Torsion (algebra)

I allmän algebra hänvisar termen torsion till elementen i en grupp som har en ändlig ordning, eller till elementen i en modul som förintas av ett regelbundet element i ringen.

Definition

Ett element g i en grupp G kallas ett torsionselement om det har en ändlig ordning , det vill säga det finns ett naturligt tal n så att g n = e , där e betecknar det neutrala elementet i gruppen. En grupp kallas periodisk (eller torsionsgrupp ) om alla dess element är torsionselement, och en torsionsfri grupp om det enda torsionselementet är neutralt. Det är känt att vilken Abelisk grupp som helst är en modul över ringen av heltal ; i synnerhet kan definitionen av ett torsionselement för det omformuleras enligt följande: det finns ett heltal som inte är noll så att multiplikation med detta tal tar detta element till noll. Detta motiverar följande definition:

Ett element m i en modul M över en ring R kallas ett torsionselement om det finns ett regelbundet element r som inte är noll i ringen R (det vill säga ett element som inte är en vänster eller höger nolldelare ) som förstör m , det vill säga så att rm = 0. När det gäller integralring kan antagandet om regularitet släppas. Torsionsmodulen och den torsionsfria modulen definieras på liknande sätt . Om ringen R är kommutativ bildar uppsättningen av alla torsionselement i modulen M en submodul som kallas en torsionssubmodul (i synnerhet för en modul över Z kallas den en torsionssubgrupp ).

Mer generellt, låt M vara en modul över R och S vara ett multiplikativt slutet system av ringen. Ett element m i en modul M kallas ett S-torsionselement om det finns ett element i det multiplikativa systemet som förstör m . I synnerhet är uppsättningen av regelbundna element i en ring det största multiplikationssystemet.

Exempel

Låt M vara en fri modul över en ring R , det följer omedelbart av definitionen att M är en torsionsfri modul. Speciellt vektorrum är torsionsfria.
I en modulär grupp har varje icke-trivialt torsionselement antingen ordning 2 och är konjugerad till S , eller har ordning 3 och är konjugerad till ST . Torsionselementen här bildar inte en undergrupp: till exempel S · ST = T och T har en oändlig ordning.
Den Abeliska gruppen (som kan ses som gruppen av rotationer av en cirkel genom en vinkel som motsvarar cirkelns omkrets) är en torsionsgrupp. Detta exempel kan generaliseras enligt följande: om R är en kommutativ ring och Q är dess kvotfält , så är Q/R en torsionsgrupp. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Låt ett vektorrum V ges över ett fält F med en linjär operator . Om vi naturligtvis betraktar detta utrymme som en F(x) -modul, så är denna modul en torsionsmodul (enligt Hamilton-Cayleys sats, eller helt enkelt för att utrymmet är ändligt dimensionellt).

Fallet med domänen av principiella ideal

Låt R vara en principiell idealdomän och M en ändligt genererad R - modul. Enligt motsvarande struktursats kan denna modul delas upp i en direkt summa

M\simeq F\oplus T(M),

där F är en fri R - modul och T ( M ) är en torsionssubmodul till M. För moduler som inte är ändligt genererade existerar en sådan nedbrytning generellt sett inte: inte ens torsionsundergruppen i en Abelisk grupp är nödvändigtvis en direkt summa.

Torsion och lokalisering

Låt R vara en integritetsdomän med ett fält av fraktioner Q , och M en R - modul. Sedan kan vi betrakta en Q -modul (det vill säga ett vektorrum)

M_{Q}=M\otimes _{R}Q.

Det finns en naturlig homomorfism från en Abelisk grupp M till en Abelisk grupp M Q , och kärnan i denna homomorfism är exakt torsionsundermodulen. På liknande sätt, för lokalisering av ringen R med avseende på det multiplikativa systemet S $a\mapto\ibland 1$

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},

kärnan i den naturliga homomorfismen är exakt elementen i S - torsion. Således kan torsionssubmodulen förstås som uppsättningen av de element som identifieras under lokalisering.

Torsion i homologisk algebra

Begreppet torsion spelar en viktig roll i homologisk algebra . Om M och N är moduler över en kommutativ ring R , ger Tor-funktorn en familj av R -moduler Tori ( M , N ) . Dessutom är S -torsionsmodulen i modulen M naturligt isomorf till Tor 1 ( M , RS / R ) . I synnerhet följer det omedelbart av detta att platta moduler är vridningsfria moduler. Namnet Tor är en förkortning för engelskan torsion (torsion).

Litteratur

Ernst Kunz , Introduktion till kommutativ algebra och algebraisk geometri, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Infinite abelian groups, University of Michigan, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Torsion submodule , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4