Korsningsform

Skärningsformen för en orienterad kompakt 4-grenrör är en viss symmetrisk bilinjär form på grenrörets 2:a kohomologigrupp .

Denna form återspeglar mycket av grenrörets topologi, inklusive information om närvaron av en jämn struktur .

Definition

Korsningsform

Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z}

definierad som

Q_{M}(a,b)=\langle a\cup b,[M]\rangle .

Om grenröret är jämnt kan de Rham-kohomologi användas i definitionen genom att representera a och b som 2-former α och β. Då ges formen av skärningar av integralen

Q(a,b)=\int \limits _{M}\alpha \wedge \beta

där betecknar den yttre produkten, se yttre algebra . $\kil$

Relaterade definitioner

Skärningsformsignaturen bildar en viktig invariant som kallas grenrörets signatur .

Dubbel definition

Poincaré-dualitet tillåter oss att betrakta skärningsformen som en form på 2 homologigrupper . För att göra detta måste vi representera elementen i gruppen som tvärgående skärande ytor och sedan räkna antalet skärningspunkter med multipliciteter på +1 eller −1, beroende på skärningsriktningen.

Egenskaper

Enligt Wus formel har ett fyrdimensionellt spinngrenrör en jämn skärningsform, det vill säga Q ( X , X ) är jämnt för varje X .
- För enkelt sammankopplade 4-grenrör (eller, mer allmänt, för grenrör utan 2-torsion i den första homologin), är det omvända också sant.
Ett 4-grenrör är gränsen för ett 5-grenrör om och endast om det har en nollsignatur.
4-dimensionella spin-grenrör har en signatur som är en multipel av åtta.
- Dessutom, enligt Rokhlins teorem , har släta kompakta 4-dimensionella spinngrenrör en signatur som är en multipel av 16.
Enligt Friedmanns teorem , för varje unimodulär symmetrisk bilinjär form över ringen av heltal, finns det ett enkelt anslutet sluten 4-grenrör med en sådan skärningsform. Vidare:
- För jämna former finns det bara en sådan sort.
- Om formen är udda, så finns det två sådana grenrör, och minst en (möjligen båda) har inte en jämn struktur.

Således är två enkelt anslutna slutna släta 4-grenrör med samma skärningsform homeomorfa.

I det udda fallet skiljer sig de två grenrören i sina Kirby-Siebenmann-invarianter .

Enligt Donaldsons teorem, om en slät, enkelt sammankopplad 4-grenrör har en positiv-definierad skärningsform, så är den diagonaliserbar.
- Detta innebär att det finns ett stort antal icke-utjämnande 4-grenrör, såsom ett E8-grenrör .

Variationer och generaliseringar

För icke-orienterbara 4-grenrör är skärningsformen med koefficienter i likadant konstruerad . ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$
Skärningsformen kan konstrueras på grenrör med godtycklig jämn dimension. Dessutom är den symmetrisk om dimensionen är delbar med 4, och annars antisymmetrisk.
- Signaturen 4 för ett n -dimensionellt grenrör definieras som signaturen för dess skärningsform; det kan beräknas från Pontryagin-klasserna , se även släktet för mångfalden .

Länkar

Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4