Flätgrupp

Flätgruppen är en grupp som abstrakt beskriver flätvävning . Knutteori är på liknande sätt relaterad till knutar .

En grupp av flätor på n trådar betecknas vanligtvis B n .

Historik

Flätgruppen beskrevs först uttryckligen av Emil Artin 1925. [ett]

Intuitiv beskrivning

Betrakta fallet n = 4, från detta exempel blir det lätt att förstå vad en godtycklig flätgrupp är. Betrakta två parallella linjer ( de är vertikala i figuren ), som var och en innehåller fyra numrerade punkter, så att punkter med samma siffror ligger mittemot varandra. Låt oss dela upp punkterna i par och koppla ihop dem med hjälp av trådar. Om du ritar den resulterande bilden i ett plan kan vissa trådar passera under varandra (vi kan anta att trådarna alltid korsar varandra på tvären ). I det här fallet är det viktigt att ta hänsyn till ordningen på trådarna vid skärningspunkten:

skiljer sig från

Å andra sidan, två sådana konfigurationer, som kan göras lika genom att flytta gängorna utan att påverka ändpunkterna, kommer vi att överväga detsamma:

inte annorlunda än

Alla trådar måste riktas från vänster till höger, det vill säga var och en av trådarna kan skära en vertikal linje ( parallell med linjer med numrerade punkter ) vid högst en punkt:

är inte snett.

För två flätor kan du överväga deras sammansättning genom att rita den andra bredvid den första, det vill säga limma motsvarande fyra ändpunkter:

Gruppen B 4 är faktorn för uppsättningen av alla sådana konfigurationer på fyra par av punkter med avseende på ekvivalensrelationen , given av kontinuerliga transformationer av planet, på vilket gruppoperationen ges på ovanstående sätt . Denna operation uppfyller alla axiom i gruppen; i synnerhet är det neutrala elementet ekvivalensklassen av fyra parallella strängar, och för varje element kan inversen till det erhållas genom symmetri med avseende på den vertikala linjen.

Definitioner

Ovanstående beskrivning kan strikt formaliseras på flera sätt:

Den geometriska metoden använder begreppet homotopi , nämligen B n definieras som den fundamentala gruppen av utrymmet av n -punktsdelmängder i planet med den naturliga topologin.
Det är också möjligt att ge en rent algebraisk beskrivning genom att specificera generatorer och relationer .
- Till exempel kan B n definieras av ( n − 1) generatorer och relationer: ${\tfrac {n\cdot (n-1)}{2))$ $B_{n}=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\ \mid \ \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{ i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ {\text{at))\ 1\leq i\leq n-2\ {\text{i} }\ \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{för))\ |ij|\geq 2\rangle :$

I synnerhet kan vilket element av B 4 som helst skrivas som en sammansättning av följande tre element (och deras inverser):


σ 1	σ2 _	σ 3

För att förstå varför detta är intuitivt uppenbart, låt oss "skanna" bilden och flytta den vertikala linjen från vänster till höger. Närhelst den i -te tråden från ovan ( på en given linje ) passerar under ( i + 1) -th, kommer vi att skriva σ i , och om över ( i + 1) -th, så σ i −1 .

Uppenbarligen är förhållandet σ 1 σ 3 = σ 3 σ 1 uppfyllt , medan det är lite svårare att se att σ 1 σ 2 σ 1 = σ 2 σ 1 σ 2 (det enklaste sättet att verifiera detta är genom att rita linjer på ett papper).

Det kan bevisas att alla relationer mellan element i flätgruppen följer av relationer av detta slag.

Egenskaper

Gruppen B 1 är trivial , B 2 är oändlig (som alla efterföljande flätgrupper) och isomorf till Z , B 3 är isomorf till trefoil- knutgruppen .
Alla element i B n , förutom det neutrala, har en oändlig ordning; dvs Bn är torsionsfri . _
Det finns en surjektiv homomorfism B n → S n från flätgruppen till permutationsgruppen . I själva verket kan varje element i gruppen Bn associeras med en permutation av uppsättningen av n hörn , i vilken den vänstra änden av varje "tråd" är associerad med dess högra ände.
- Kärnan i denna homomorfism kallas den färgade flätgruppen; den betecknas vanligtvis . $P_{n}$
- För färgade flätgrupper finns en kort exakt sekvens $F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1},$
där betecknar en fri grupp med en generator. $F_{{n-1}}$ $n-1$

En flätgrupp kan definieras som en grupp av skivmappningsklasser med utstansade punkter . Närmare bestämt är flätgruppen med n trådar naturligt isomorf till klassgruppen av disktransformationer med n punkterade punkter.

Litteratur

Deligne, Pierre (1972), Les immeubles des groupes de tresses généralisés , Inventiones Mathematicae vol 17 (4): 273–302, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01406236
Birman, Joan och Brendle, Tara E., "Braids: A Survey" , reviderad 26 februari 2005. I Menasco och Thistlethwaite.
Carlucci, Lorenzo; Dehornoy, Patrick; och Weiermann, Andreas, "Unprovability results involving braids" Arkiverad 5 oktober 2018 på Wayback Machine , 23 november 2007
Kassel, Christian; och Turaev, Vladimir, Braid Groups , Springer, 2008. ISBN 0-387-33841-1
Menasco, W., och Thistlethwaite, M., (redaktörer), Handbook of Knot Theory , Amsterdam: Elsevier , 2005. ISBN 0-444-51452-X

Anteckningar

↑ Artin E. Theorie der Zopfe, Abh. Matematik. Sem. Hamburg Univ. 4 (1925), 47-72.

Länkar

CRAG: CRyptography and Groups at Algebraic Cryptography Center Innehåller ett omfattande bibliotek för beräkningar med Braid Groups
P. Fabel, Completing Artin's braid group on oändligt många strängar , Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, nr. 8 (2005) 979-991
P. Fabel, Mappningsklassgruppen för en skiva med oändligt många hål , Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, nr. 1 (2006) 21-29
Chernavskii, A. V. (2001), "Braid theory" , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Java-applikation Arkiverad 4 juni 2013 på Wayback Machine , modelleringsgrupp B 5 .
C. Nayak och F. Wilczeks koppling av projektiva flätgruppsrepresentationer till fraktionerad kvant Hall-effekt [1] Arkiverad 5 oktober 2018 på Wayback Machine
Presentation för FradkinFest av CV Nayak [2]
N. Reads kritik av verkligheten i Wilczek-Nayak representation [3] Arkiverad 5 oktober 2018 på Wayback Machine