Alexandrov-Cech kohomologi

Alexandrov-Cech kohomologi är en kohomologiteori baserad på egenskaperna hos öppna täckningar av ett topologiskt utrymme . Sådan kohomologi visar sig vara praktisk i studiet av patologiska utrymmen.

Tanken med konstruktionen är att om omslaget till ett utrymme är sammansatt av tillräckligt små uppsättningar, så är kohomologin för omslagets nerv en bra approximation av själva rummets kohomologi.

Uppkallad efter Aleksandrov och Cech . Vanligtvis märkt med . ${\check {H}}^{*}$

Byggnad

Låt vara ett topologiskt utrymme och vara en öppen täckning av . Beteckna med den täckande nerven . $X$ ${\mathcal {V))$ $X$ $N_{\mathcal {V))$ ${\mathcal {V))$

Antag att omslaget är inskrivet i omslaget , det vill säga att varje uppsättning från finns i någon uppsättning från . Låt oss välja en mappning som associeras med varje uppsättning från uppsättningen som innehåller den från . Denna kartläggning inducerar nervkartläggning . Den inducerade homomorfismen av kohomologiringar beror inte på valet av . (Eftersom vi arbetar med enkla komplex spelar det ingen roll vilken av kohomologiteorierna vi väljer.) ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $f$

Kohomologiringar med homomorfismer bildar ett omvänt system. Detta gör det möjligt att gå till den omvända gränsen $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ $f^{*}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

Den resulterande ringen kallas Cech-kohomologin för rummet med koefficienter i . ${\check {H}}^{*}(X,G)$ $X$ $G$

Samband med andra kohomologiteorier

För patologiska utrymmen kan Cech-kohomologin skilja sig från singularkohomologin.
- Till exempel, om X är en polsk cirkel , då , while ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Om X är homotopi ekvivalent med ett CW-komplex , är Cech-kohomologin naturligt isomorf till singularkohomologin . ${\check {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Om X är ett jämnt grenrör , är Cech-kohomologin naturligt isomorf till de Rham-kohomologin . ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Länkar

Alexandrov P. S., "Ann. of Math., 1928, v. 30, sid. 101-87;
Sech E., "Fundam. matematik.", 1932, t. 19, sid. 149-83;
Bott, Raoul ; Loring Tu. Differentialformer i algebraisk topologi (obestämd) . - New York: Springer, 1982. - ISBN 0-387-90613-4 .
Hatcher, Allen Algebraisk topologi (obestämd) . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
Wells, RaymondDifferentialanalys av komplexa grenrör . - Springer-Verlag , 1980. - ISBN 0-387-90419-0 . Kapitel 2 Bilaga A