Grundläggande klass

Den grundläggande klassen är homologiklassen för ett orienterat grenrör , vilket motsvarar "hela grenröret". Intuitivt kan den grundläggande klassen betraktas som summan av förenklingar av den maximala dimensionen av en lämplig triangulering av grenröret.

Den grundläggande klassen för en sort betecknas vanligtvis . $M$ $[M]$

Definition

Stängt orienterbart grenrör

Om en dimensionsgren är ansluten , orienterbar och stängd , är den -: e homologigruppen oändlig cyklisk : . I det här fallet bestäms grenrörets orientering av valet av det genererande elementet i gruppen eller isomorfism . Det överordnade elementet kallas den fundamentala klassen . $M$ $n$ $n$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$

Om ett orienterbart grenrör är frånkopplat, kan man som en fundamental klass formellt associera summan av de fundamentala klasserna för alla dess anslutna komponenter . Jämförelsen är formell, eftersom denna summa inte är ett genererande element för gruppen . ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i))$ $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ $Mi}$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \ prickar \oplus \mathbb {Z}$

Icke-orienterbart grenrör

För ett icke-orienterbart grenrör , om gruppen är ansluten och stängd, då . Det genererande elementet i en grupp kallas den grundläggande klassen för ett icke- orienterbart grenrör . $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$ $M$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2))$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ $M$

${\mathbb {Z}}_{2}$ Den grundläggande klassen för ett grenrör används i definitionen av Stiefel-Whitney-talen .

Förgreningsrör med gräns

Om är ett kompakt orienterbart grenrör med gräns , då är den -th relativa homologigruppen oändlig cyklisk : . Det genererande elementet i en grupp kallas den fundamentala klassen för ett grenrör med gräns. $M$ $\partiell M$ $n$ $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z}$ $H_{n}(M,\partial M)$

Poincaré dualitet

Huvudresultatet av den homologiska teorin om manifolder är Poincaré-dualiteten mellan homologi- och kohomologigrupperna i en manifold. Motsvarande Poincare-isomorfism