Antal broar (knutteori)

I knutteorin är antalet broar  en knutinvariant , definierat som det minsta antalet broar som krävs för att representera en knut. I det här fallet kan bron kastas inte bara genom en linje, utan också genom två, tre eller fler.

Definition

Om en nod eller länk ges, kommer vi att rita ett diagram över den med konventionen att ett linjebrott betyder en passage underifrån. Låt oss kalla en båge i detta diagram för en bro om den innehåller minst en passage ovanifrån, inte innehåller passager underifrån (det vill säga den är kontinuerlig) och inte kan utökas till en större båge med samma egenskaper. Då kan antalet nodbryggor bestämmas som minimum av antalet broar över alla noddiagram [1] . Antalet broar undersöktes först av Horst Schubert på 1950 - talet [2] . 

Antalet broar kan också definieras geometriskt - detta är det minsta antalet lokala maxima för projiceringen av knuten på vektorn, där minimum tas över alla projektioner och över alla representationer av knuten.

Egenskaper

• Antalet bryggor för en icke-trivial nod får inte vara mindre än 2 [3] .

• Vilken knut som helst med n broar kan brytas ner i 2 triviala n- vävar .
  • I synnerhet noder med två broar är rationella .

• Om nod K är en sammansättning av noderna K 1 och K 2 , så är antalet bryggor K en mindre än summan av antalet bryggor K 1 och K 2 [4] . Med andra ord är antalet bryggor minus 1 en additiv funktion för noden.

Andra numeriska invarianter

• Antal korsningar
• Utväxling
• Antal segment
• Lossa nummer

Anteckningar

1. ↑ Adams, 1994 , sid. 64.
2. ↑ Schultens, 2014 , sid. 129.
3. ↑ Adams, 1994 , sid. 65.
4. ↑ Schultens, 2003 , sid. 539-544.

Litteratur

• Colin C. Adams. Knutboken . - American Mathematical Society, 1994. - ISBN 9780821886137 .
• Jennifer Schultens. Introduktion till 3-grenrör . - American Mathematical Society, Providence, RI, 2014. - V. 151. - (Graduate Studies in Mathematics). - ISBN 978-1-4704-1020-9 .
• Jennifer Schultens. Additivitet av bronummer av knop // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 2003. - T. 135 , nr. 3 . - doi : 10.1017/S0305004103006832 .
• H. Schubert. Knoten mit zwei Brücken // Math. Z. - 1956. - Nummer. 65 . - S. 133-170 .

Ytterligare läsning

• Peter Cromwell. Knutar och länkar. - Cambridge, 1994. - ISBN 9780521548311 ..