Kiralitet (matematik)

Kiralitet - frånvaron av spegelsymmetri i en figur; närmare bestämt kan figuren inte kombineras med dess spegelkopia. En kiral figur och dess spegelbild kallas enantiomorfer . Ordet kiralitet kommer från andra grekiska. χειρ (kheir) - "hand". Det är det mest kända chirala föremålet. Ordet enantiomorf kommer från andra grekiska. εναντιος (enantios) - "motsatt", och μορφη (morphe) - "form". Ett icke-kiralt objekt kallas achiral eller amphichiral .

En spiral (liksom tvinnat garn, en korkskruv , en propeller , etc.) och en Möbiusremsa är tredimensionella kirala objekt. De J-, L-, S- och Z-formade tetriminos från det populära Tetris-spelet har också kiralitet , men bara i 2D.

Vissa kirala objekt, som en skruv , kan tilldelas en högerhänt eller vänsterhänt orientering , enligt högerhandsregeln .

Kiralitets- och symmetrigrupper

En figur är akiral om och endast om dess symmetrigrupp innehåller minst en orienteringsförändrande isometri. I euklidisk geometri har vilken isometri som helst formen , där är en ortogonal matris och är en vektor . Matrisdeterminanten är 1 eller −1. Om det är −1, ändrar isometrin orientering , annars bevarar den orienteringen. $v\mapsto Av+b$ $A$ $b$ $A$

Chiralitet i 3D-rymden

I det tredimensionella rummet är varje figur som har ett symmetriplan eller ett symmetricentrum akiral. Det finns dock akirala figurer som varken har ett centrum eller ett symmetriplan, till exempel:

$F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1) ,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}$

Denna figur är oföränderlig under en orienteringsreverserande transformation och är därför akiral, men har varken ett plan eller ett symmetricentrum. Figur $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$

$F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1 ,1),(-1,-1,-1)\right\}$

är också akiral, eftersom ursprunget för koordinater är symmetricentrum för det, men det har inte ett symmetriplan.

Kiralitet i två dimensioner

I tvådimensionellt utrymme är varje figur som har en symmetriaxel akiral. Det kan visas att varje avgränsad akiral figur har en symmetriaxel. För oändliga siffror är detta inte nödvändigtvis fallet. Tänk på följande (slutliga) figur:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Detta är en kiral figur, eftersom den inte matchar sin spegelbild:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Men om du fortsätter det till höger och vänster till oändligheten, då får du en obegränsad akiral figur som inte har en symmetriaxel. Dess symmetrigrupp är trottoarkantsgruppen som genereras av en enda blick reflektion .

Knutteori

En knut sägs vara akiral om den kontinuerligt kan deformeras till sin spegelbild, annars sägs den vara kiral. Till exempel är den oknutna knuten och åttasiffran akirala, medan trefoilknuten är kiral.

Se även

Länkar

The Mathematical Theory of Chirity (Michel Petitjean )