Rokhlins signatursats

Rokhlins signatursats är en fyrdimensionell topologisats . Bevisad av Vladimir Abramovich Rokhlin 1952.

Formulering

Antag att ett slätt, stängt, enkelt anslutet 4- grenrör uppfyller ett av följande ekvivalenta villkor: $M$

$M$ har en spinorstruktur .
$w_{2}(M)=0$ ; det vill säga den andra Stiefel-Whitney-klassen är noll.
Formen på korsningarna är jämn. $M$

Då är signaturen för dess skärningsform delbar med 16.

Anteckningar

Enligt Jahit Arfs teorem har alla ens unimodulära gitter en signatur som är en multipel av 8, så Rokhlins teorem innebär att endast ytterligare två delar signaturen. Av denna anledning kallas satsen ibland "Rokhlin 2"-satsen.

Ytan K3 är kompakt, fyrdimensionell och , och dess signatur är 16. I synnerhet kan delbarheten i Rokhlins sats inte förbättras. $w_{2}(M)=0$

En komplex yta i grad har signatur , som framgår av Friedrich Hirzebruchs sats om släktet grenrör . För får vi en K3-yta . $\mathbb {CP} ^{3}$ $d$ $(4-d^{2})d/3$ $d=4$

Michael Friedmans grenrör E8 är ett enkelt sammankopplat kompakt topologiskt grenrör med och skärningsformen signatur 8. Av Rokhlins teorem följer att detta grenrör inte har en jämn struktur. I synnerhet misslyckas Rokhlins teorem för topologiska (inte släta) grenrör. $w_{2}(M)=0$ $E_8$

Om grenröret helt enkelt är anslutet (eller, mer allmänt, om den första homologigruppen inte har 2-torsion), är det ekvivalent med pariteten för skärningsformen. Detta är inte fallet för icke-enkelt sammankopplade grenrör: Enriques yta är en kompakt slät 4-grenrör och har en jämn skärningsform, men . $M$ $w_{2}(M)=0$ $w_{2}(M)\neq 0$

Om bevis

Rokhlins teorem kan härledas från det faktum att den tredje stabila homotopigruppen av sfärer är cyklisk av ordningen 24; detta är Rokhlins ursprungliga tillvägagångssätt. ${\displaystyle \pi _{3}^{S))$

Det kan härledas från Atiyah-Singer indexsatsen .

Robion Kirby gav ytterligare ett bevis.

Länkar

Alexander Alexandrovich Gaifullin , Rokhlinskaya deuce , lektioner (del 1) + (del 2) + (del 3) på YouTube .