Nodgrupp
En knutgrupp är en egenskap hos en knut, definierad som den grundläggande gruppen av dess komplement.
Definition
Låt det finnas en nod. Då definieras knutknutgruppen som grundgruppen . [1] .
Kommentar
Andra konventioner behandlar knuten som en inbäddning av en cirkel i en 3-sfär . I det här fallet definieras knutgruppen som den grundläggande gruppen av dess komplement i . Båda definitionerna ger isomorfa grupper.
Egenskaper
- Två ekvivalenta knutar har isomorfa knutgrupper, så knutgruppen är en knutinvariant och kan användas för att fastställa att ett knutpar inte är ekvivalent. Två icke-ekvivalenta knutar kan dock ha isomorfa knutgrupper (se exempel nedan).
- Abelisering av en knutgrupp är alltid isomorf till en oändlig cyklisk grupp . Detta följer av det faktum att abeliseringen sammanfaller med den första homologigruppen , som är lätt att beräkna.
- Knutgruppen (liksom den grundläggande gruppen av orienterade länkar i allmänhet) kan beräknas med jämförelsevis enkla algoritmer med hjälp av Wirtinger-representationen .
Exempel
- Den triviala knutgruppen är isomorf .
- Det omvända är också sant.
- Trefoil -gruppen är isomorf till flätgruppen , denna grupp har en uppgift : eller .
- Gruppen - torusknut har uppgiften: .
- Gruppen om åtta har uppgiften: .
- Den raka knuten och kvinnans knut har isomorfa knutgrupper, men dessa knutar är inte likvärdiga.
Se även
- Växelgrupp
Anteckningar
- ↑ Boltyansky, 1982 , sid. 119.
Litteratur
- Knutar och länkar av en grupp - artikel från Encyclopedia of Mathematics
- Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuell topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 sid.