Knut invariant
En knutinvariant är vilken egenskap som helst för en knut (i det enklaste numret, men kan vara ett polynom , en grupp , och så vidare) som definieras för varje knut och är samma för ekvivalenta knutar. En ekvivalens ges vanligtvis av en omgivande isotopi , men kan också ges som en homeomorfism .
Studiet av invarianter motiveras inte bara av teorins huvuduppgift - att särskilja knutar - utan också av behovet av att förstå knutarnas grundläggande egenskaper och deras förhållande till andra områden inom matematiken.
Ur en modern synvinkel är det naturligt att bestämma invarianten av en knut från dess diagram . Naturligtvis måste invarianten förbli oförändrad under Reidemeister moves , denna egenskap är likvärdig med invariansen av egenskapen.
Exempel
- Det enklaste exemplet på en invariant är förmågan att färga i tre färger och antalet sådana färger.
- En av de mest bekväma invarianterna för att särskilja knutar är knutpolynom
- Finita typinvarianter är en klass av knutinvarianter som kännetecknas av en viss relation till alla upplösningar av en singulär knut med ett givet antal självskärningar.
- Andra invarianter kan bestämmas genom att överväga några heltalsfunktioner på knutdiagram, och ta deras minimum bland alla möjliga diagram för en given knut. Denna typ inkluderar antalet sektioner, vilket är det minsta antalet korsningar bland alla knutdiagram, såväl som det minsta antalet broar . Sådana invarianter är lätta att definiera men nästan omöjliga att beräkna.
- Gordon-Luc- satsen säger att komplementet av en knut (som ett topologiskt utrymme ) är en "fullständig invariant" av en knut, i den meningen att den skiljer en given knut från alla andra upp till omgivande isotopi och spegelreflektion . Bland de invarianter som är associerade med knutens komplement är knutgruppen , som helt enkelt är den grundläggande gruppen av dess komplement. Knottkvandlen är också en fullständig invariant i denna mening, men kvandlar är svåra att jämföra för isomorfism.
- Den hyperboliska strukturen på komplementet av en hyperbolisk länk bestäms unikt av Mostows stelhet , så den hyperboliska volymen är invariant för dessa knutar och länkar . Volymen och andra hyperboliska invarianter har visat sig vara effektiva för att sammanställa omfattande knuttabeller .
- homologiska knutinvarianter, som kategoriserar (översätter i termer av kategoriteori ) välkända invarianter. Till exempel
- Hygard Flor- homologin är en homologiteori vars Euler-karaktär är Alexanderknutens polynom. Det visade sig vara användbart för att få nya resultat på klassiska invarianter.
- En annan forskningslinje är den kombinatoriskt definierade kohomologiteorin, kallad Khovanov-homologin , dess Euler-karaktär är Jones-polynomet .
Litteratur