Figur åtta (knutteori)

Åtta

Notation
Conway	[22]
Alexander-Briggs	4 1
Dowker	4, 6, 8, 2
Polynom
Alexander	$-t+3-t^{{-1}}$
Jones	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$
Conway	${\displaystyle 1-z^{2))$
Invarianter
Arfa invariant	ett
Flätlängd	fyra
Antal trådar	3
Antal broar	2
Antal filmer	2
Antal korsningar	fyra
Släkte	ett
Hyperbolisk volym	2,02988
Antal segment	7
Lossa nummer	ett
Egenskaper
Enkel , hyperbolisk , alternerande , helt amfikiral , stratifierad , vriden
Mediafiler på Wikimedia Commons

I knutteorin är siffran av åtta ( fyrdubbel knut eller Listknut ) den enda knuten med fyra skärningspunkter . Detta är det minsta antalet korsningar som är möjligt, förutom den triviala knuten och trefoilen . Siffran åtta är en enkel knut . Övervägdes först av notering 1847 .

Namnets ursprung

Namnet kommer från den inhemska figuren -av- åtta knut på ett rep vars ändar är sammankopplade.

Beskrivning

En enkel parametrisk representation av knuten åtta ges av en uppsättning punkter ( x , y , z ) för vilka

{\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\ sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}

där t är en reell variabel.

Siffran åtta är en enkel , alternerande , rationell nod med ett motsvarande värde på 5/2. Det är också en akiral nod . Åttasiffran är en skiktad knut. Detta följer av en annan, mindre enkel (men mer intressant) representation av en nod:

Knuten är en homogen [1] sluten fläta (nämligen stängningen av en fläta med 3 strängar σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), och John Stallings sats visar att varje homogen fläta är fibrer .
Knuten är en länk vid (0,0,0,0), en isolerad kritisk punkt för en reell polynomkarta F : R 4 → R 2 , så att (enligt John Milnors sats ) Milnor- kartan F är en bunt. Bernard Perron hittade den första funktionen F för denna nod, nämligen:

F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),

var

{\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x ^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2} -2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}

Egenskaper

Knuten åttasiffra spelade en historiskt viktig roll (och fortsätter att spela den) i teorin om 3-grenrör . Någon gång i mitten av 1970-talet visade William Thurston att åttan var en hyperbolisk knut genom att sönderdela dess komplement till två perfekta hyperboliska tetraedrar (Robert Riley och Troels Jørgensen, som arbetade oberoende, hade tidigare visat att åttan var hyperbolisk i en annan känsla). Denna konstruktion, ny på den tiden, ledde honom till många kraftfulla resultat och metoder. Till exempel kunde han visa att alla utom tio av Dehns operationer på figuren åtta knuten ger icke-Hacken oupplösliga 3-grenrör som inte medger en Seifert-fibration . Detta var det första sådana resultatet. Många andra upptäcktes genom att generalisera Thurstons konstruktion till andra knutar och länkar.

Siffran åtta är också en hyperbolisk knut med minsta möjliga volym på 2,029 88... enligt Cho Chuns och Robert Meyerhoffs arbete. Ur denna synvinkel kan siffran åtta betraktas som den enklaste hyperboliska knuten. G-8-komplementet är ett dubbelt hölje av Gieseking-grenröret , som har den minsta volymen bland icke-kompakta hyperboliska 3-grenrör.

Åtta-siffran och spetsknuten (−2,3,7) är två hyperboliska knutar för vilka mer än sex specialoperationer är kända , Dehn-operationerna, vilket leder till icke-hyperboliska 3-grenrör. De har 10 respektive 7. Lackenby och Meyerhofs sats, vars bevis förlitar sig på geometriseringssatsen och användningen av datorberäkningar , säger att 10 är det högsta möjliga antalet enstaka operationer för eventuella hyperboliska knutar. Det är dock ännu inte fastställt om åtta är den enda nod som gränsen 10 nås vid. En välkänd gissning säger att den nedre gränsen (förutom de två nämnda noderna) är 6.

Siffran åtta bildar en singularitet i den euklidiska rymdfaktorn genom verkan av P213 . Dessutom är siffran åtta den enda noden som bildar en singularitet i den euklidiska rymdfaktorn över de kristallografiska grupperna.

Invarianter

Alexanderpolynomet på åtta är

\Delta (t)=-t+3-t^{{-1}},\

Conway-polynomet är

\nabla (z)=1-z^{2},\

[2]

och Jones polynomet är

V(q)=q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}.\

Symmetrin med avseende på och i Jones-polynomet återspeglar achiraliteten hos åttasiffran. $q$ $q^{{-1}}$

Anteckningar

↑ En fläta kallas homogen om någon generator antingen alltid är positiv eller alltid negativ. $\sigma_i$
↑ 4_1 Arkiverad 9 februari 2006 på Wayback Machine Knot Atlas

Litteratur

Ian Agol. Gränser för exceptionell Dehn-fyllning // Geometry & Topology . - 2000. - T. 4 . — S. 431–449 . MR : 1799796
Chun Cao, Robert Meyerhoff. De orienterbara spetsiga hyperboliska 3-grenrören med minimal volym // Inventiones Mathematicae . - 2001. - T. 146 , nummer. 3 . MR : 1869847
Marc Lackenby. Ordhyperbolisk Dehn-kirurgi // Inventiones Mathematicae . - 2000. - T. 140 , nr. 2 . — S. 243–282 . MR : 1756996
Det maximala antalet exceptionella Dehn-operationer. - arXiv : 0808.1176 .
Robion Kirby. Problem i lågdimensionell topologi. (se problem 1.77, på grund av Cameron Gordon , för exceptionella backar)
William Thurston. Tre-grenrörens geometri och topologi. — Föreläsningsanteckningar från Princeton University (1978–1981).

Länkar

4_1 Arkiverad 9 februari 2006 på Wayback Machine Knot Atlas
Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot på Wolfram MathWorld .

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta