Chiral knut

I knutteorin är en kiral knut  en knut som inte motsvarar dess spegelbild. En orienterad knut som motsvarar dess spegelbild kallas en amfichiral knut eller achiral knut . Kiraliteten hos en knut är knutens invariant . Knutarnas kiralitet kan klassificeras ytterligare beroende på om den är reversibel eller inte.

Det finns bara 5 typer av knutsymmetrier som definieras av kiralitet och reversibilitet - helt kiral, reversibel, positivt amfikiral irreversibel, negativ amfikiral irreversibel och helt amfikiral reversibel [1] .

Bakgrund

Kiraliteten hos vissa knutar har länge misstänkts och bevisats av Max Dehn 1914. P. G. Tet förmodade att alla amfikirala knutar har ett jämnt antal skärningar , men Morven Thisluit 1998 hittade ett motexempel [2] . Emellertid har Tates gissning bevisats för enkla alternerande knutar [3] .

• Båda möjliga shamrocks .

• Vänster shamrock.

• Rätt shamrock.

Den enklaste chirala knuten är trefoilen , vars chiralitet visades av Max Dehn . Alla torusknutar är kirala. Alexanderpolynomet kan inte bestämma kiraliteten hos en knut, men Jones-polynomet kan i vissa fall. Om V k ( q ) ≠  V k ( q −1 ), så är knuten kiral, men det omvända är inte nödvändigtvis sant. HOMFLY-polynomet känner igen kiralitet ännu bättre, men ingen polynomknutenvariant är ännu känd som skulle helt definiera kiralitet [4] .

Bilateral knut

En reversibel kiral knut kallas en bilateral [5] . Bland exemplen på dubbelsidiga knutar finns trefoilen.

Helt kiral knut

Om en nod inte är ekvivalent med vare sig dess inversa eller dess spegelbild kallas den helt kiral, ett exempel är noden 9 32 [5] .

Amfichiral knut

En amfichiral knut är en knut som har en α 3-sfär autohomeomorfism som vänder på orienteringen och fixerar knuten som en uppsättning.

Alla amfikirala alternerande har ett jämnt antal korsningar . Den första amfichiralknuten med ett udda antal korsningar, nämligen 15 korsningar, hittades av Hoste et al. [3]

Fullständig amfikiralitet

Om en knut är isotopisk till sin invers och dess spegelbild, sägs den vara helt amfikiral. Den enklaste knuten med denna egenskap är siffran åtta .

Positiv amfikiralitet

Om en autohomeomorfism α bevarar knutorienteringen talar man om positiv amfikiralitet. Detta motsvarar nodens isotop till dess spegelbild. Ingen av noderna med mindre än tolv skärningar är positivt amfikiral [5] .

Negativ amfikiralitet

Om en autohomeomorfism α vänder på orienteringen av en knut talar man om negativ amfikiralitet. Detta motsvarar knutens isotopitet i omvänd spegelbild. Noden med denna egenskap med minsta antal korsningar är 8 17 [5] .

Anteckningar

1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, veckor, 1998 , sid. 33-48.
2. ↑ Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. " Historia om knutteori och vissa tillämpningar av knutar och länkar Arkiverad 20 augusti 2011 på Wayback Machine " , LinKnot .
3. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen . Åtkomst: 5 maj 2013.
4. ^ " Chirality of Knots 9 42 and 10 71 and Chern-Simons Theory" av P. Ramadevi, TR Govindarajan och RK Kaul
5. ↑ 1 2 3 4 Three Dimensional Invariants Knot Atlas

Litteratur

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. De första 1 701 936 knop // The Mathematical Intelligencer. - 1998. - T. 20 , nr. 4 . - doi : 10.1007/BF03025227 . Arkiverad från originalet den 15 december 2013.