{4}$ :		C2 (1) ^ A 4 (2)'^ A4 ( 2 )^ D 3 (2)^		G 2 (1)^ D4 ( 3 )^
5	${AE}_{5}$ :	${BE}_{5}$ ${CE}_{5}$	C3 (1) ^ A6 ( 2 )^ A 6 (2)'^ D 5 (2)^
6	${AE}_{6}$	${BE}_{6}$ ${CE}_{6}$	C4 ( 1 )^ A8 ( 2 )^ A 8 (2)'^ D7 ( 2 )^	${DE}_{6}$	F4 ( 1 )^ E6 ( 2 )^
7	${AE}_{7}$	${BE}_{7}$ ${CE}_{7}$		${DE}_{7}$
åtta	${AE}_{8}$	${BE}_{8}$ ${CE}_{8}$		${DE}_{8}$	E 6 (1)^
9	${AE}_{9}$	${BE}_{9}$ ${CE}_{9}$		${DE}_{9}$	E7 ( 1 )^
tio		${BE}_{10}$ ${CE}_{10}$		${DE}_{10}$	${E}_{10}$ =E 8 (1)^

238 hyperboliska grupper (kompakta och icke-kompakta)

De 238 listade hyperboliska grupperna (kompakta och icke-kompakta) betecknas som H i (n) för rang n, och har index i=1,2,3... för varje rang.

Kraftigt utökade diagram

Starkt utökade grupper är Lorentz-grupper , som definieras genom att lägga till tre knop till de ändliga grupperna. E 8 , E 7 , E 6 , F 4 och G 2 ger sex serier som slutar i starkt expanderade grupper. Andra utökade serier som inte visas kan bestämmas från An , Bn , Cn och Dn som olika serier för varje n . Determinanten för den associerade Cartan-matrisen bestämmer var serien ändras från finit (positiv determinant) till affin (noll determinant) till en icke-kompakt hyperbolisk grupp (negativ determinant) och avslutar serien som en Lorentz-grupp, vilket kan bestämmas av utseende av en tidsliknande dimension [17] .

Rank 2 utökad serie

slutlig	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$
2	A2 _	C2 _	G2 _
3	A 2 + = (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {A}}_{2}$	C 2 + = (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {C}}_{2}$	G 2 + = (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {G}}_{2}$
fyra	A 2 ++ (se) Arkiverad 13 juli 2015 på Wayback Machine	C 2 ++ (se) Arkiverad 11 oktober 2016 på Wayback Machine	G 2 ++ (se) Arkiverad 13 juli 2015 på Wayback Machine
5	A 2 +++ (se) Arkiverad 14 juli 2015 på Wayback Machine	C 2 +++ (se) Arkiverad 11 oktober 2016 på Wayback Machine	G 2 +++ (se) Arkiverad 14 juli 2015 på Wayback Machine
Det(M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n

Utökade serier 3 och 4

slutlig	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$
2		A 1 2						A2 _
3	A 3	B3 _	C3 _		B 2 A 1		A 1 3
fyra	A 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	B3 + = _ ${\tilde {B}}_{3}$	C3 + = _ ${\tilde {C}}_{3}$	A4 _	B4 _	C4 _	D4 _	F4 _
5	A3 ++ _	B3 ++ _	C3 ++ _	A4 + = _ ${\tilde {A}}_{4}$	B4 + = _ ${\tilde {B}}_{4}$	C4 + = _ ${\tilde {C}}_{4}$	D4 + = _ ${\tilde {D}}_{4}$	F4 + = _ ${\tilde {F}}_{4}$
6	A 3 +++	B3 +++ _	C3 +++ _	A4 ++ _	B4 ++ _	C4 ++ _	D4 ++ _	F4 ++ _
7				A4 +++ _	B4 +++ _	C4 +++ _	D4 +++ _	F4 +++ _
Det(M n )	4(4- n )	2(4- n )		5(5- n )	2(5- n )		4(5- n )	5- n

Utökad serie av rang 5 och 6

slutlig	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$
fyra		B 3 A 1	A 3 A 1				A 2 2
5	A5 _		D5 _		B 4 A 1	D 4 A 1	A5 _
6	A5 + = _ ${\tilde {A}}_{5}$	B5 + = _ ${\tilde {B}}_{5}$	D5 + = _ ${\tilde {D}}_{5}$	A6 _	B6 _	D6 _	E 6
7	A5 ++ _	B5 ++ _	D5 ++ _	A6 + = _ ${\tilde {A}}_{6}$	B6 + = _ ${\tilde {B}}_{6}$	D6 + = _ ${\tilde {D}}_{6}$	E6 + = _ ${\tilde {E}}_{6}$
åtta	A5 +++ _	B5 +++ _	D5 +++ _	A6 ++ _	B6 ++ _	D6 ++ _	E6 ++ _
9				A6 +++ _	B6 +++ _	D6 +++ _	E 6 +++
Det(M n )	6(6- n )	2(6- n )	4(6- n )	7(7- n )	2(7- n )	4(7- n )	3(7- n )

Vissa utökade serier rang 7 och uppåt

slutlig	A7 _	B7 _	D7 _	E 7	E 8
3					E 3 \u003d A 2 A 1
fyra				A 3 A 1	E 4 = A 4
5				A5 _	E5 = D 5
6		B 5 A 1	D 5 A 1	D6 _	E 6 (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine
7	A7 _	B7 _	D7 _	E 7 (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine	E 7 (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine
åtta	A 7 + = (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {A}}_{7}$	B 7 + = (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {B}}_{7}$	D 7 + = (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {D}}_{7}$	E 7 + = (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {E}}_{7}$	E 8 (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine
9	A 7 ++ (se) Arkiverad 13 juli 2015 på Wayback Machine	B 7 ++ (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine	D 7 ++ (se) Arkiverad 13 juli 2015 på Wayback Machine	E 7 ++ (se) Arkiverad 13 juli 2015 på Wayback Machine	E 9 =E 8 + = (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine ${\tilde {E}}_{8}$
tio	A 7 +++ (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine	B 7 +++ (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine	D 7 +++ (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine	E 7 +++ (se) Arkiverad 10 juni 2015 på Wayback Machine	E 10 =E 8 ++ (se) Arkiverad 30 juni 2015 på Wayback Machine
elva					E 11 =E 8 +++ (se) Arkiverad 12 november 2014 på Wayback Machine
Det(M n )	8(8- n )	2(8- n )	4(8- n )	2(8- n )	9- n

Se även

Satake Diagrams

Anteckningar

Kommentarer

↑ I det här avsnittet talar vi om "Coxeter-diagram" och inte "Coxeter-Dynkin-diagram" för korthetens skull och för att skilja mellan begrepp, eftersom det finns risk för förvirring.
↑ konjugationen av matrisen g med hjälp av matrisen a är en matris som matrisen a −1 ga
↑ Observera att glasmästaren använder pilar, i motsats till konventionerna som används i den här artikeln.
↑ oriktat diagram

Källor

↑ Fulton och Harris, 1991 , sid. Proposition D.40.
↑ 1 2 3 Jacobson, 1971 , sid. avsnitt 7.
↑ Humphreys, 1972 , sid. Avsnitt 16.5.
↑ Algebraisk geometri och talteori: till ära av Vladimir Drinfelds 50-årsdag, redigerad av Victor Ginzburg, sid. 47, avsnitt 3.6: Klustervikning Arkiverad 16 april 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 Folding by Automorphisms Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine , John Stembridge, 4pp., 79K, 20 augusti 2008, Andra artiklar av John Stembridge Arkiverad 11 januari 2016 på Wayback Machine
↑ Se ( Stekolshchik 2008 , s. 102 , anmärkning 5.4) för en illustration av sådana veck och referenser.
↑ Jean-Bernard Zuber. Generaliserade Dynkin-diagram och rotsystem och deras vikning // CiteSeer. — S. 28–30 .
↑ 1 2 Transformations of Dynkin Diagrams Arkiverad 10 mars 2016 på Wayback Machine , John Armstrong, 5 mars 2010
↑ 12 Knapp , 2002 , sid. 758.
↑ 1 2 3 Varför ritas Dynkin-diagrammen E6, E7 och E8 alltid på detta sätt? . Hämtad 14 oktober 2015. Arkiverad från originalet 11 september 2015. (obestämd)
↑ Bourbaki, 1968 .
↑ Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence , Rafael Stekolshchik, 2005, Avsnitt 2.1 Cartan-matrisen och dess bröstform sid. 27. [1] Arkiverad 1 mars 2020 på Wayback Machine
↑ Kac, 1994 , sid. 47-55.
↑ Se till exempel Reflection groups och Coxeter groups, av James E. Humphreys, sid. 96 Arkiverad 16 april 2021 på Wayback Machine
↑ Kac, 1994 , sid. 53.
↑ L Carbone, S Chung, C Cobbs, R McRae, D Nandi, Y Naqvi, D Penta. Klassificering av hyperboliska Dynkin-diagram, rotlängder och Weyl-gruppbanor // J. Phys. A: Matematik. Theor. - 2010. - Utgåva. 43 .
↑ M-teoriernas symmetri Arkiverad 18 januari 2017 på Wayback Machine , Francois Englert, Laurent Houart , Anne Taormina och Peter West, 2003

Litteratur

E.B. Dynkin. Struktur av halvenkla Lie-algebror. // UMN. - 1947. - Vol. 2 , nr. 4(20) . — s. 59–127 .
Nicholas Bourbaki. Kapitel 4–6 // Groupes et algebres de Lie. — Paris: Hermann, 1968.
Nathan Jacobson. Exceptionella Lie Algebras. - CRC Press, 1971. - ISBN 0-8247-1326-5 .
James E. Humphreys. Introduktion till lögnalgebror och representationsteori. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 .
William Fulton , Joe Harris . representationsteori. En första kurs. - New York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics). - ISBN 978-0-387-97495-8 , 978-0-387-97527-6.
Evgeniĭ Borisovich Dynkin, Alexander Adolph Yushkevich, Gary M. Seitz, AL Onishchik. Utvalda tidningar av EB Dynkin med kommentarer. - AMS Bookstore, 2000. - ISBN 978-0-8218-1065-1 .
Anthony W. Knapp. Ligggrupper bortom en introduktion. — 2:a. - Birkhäuser, 2002. - ISBN 978-0-8176-4259-4 .
R. Stekolshchik. Anteckningar om Coxeter-transformationer och McKay-korrespondensen. - 2008. - (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6 . - doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 .
Victor G. Kac. Oändligt dimensionell lögnalgebras. - Cambridge University press, 1994. - ISBN 0-521-37215-1 , 0-521-46693-8.

Länkar

Klassifikation von Wurzelsystemen (Klassificering av rotsystem, Wikibooks på tyska)
Dynkin-diagram på Encyclopaedia of Mathematics Arkiverad 26 juni 2015 på Wayback Machine
John Baez om Dynkin-diagram överallt i matematik Arkiverad 14 november 2015 på Wayback Machine
Webbverktyg för att göra Dynkin-diagram av publikationskvalitet med etiketter (skrivna i JavaScript) Arkiverad 13 december 2012 på Wayback Machine