Fläta teori

Flätningsteori är en gren av topologi och algebra som studerar flätor och flätgrupper sammansatta av deras ekvivalensklasser.

Definition av en lie

En fläta av trådar är ett objekt som består av två parallella plan och i tredimensionellt utrymme som innehåller ordnade uppsättningar av punkter och , och av icke-korsande enkla bågar som skär varje parallellt plan mellan och en gång och förbinder punkter med punkter . $n$ $P_0$ $P_1$ $\mathbb {R} ^{3}$ $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\i P_{0}$ $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\i P_{1}$ $n$ $l_{1},l_{2},\dots ,l_{n}$ $P_{t}$ $P_0$ $P_1$ $\{a_{i}\}$ $\{bi}\}$

Man brukar anta att punkterna ligger på linjen i , och punkterna ligger på linjen i , parallellt med och ligger under för varje . $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $l_{0}$ $P_0$ $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$ $l_{1}$ $P_1$ $l_{0}$ $a_{i}$ $bi}$ $i$

Flätorna projiceras på ett plan som passerar genom och , denna projektion kan föras till ett allmänt läge så att det bara finns ett ändligt antal dubbla punkter som ligger i par på olika nivåer, och skärningspunkterna är tvärgående . $l_{0}$ $l_{1}$

Flätor och knutar generaliseras av begreppet en bunt .

Flätgrupp

I uppsättningen av alla flätor med n trådar och med fasta , introduceras en ekvivalensrelation. Det bestäms av homeomorphisms , var är området mellan och , som är identiska på . Flätor och är likvärdiga om det finns en homeomorfism sådan att . $P_{0},P_{1},\{a_{i}\},\{b_{i}\}$ $h:\Pi \till \Pi$ $\Pi$ $P_0$ $P_1$ $P_{0}\kopp P_{1}$ $\alfa$ $\beta$ $h$ $h(\alpha )=\beta$

Ekvivalensklasserna, även kallade flätor i det följande, bildar flätgruppen . En enhetsfläta är en ekvivalensklass som innehåller en fläta med n parallella segment. Ett spott , motsatsen till ett spott , definieras av en reflektion i ett plan $B(n)$ $\alpha^{-1}$ $\alfa$ $P_{{1/2}}$

Tråden på flätan ansluter till och definierar en permutation, ett element i den symmetriska gruppen . Om denna permutation är identisk, kallas flätan en färgad (eller ren) fläta. Denna mappning definierar en epimorfism på permutationsgruppen av n element vars kärna är den undergrupp som motsvarar alla rena flätor, så att det finns en kort exakt sekvens $a_i$ $b_{{j_{i}}}$ $S_{n}$ $B(n)$ $S_{n}$ $K(n)$

0\till K(n)\till B(n)\till S_{n}\till 0

Se även

Knutteori
Koreografin av n kroppar är en gren av dynamik där flätteori har funnit en tillämpning.

Litteratur

Sosinsky A., Flätor och knutar. Quantum nr. 2, 1989, sid. 6-14

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta