Direkt knut (knutteori)

rak knut

Notation
Alexander-Briggs	$3_{1}\#3_{1}^{*}$
Polynom
Alexander	$(t-1+t^{-1})^{2}$
Jones	$(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^ {2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}$
Conway	$(z^{2}+1)^{2}$
Invarianter
Antal korsningar	6
Antal segment	åtta
Egenskaper
Sammansatt , spets , skär , amphichiral , tricolor
Mediafiler på Wikimedia Commons

I knutteorin är en rak knut en sammansatt knut som erhålls genom att förena en trefoil med dess reflektion . Knuten är nära besläktad med kvinnans knut , som också är en knutpunkt mellan två shamrocks. Eftersom shamrocken är den enklaste icke-triviala knuten, är de raka och kvinnliga knutarna de enklaste sammansatta knutarna.

Den raka knuten är den matematiska versionen av hushållets dubbelknut .

Byggnad

En rak knut kan byggas av två shamrocks, varav den ena ska vara vänsterhänt och den andra högerhänt. Var och en av noderna skärs och de fria ändarna är kopplade i par. Resultatet av anslutningen är en direkt nod.

Det är viktigt att två spegelbilder av shamrocken tas. Tar man två likadana shamrocks får man en kvinnoknut.

Egenskaper

Den främre knuten är achiral , vilket betyder att den inte skiljer sig från sin spegelbild. Antalet skärningar av en direkt knut är sex, vilket är minimum för sammansatta knutar.

Alexanderpolynomet för en direkt knut är

\Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},

som helt enkelt är kvadraten på trefoilens Alexanderpolynom.

På liknande sätt är Alexander-Conway-polynomet för den direkta knuten

\nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.

Dessa två polynom är exakt samma som för damknuten. Det är dock Jones-polynomet för den direkta knuten

V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{ 3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}.

Detta polynom är lika med produkten av Jones polynom för vänster och höger shamrocks, och det skiljer sig från Jones polynom för kvinnans knut.

Den direkta nodgruppen definieras enligt följande

\langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle

[1] .

Denna grupp är isomorf mot mormorsknutgruppen, och detta är det enklaste exemplet på två olika knutar med isomorfa knutgrupper.

Till skillnad från kvinnans knut är den raka knuten tejp , och därför avskuren .

Se även

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Square Knot på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

A. B. Sosinsky. Knutpunkter. Kronologi av matematisk teori. - Moskva: MTSNMO, 2005. - P. 58. - ISBN 5-94057-220-0 .
S.V. Duzhin, S.V. Chmutov. Matematisk utbildning. Ser. 3. - 1999. - S. 72-73.

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta