Borromeiska ringar

Borromeiska ringar
Notation
Conway [.ett]
Alexander-Briggs 6 3 2
Polynom
Jones   [ett]
Invarianter
Flätlängd 6
Antal trådar 3
Antal korsningar 6
Hyperbolisk volym 7,327724753
Antal segment 9
Lossa nummer 2
Egenskaper
Alternerande länk , hyperbolisk
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Borromeiska ringar [2]  är en länk som består av tre topologiska cirklar , som är sammanlänkade och bildar en brunnisk länk (det vill säga att avlägsnandet av någon ring kommer att leda till separationen av de två återstående ringarna). Med andra ord, inga två av de tre ringarna är länkade, som i Hopf-länken , men de är alla sammanlänkade.

Matematiska egenskaper

Trots den uppenbara naturligheten hos de borromeiska ringarna från illustrationerna är det omöjligt att göra en sådan länk från geometriskt idealiska cirklar [3] . Detta kan också ses genom att betrakta ett knutdiagram : om vi antar att cirklarna 1 och 2 tangerar vid två skärningspunkter, så ligger de antingen i samma plan eller på en sfär. I båda fallen måste den tredje cirkeln skära detta plan eller sfär vid fyra punkter och inte ligga på den, vilket är omöjligt [4] .

Samtidigt kan ett sådant ingrepp göras med hjälp av ellipser, och excentriciteten hos dessa ellipser kan göras godtyckligt liten. Av denna anledning kan tunna ringar gjorda av flexibel tråd användas som borromeiska ringar.

Engagemang

I knutteorin är borromeiska ringar det enklaste exemplet på en brunnisk länk - även om ett par ringar inte är länkade kan de inte kopplas bort.

Det enklaste sättet att bevisa detta är att betrakta den grundläggande gruppen av komplementet av två icke sammanlänkade cirklar; enligt Seifert-van Kampens sats är detta en fri grupp med två generatorer, a och b, och då motsvarar den tredje cykeln kommutatorklassen , [ a , b ] = aba −1 b −1 , vilket kan ses av länkdiagrammet. Denna kommutator är icke-trivial i den fundamentala gruppen, och därför är de borromeiska ringarna sammanlänkade.

I aritmetisk topologi finns det en analogi mellan noder och primtal , vilket gör att man kan spåra relationerna mellan primtal. Trippeln av primtal (13, 61, 937) är kopplad modulo 2 (dess Rhedei-symbol är lika med −1), men dessa tal är parvis orelaterade modulo 2 (alla Legendre-symboler är lika med 1). Sådana primtal kallas "vanliga borromeiska trippel modulo 2" [5] eller "enkla borromeiska modulo 2". [6]

Hyperbolisk geometri

Borromeanska ringar är ett exempel på hyperbolisk koppling  — komplementet av borromeiska ringar i en 3-sfär tillåter en komplett hyperbolisk metrik med ändlig volym. Den kanoniska expansionen (Epstein-Penner) av komplementet består av två vanliga oktaedrar . Den hyperboliska volymen är lika med 16Л(π/4) = 7,32772…, där Л är Lobachevsky-funktionen . [7]

Förbindelse med lie

Om vi ​​klipper de borromeiska ringarna får vi en iteration av den vanliga flätvävningen . Omvänt, om vi kopplar ändarna (av en iteration) på en vanlig fläta, får vi borromeiska ringar. Att ta bort en ring frigör de återstående två, och om man tar bort ett band från flätan frigörs de andra två - de är den enklaste Brunnian länken respektive Brunnian flätan .

I standardlänkdiagrammet är borromeanska ringar ordnade i cyklisk ordning . Om du använder färgerna enligt ovan kommer rött att vara över grönt, grönt över blått, blått över rött, och när en av ringarna tas bort kommer en av de återstående att ligga över den andra och de kommer att vara oengagerade. Det är samma sak med det sneda: varje band ligger ovanför den andra och under den tredje.

Historik

Namnet "borromeiska ringar" kom från deras användning på vapenskölden av den aristokratiska borromeiska familjen i norra Italien . Förlovningen är mycket äldre och uppträdde som en valknut på vikingatida bildstenar , som är från 600-talet.

Borromeanska ringar har använts i olika sammanhang som religion och konst för att visa enhetens kraft. I synnerhet användes ringar som en symbol för treenigheten . Psykoanalytikern Jacques Lacan är känd för att ha hittat inspiration i borromeiska ringar som en modell av den mänskliga personlighetens topologi, där varje ring representerar en grundläggande komponent av verkligheten ("verklig", "imaginär" och "symbolisk").

År 2006 beslutade International Mathematical Union att använda en logotyp baserad på borromeiska ringar för den XXV internationella matematikkongressen i Madrid , Spanien [8] .

En stenpelare i templet Marundiiswarar i Chennai , Tamil Nadu , Indien , med anor från det sjätte århundradet, innehåller en sådan figur [9] [10] .

Partiella ringar

Det finns många visuella tecken som går tillbaka till medeltiden och renässansen, bestående av tre element kopplade till varandra på samma sätt som de borromeiska ringarna (i deras allmänt accepterade tvådimensionella representation), men de enskilda elementen representerar inte slutna ringar. Exempel på sådana symboler är hornen på Snoldelev stenen och halvmånarna av Diane de Poitiers . Ett exempel på ett märke med tre olika element är märket för klubben Internacional . Även om dessa symboler i mindre utsträckning inkluderar gankiel och Venn -diagrammet med tre element .

Dessutom är apnävsknuten i huvudsak en tredimensionell representation av de borromeiska ringarna, även om knuten har tre nivåer.

Fler ringar

Vissa kopplingar i knutteorin innehåller flera konfigurationer av borromeiska ringar. En förening av denna typ, som består av fem ringar, används som symbol i Discordianism , baserat på en bild från Principia Discordia- boken .

Implementeringar

Molekylära borromeiska ringar  är molekylära analoger av borromeiska ringar, som är mekaniskt kopplade molekylära strukturer . 1997 konstruerade biologen Mao Chengde (Chengde Mao) och medförfattare från New York University framgångsrikt ringar från DNA [11] . År 2003 använde kemisten Fraser Stoddart och medförfattare vid University of California , komplexa föreningar för att bygga en uppsättning ringar från 18 komponenter i en operation [12] .

Den kvantmekaniska analogen av borromeiska ringar kallas halo eller Efimov-tillståndet (förekomsten av sådana tillstånd förutspåddes av fysikern Vitaly Nikolaevich Efimov 1970). År 2006 bekräftade forskargruppen Rudolf Grim och Hans-Christoph Nägerl från Institutet för experimentell fysik vid universitetet i Innsbruck (Österrike) experimentellt förekomsten av sådana tillstånd i en ultrakall gas av cesiumatomer och publicerade upptäckten i den vetenskapliga tidskriften Naturen [13] . En grupp fysiker ledda av Randall Hulet vid Rice University i Houston fick samma resultat med hjälp av tre bundna litiumatomer och publicerade sina resultat i Science Express [14] . 2010 erhöll en grupp ledd av K. Tanaka Efimov-tillståndet med neutroner (neutronhalo) [15] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ The Knot Atlas - 2005.
  2. ↑ Namnet härstammar från den borromeiska familjens vapensköld , på vilken dessa ringar finns.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Massey-produkter i Galois-kohomologin av talfält. — 13 februari 2004.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analogier mellan knutar och primtal, 3-grenrör och nummerringar. - 22 april 2009. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ William Thurston. Tre-grenrörens geometri och topologi. - Mars 2002. - C. Kap 7. Beräkning av volym sid. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Hämtad 20 maj 2015. Arkiverad från originalet 3 mars 2016.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Blogginlägg av Arul Lakshminarayan
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , sid. 137–138.
  12. ↑ Detta arbete publicerades i Science 2004 , 304 , 1308-1312. Sammanfattning Arkiverad 8 december 2008 på Wayback Machine
  13. ↑ Kraemer, 2006 , sid. 315–318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , sid. 062701.

Litteratur

Länkar