Homologiteori

Homologiteori ( annan grekisk ὁμός "lik, identisk; gemensam; ömsesidig" och λόγος "doktrin, vetenskap ") är en gren av matematiken som studerar konstruktionen av några topologiska invarianter som kallas homologigrupper och kohomologigrupper . Homologiteorier kallas också konkreta konstruktioner av homologigrupper.

I det enklaste fallet är ett topologiskt utrymme associerat med en sekvens av Abelska homologigrupper uppräknade med naturliga tal . De är homotopi-invarianter och till skillnad från homotopigrupper är de lättare att beräkna och mer geometriskt tydliga, men för enkelt sammankopplade utrymmen bär de samma mängd information [1] . $X$ $H_{k}(X)$ $k$

Definitionen av homologi är dock mindre explicit och använder en del tekniskt maskineri [2] , och därför finns det flera olika teorier om homologi - båda definierade endast för "bra" topologiska utrymmen eller kräver ytterligare struktur , och mer komplexa, utformade för att fungera med patologiska exempel. Men med undantag för sådana patologiska fall sammanfaller de vanligtvis: för cellulära utrymmen säkerställs detta av Steenrod-Eilenbergs axiom .

Andra vanliga föreställningar om homologiteori är homologi med koefficienter i en abelisk grupp , relativ homologi av ett par av utrymmen och kohomologi , vars definitioner i någon mening är dubbla till den av homologi. Det är ofta kohomologier som övervägs på grund av närvaron av multiplikation på dem , vilket gör dem till en graderad algebra . $H_{k}(X,A)$ $A$ $H_{k}(X,Y)$ $X\upset Y$ $H^{k}(X)$ $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\till H^{k+l}(X)$

Kohomologier kallas också invarianter förknippade med andra matematiska objekt- grupper , Lie-algebror , skivor . De förenas av en formell likhet – till exempel närvaron i deras definition av begreppet homologi för ett kedjekomplex – och, i vissa fall, närvaron av konstruktioner som associerar sådana objekt med topologiska rum med lämpliga homologier.

Allmän definition

Kom ihåg att den -: e homotopigruppen i ett utrymme är uppsättningen av avbildningar från den dimensionella sfären till , betraktad upp till en kontinuerlig deformation . För att bestämma homologin ersätts mappningar av sfärer av -cykler, som intuitivt representeras som slutna (det vill säga utan gränser) orienterade filmer av dimension inuti , men formaliseras olika i olika definitioner. Villkoret för kontinuerlig deformerbarhet ersätts av villkoret att skillnaden mellan cykler (deras förening, i vilken den andra tas med motsatt orientering) är en orienterad cykelgräns med dimension en till. $k$ $\pi _{k}(X)$ $X$ $k$ $X$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $X$

I standardnotation är -cykelgruppen (från tyska Zyklus - "cykel"), -gränsgruppen är (från engelska boundary - "border"), och frasen "homologier är cykler upp till gränser" skrivs som $k$ $Z_{k}(X)$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

För att formalisera denna idé är det nödvändigt att strikt definiera cykler och deras gränser, vilket leder till vissa svårigheter för dimensionscykler [1] . Lösningen är att definiera ett mellankoncept av en -kedjegrupp bestående av formella linjära kombinationer av mappningar till några standardelement beroende på den valda konstruktionen. En standardelementgräns definieras som en linjär kombination av standardelement med dimension en mindre med lämpliga orienteringar, vilket inducerar en gränsavbildning . Då definieras -cykler som -kedjor med en nollgräns (för att gränsens likhet med noll ska vara meningsfull är det nödvändigt att inte bara ta positiva, utan också alla linjära kombinationer av standardelement, och specificera gränskartan med en skylt). Således är cykler kärnan och gränser är bilden av gränsvisningen: $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $X$ $\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X) )=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\till C_{k}(X))

Villkoret att alla gränser är cykler tar formen av kedjekomplexvillkoret : , och homologin för ett topologiskt utrymme är homologin för detta komplex. $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$

Valet av standardelement och kantvisning skiljer sig åt beroende på teorin. I teorin om singular homologi är sådana element simplicerade och gränskartan associerar en simplex med en alternerande summa av dess ytor. I teorin om enkel homologi , definierad för förenklade komplex , är också förenklingar, men inte alla, men inkluderade i den valda förenklade partitionen. I teorin om cellulär homologi , definierad för cellkomplexet , är dessa hypersfärer från ett lämpligt skelett, och gränskartläggningen är mer komplicerad.

Homologiska teorier

Enkel homologi − Homologi definieras för mycket enkla utrymmen ( enkla komplex ).

De definieras ganska enkelt, men beviset på deras invarians och funktionalitet är ganska svårt.

Singular homologi är en annan homologiteori som föreslås av Lefschetz . Deras definition kräver att man arbetar med oändligt dimensionella rum, men invarians och funktionalitet blir omedelbart uppenbara.

Cech homologi är den homologiteori som är mest anpassad för att arbeta med patologiska utrymmen.

Homologi med koefficienter i godtyckliga grupper

Man kan definiera homologier genom att tillåta koefficienterna för simpliceringar i kedjor att vara element i vilken abelsk grupp som helst . Det vill säga, i stället för grupper , överväga grupper . $G$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\otimes G$

Homologigrupper (enkla, singular, etc.) av utrymmen med koefficienter i gruppen betecknas . Vanligtvis används gruppen av reella tal , rationella tal eller den cykliska gruppen av rester modulo - och det tas vanligtvis - ett primtal nummer, då är ett fält . $X$ $G$ $H_{k}(X;G).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $m$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m=p$ $\mathbb {Z} _{p}$

En annan beskrivning. Ansöker till komplexet $C_{*}(X)$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

funktor får vi ett komplex $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\ibland G{\xleftarrow {}}\ldots

vars homologi är homologin med koefficienter i . $G$

Kohomologi

Förutom kedjor kan du introducera begreppet samkedjor - kartläggning av ett vektorutrymme av kedjor i en grupp . Det vill säga utrymmet för cochains . $G$ $C^{k}(X)=\operatörsnamn {Hom} (C_{k}(X),G)$

Gränsoperatorn bestäms av formeln: (där ). För en sådan gränsoperatör har vi också $\delta ^{k}:C^{k}\till C^{k+1}$ $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}$

\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0

, nämligen

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Därför, i likhet med vad som sades ovan, kan man introducera begreppen cocycles , coboundaries och cohomology . ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatörsnamn {Ker} \delta ^{k))$ $B^{k}(X,G)=\operatörsnamn {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

Begreppet kohomologi är dubbelt med begreppet homologi.

Om det är en ring , så definieras i kohomologigruppen en naturlig multiplikation (kolmogorov-Alexander-produkten eller -produkten), som förvandlar denna grupp till en graderad ring , kallad kohomologiringen . $G$ $H^{*}(X,G)$ $\kopp$

I fallet där är ett differentierbart grenrör , kan kohomologiringen beräknas med hjälp av differentialformer på (se De Rhams teorem ). $X$ $H^{*}(X,\mathbb {R})$ $X$

Begreppet kohomologi introducerades av Alexander och Kolmogorov .

Relativ homologi och exakt homologisekvens

Låt oss ta fallet med två topologiska utrymmen . En grupp av kedjor (kedjor kan vara antingen med heltalskoefficienter eller med koefficienter i vilken grupp som helst ). Relativa kedjor kommer att kallas element i faktorgruppen . Eftersom gränsoperatorn på homologigruppen i subrummet översätter , är det möjligt att definiera gränsoperatorn på kvotgruppen (vi kommer att beteckna den på samma sätt) . $Y\delmängd X$ $C_{k}(Y)\delmängd C_{k}(X)$ $G$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\colon C_{k}(Y)\till C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\till C_{k-1}(X,Y)$

De relativa kedjorna som gränsoperatorn översätter till kommer att kallas relativa loopar , och kedjorna som är dess värden har relativa gränser . Eftersom på absoluta kedjor kommer detsamma att gälla för relativa, härifrån . Faktorgruppen kallas den relativa homologigruppen . $0$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\delmängd Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Eftersom varje absolut cykel i också är relativ, har vi en homomorfism . Genom den funktionella egenskapen leder inbäddningen till en homomorfism . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\till H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\till X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\till H_{k}(X)$

I sin tur kan vi konstruera en homomorfism , som vi definierar enligt följande. Låta vara en relativ kedja som definierar en cykel från . Se det som en absolut kedja i (upp till element ). Eftersom detta är en relativ cykel kommer den att vara lika med noll upp till någon kedja . Vi sätter lika med homologiklassen för kedjan . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\till H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\in C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ $d_{*k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$

Om vi tar en annan absolut kedja som definierar samma relativa cykel, kommer vi att ha , där . Vi har , men eftersom det är gränsen vid det och definierar samma element i homologigruppen . Om vi tar en annan relativ cykel , som ger samma element i den relativa homologigruppen , där är den relativa gränsen, då på grund av det faktum att gränsen för relativa homologier är , där , alltså , men , och är gränsen i . $c'_{k}\in C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $c''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Därför är homologiklassen unikt definierad. Det är tydligt från operatorns linjäritet att det är en homomorfism. Så vi har homomorfismer: $d_{*k}c_{k}$ $d_{*k}$

i_{*k}\colon H_{k}(Y)\till H_{k}(X)

;

j_{*k}\colon H_{k}(X)\till H_{k}(X,Y)

och

d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\till H_{k-1}(Y)

;

...\till H_{k}(Y)\till H_{k}(X)\till H_{k}(X,Y)\till H_{k-1}(Y)\till ...

Det kan bevisas att denna sekvens är exakt , det vill säga bilden av någon homomorfism är lika med kärnan i nästa homomorfism.

Steenrod-Eilenbergs axiom

Utöver den enkla och singulära homologin som vi redan känner till, finns det andra teorier om homologi och kohomologi, till exempel cellulär homologi , Alexandrov-Cech kohomologi , de Rham kohomologi , etc. Steenrod och Eilenberg definierade ett system av axiom för teorin av (sam)homologi. Först definierar de den så kallade. en tillåten klass av par av topologiska utrymmen som uppfyller följande egenskaper: $D$

Om då och . $(X,Y)\i D,$ $(X,X)\i D,$ $(X,\varnothing )\i D,$ $(Y,Y)\i D$ $(Y,\varnothing )\in D$
Om , då och , var är det slutna intervallet [0,1]. $(X,Y)\in D$ $(X\ gånger I, Y\ gånger I)\i D$ $jag$
$(*,\varnothing )\in D$ , där är ett enpunktsmellanslag. $*$

I Steenrod-Eilenbergs homologiteorin motsvarar varje tillåtet par och vilket heltal k som helst en Abelisk grupp och en kontinuerlig kartläggning av par motsvarar en homomorfism (Utrymmet identifieras med paret ) och med ) , och följande axiom gäller : $H_{k}(X,Y)$ $f\kolon (X,Y)\till (X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\till H_{k}(X',Y')$ $X$ $(X,\varnothing )$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnothing)$

Identitetskartläggningen av ett par motsvarar identitetshomomorfismen . $id$ ${\displaystyle id_{*k))$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( funktionell )
En gränshomomorfism definieras , och om , då gäller motsvarande homomorfism för vilken dimension som helst . $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ $f\kolon (X,Y)\till (X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\till H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Låt och vara inbäddningar, och vara motsvarande homomorfismer, vara en gränshomomorfism. Då är sekvensen de definierar exakt ( exakthetsaxiom ). $i\kolon Y\till X$ $j\kolon X\till (X,Y)$ $i_{*k}\colon H_{k}(Y)\till H_{k}(X)$ $j_{*k}\colon H_{k}(X)\till H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\till H_{k-1}(Y)$
$\ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots$
Om mappningar är homotopiska , då är motsvarande homomorfismer lika för alla dimensioner ( axiom för homotopi-invarians ). $f,g\kolon (X,Y)\till (X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Låta vara en öppen delmängd av , och dess stängning finns i det inre av uppsättningen , sedan om paren och tillhör en tillåten klass, då för alla dimensioner inbäddningen motsvarar en isomorfism ( skärande axiom ). $U\delmängd X$ $X$ $Y$ $(X\setminus U,Y\setminus U)$ $(X,Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$
För ett enpunktsutrymme för alla dimensioner . En Abelisk grupp kallas gruppen av koefficienter ( dimensionens axiom ). $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

För singular homologi består den tillåtna klassen av par av alla par av topologiska utrymmen. De tidigare definierade singulära homologigrupperna med koefficienter i sin kartläggningsgrupp och gränshomomorfismen uppfyller alla dessa axiom. Om vi tar klassen polyedrar som en tillåten klass, så kan vi bevisa att homologierna som definieras med detta system av axiom sammanfaller med de enkla. $G$ $d_{*}$

På liknande sätt kan vi introducera ett system av axiom för kohomologi, som är helt analogt.

Det är bara nödvändigt att tänka på att kartläggningen överensstämmer ( kontravarians ) och att coboundary-homomorfismen ökar dimensionen. $f\kolon (X,Y)\till (X',Y')$ $f^{*k}\kolon H^{k}(X',Y')\till H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\till H^{k}(X,Y)$

Extraordinär homologi

I systemet med Steenrod-Eilenbergs axiom är dimensionsaxiomet inte lika viktigt som de andra.

Teorier om (ko)homologi som kan ha icke-noll (ko)homologigrupper av ett enpunktsutrymme för dimensioner kallas extraordinära eller generaliserade. De viktigaste extraordinära teorierna är K-teorin om Atiyah (det bör noteras det viktiga bidraget till denna teori av Hirzebruch , Bott och Adams ) och bordismteorin av R. Thoma . $k>0$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , sid. 95.
↑ Hatcher, 2002 , sid. 97.

Litteratur

Wick J.W. Homologiteori. Introduktion till algebraisk topologi. — M .: MTsNMO , 2005
Dold A. Föreläsningar om algebraisk topologi. — M. : Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri: Metoder för homologiteori. — M .: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izhevsk: RHD, 2001
Lefshetz S. Algebraisk topologi. — M .: IL, 1949
Novikov P. S. Topologi. - 2:a uppl. korrekt och ytterligare - Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2002
Prasolov VV Element av homologiteori. — M .: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebraisk topologi. — homotopi och homologi. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Grunderna för algebraisk topologi. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko AT , Fuchs DB Kurs i homotopi topologi . - M. : Nauka, 1989. - 528 sid. — ISBN 5020139297 .
Hatcher A. Algebraisk topologi. - Cambridge University Press, 2002. -ISBN 0521795400.