Shamrock (knut)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 juli 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Vitklöver
Vänsterhänt shamrock
Notation
Conway	[3]
Alexander-Briggs	3 1
Dowker	4, 6, 2
Polynom
Alexander	$t-1+t^{{-1}}$
Jones	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$
Kaufman	${\displaystyle za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2))$
Conway	$z^{2}+1$
HEMLIGT	${\displaystyle -\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2))$
Invarianter
Arfa invariant	ett
Flätlängd	3
Antal trådar	2
Antal broar	2
Antal filmer	ett
Antal korsningar	3
Släkte	ett
Antal segment	6
Antal tunnlar	ett
Lossa nummer	ett
Egenskaper
Vanlig , torisk , alternerande , spets , oklippt , bilateral , trefärgad , vriden , skiktad
Mediafiler på Wikimedia Commons

I knutteorin är trefoilen [1] den enklaste icke-triviala knuten . En shamrock kan erhållas genom att sammanfoga 2 fria ändar av en vanlig enkel knut , vilket resulterar i en knuten ring . Som den enklaste knuten är trefoilen ett grundläggande ämne i studiet av den matematiska teorin om knutar , som har många tillämpningar inom topologi , geometri , fysik , kemi och illusionism .

Beskrivningar

Shamrocken kan definieras som en kurva som är resultatet av följande parametriska ekvationer :

{\begin{cases}x=\sin t+2\sin 2t,\\y=\cos t-2\cos 2t,\\z=-\sin 3t.\end{cases))

(2,3) - torusknuten är en trefoil. Följande parametriska ekvationer definierar en (2,3)-torusknut på en torus : $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

{\begin{cases}x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\\y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\\z=\sin 3t.\end{cases} }

Varje kontinuerlig deformation av denna kurva anses också vara en trefoil. I synnerhet anses varje kurvisotop till en trefoil också vara en trefoil. Dessutom anses spegelbilden av en shamrock också vara en shamrock. I topologi och knutteori definieras en trefoil vanligtvis med hjälp av ett diagram .

I algebraisk geometri kan trefoilen erhållas som skärningspunkten i C 2 av enhetens 3-sfär S 3 med den komplexa plankurvan för nollor för det komplexa polynomet z 2 + w 3 ( semicubic parabola ).

Om ena änden av tejpen vänds 3 gånger och sedan limmas på den andra änden får vi en klöver [2] .

Symmetri

Shamrocken är kiral i den meningen att shamrocken skiljer sig från sin egen spegelbild. De två varianterna av shamrocken är kända som vänsterhänt och högerhänt . Det är omöjligt att omvandla den vänsterhänta varianten till den högerhänta varianten på ett kontinuerligt sätt eller vice versa genom deformation, det vill säga dessa två shamrocks är inte isotopiska.

Även om shamrocken är kiral, är den reversibel , vilket betyder att det inte spelar någon roll om shamrocken går medurs eller moturs.

Icke-trivialitet

Shamrocken är icke-trivial, vilket innebär att det inte går att "lösa upp" shamrocken i 3D utan att klippa den. Matematiskt betyder detta att trefoilen inte är isotop till den triviala knuten . I synnerhet finns det ingen sekvens av Reidemeister-rörelser genom vilken knuten löses.

Beviset för detta kräver konstruktionen av en knutinvariant , som skiljer sig från den triviala knutinvarianten. Den enklaste sådana invarianten är en trefärgad färg - en trefoil tillåter en trefärgad färg, men en trivial knut gör det inte. Dessutom skiljer sig alla grundläggande trefoil -knutpolynom från triviala-knutpolynomet, liksom de flesta andra invarianter.

Klassificering

I knutteorin är trefoilen den första icke-triviala knuten och den enda knuten med tre skärningar . Det är primtal och är listat med nummer 3 1 i Alexander-Briggs notation . Dowkers notation för shamrocken är 4 6 2, och Conways notation för shamrocken är [3].

Shamrocken kan beskrivas som en (2,3) -torusknut . Du kan få denna nod genom att stänga flätan σ 1 3 .

Shamrocken är en omväxlande knut . Det är dock inte en klippnod , vilket betyder att den inte begränsar en 2-skiva till en 4-d sfär. För att visa detta bör det noteras att dess signatur inte är noll. Ett annat bevis är att Alexanderpolynomet inte uppfyller Fox-Milnor-villkoret .

Shamrocken är fiberd , vilket betyder att dess s komplement är en lokalt trivial fibrering över en cirkel . I trefoil-modellen som en uppsättning par av komplexa tal så att och , har denna lokalt triviala bunt Milnor-mappningen som bunten , och den utstansade torusen som buntytan. $S^{3}$ $S^{1}$ $(z,w)$ $|z|^2+|w|^2=1$ $z^2+w^3=0$ $\phi(z,w)=( z^2+w^3)/|z^2+w^3|$

Invarianter

Trefoilens Alexanderpolynom är

\Delta (t)=t-1+t^{-1},

och Conway-polynomet [3] är

\nabla(z) = z^2 + 1.

Jones polynom -

V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},

och trefoilens Kaufmanpolynom är

L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2a^{2}.

Shamrockknutgruppen ges av representationen

\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle

eller motsvarande [4] ,

\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .

Denna grupp är isomorf till flätgruppen med tre strängar.

Shamrocks i religion och kultur

Som den enklaste icke-triviala knuten är shamrocken ett vanligt motiv inom ikonografi och konst .

Fornnordiskt Mjolnirhänge med klöver
Enkel triquetra symbol
tät triquetra
tyska Valknut
Metall Valknut i form av en shamrock
Shamrock används i ATV- logotypen
Orienterbar yta avgränsad av en trefoil
Möbiusremsa , avgränsad av en trefot

Den finns på de senaste moderna norska mynten av Harald Hardrod (1047-1066), för vilka denna trippelknut har blivit den mest typiska bilden, som regel, fyller det främre fältet. [5]

På västeuropeiska mynt som härstammar från de karolingiska myntverken och särskilt från ärkebiskopens verkstäder i Andernach, Köln, Huy eller Strasbourg (531), kan trippelknutmotivet med största sannolikhet endast betraktas som en symbol för den heliga treenigheten. [5]

Finns på förkristna mynt i York och Hedeby och på gravstenar från 800-900-talen. på ön Gotland. [5]

Se även

Lista över enkla knutar
Nodlista

Anteckningar

↑ Sosinsky A.B. Knutpunkter. Kronologi för en matematisk teori. - S. 15 - Moskva: Bureau Quantum, 2009. - ISBN 978-5-85843-090-2
↑ Shaw, 1933 , sid. elva.
↑ 3_1 Arkiverad 30 augusti 2013 på Wayback Machine , The Knot Atlas.
↑ Weisstein, Eric W. Trefoil Knot på Wolfram MathWorld- webbplatsen . Åtkomst: 5 maj 2013.
↑ 1 2 3 Kersnovsky R. Mynt i medeltidens kultur. - per. från polska. och kommentera. cand. ist. Vetenskaper. T.Yu. Stukalova - P. 414 - Moskva: 2018 - ISBN: 978-5-89076-320-4

Litteratur

George Russell Shaw. Knutar: Användbar och dekorativ. - 1933. - ISBN 978-0-517-46000-9 .

Länkar

Wolframalpha: (2,3)-torusknut

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta