Vändbar knut

I knutteorin är en reversibel knut en knut som kan översättas till sig själv genom kontinuerlig deformation , men med omvänd orientering. En irreversibel nod är vilken nod som helst som inte har denna egenskap. Knutinvertibilitet är en knutinvariant . En reversibel länk är en länk med samma egenskap.

Det finns bara fem typer av knutsymmetri som definieras av kiralitet och reversibilitet - helt kiral, bilateral, positivt achiral irreversibel, negativ achiral irreversibel och helt achiral reversibel [1] .

Bakgrund

Det har länge varit känt att de flesta enkla knutar , som shamrocken och figuren åtta , är reversibla. 1962 föreslog Ralph Fox att vissa knutar var irreversibla, men deras existens bevisades inte förrän HF Trotter upptäckte en oändlig familj av oåterkalleliga spetslänkar 1963 [2] .  Det är nu känt att nästan alla knutar är irreversibla [3] .

Vändbara knutar

Alla knutar med skärningspunkter på 7 eller mindre är reversibla. Ingen generell metod är känd som skulle ge ett svar på om knuten är reversibel eller inte [4] . Problemet kan översättas till algebraisk terminologi [5] , men tyvärr finns det ingen känd algoritm för att lösa detta algebraiska problem.

Om en knut är vändbar och achiral är den helt achiral. Den enklaste noden med denna egenskap är siffran åtta. Kirala reversibla knutar klassificeras som bilaterala [6] .

Strikt vändbara knutar

Ett mer abstrakt sätt att definiera en reversibel knut är att säga att det finns en 3-sfärisk homeomorfism som tar knuten in i sig men vänder om knutens orientering. Om vi ​​istället för homeomorfism använder ett striktare villkor - involution - får vi definitionen av en strikt inverterbar knut. Alla knutar med tunnelnummer ett, såsom shamrocken och figuren åtta , är strikt inverterbara [7] .

Oåterkalleliga knutar

Det enklaste exemplet på en irreversibel knut är 8 17 (i Alexander-Briggs notation) eller .2.2 (i Conway notation). Spetsknuten 7, 5, 3 är irreversibel, liksom alla spetsknutar av formen (2 p  + 1), (2 q  + 1), (2 r  + 1), där p , q och r är olika heltal, vilket ger en oändlig familjknutar, vars irreversibilitet bevisades av Trotter [8] .

Se även

• Chiral knut

Anteckningar

1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, veckor, 1998 , sid. 33–48.
2. ↑ Trotter, 1963 , sid. 275–280.
3. ↑ Murasugi, 2007 , sid. 45.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Invertible Knot  på Wolfram MathWorld- webbplatsen . Åtkomst: 5 maj 2013.
5. ↑ Kuperberg, 1996 , sid. 173–181.
6. ↑ Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013 .
7. ↑ Morimoto, 1995 , sid. 3527-3532 Lemma 5.
8. ↑ Trotter, 1963 , sid. 275-280.

Litteratur

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. De första 1 701 936 knop // The Mathematical Intelligencer. - 1998. - T. 20 , nr. 4 . - doi : 10.1007/BF03025227 . Arkiverad från originalet den 15 december 2013.
• HF travare. topologi. - Pergamon Press, 1963. - Vol. 2. - doi : 10.1016/0040-9383(63)90011-9 .
• Kunio Murasugi. Knutteori och dess tillämpningar. - Springer, 2007. - ISBN 9780817647186 .
• Greg Kuperberg. Upptäcka knutinverterbarhet // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 1996. - V. 5 , nr. 2 . - doi : 10.1142/S021821659600014X . - arXiv : q-alg/9712048 .
• W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle-färger av knutar och applikationer. - 2013. - arXiv : 1312.3307 .
• Kanji Morimoto. Det finns knutar vars tunnelnummer går ner under ansluten summa // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1995. - T. 123 , nr. 11 . - doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4 . — .

Externa länkar

• Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Grundläggande grafteori: Icke-inverterbar knut och länkar , LinKnot .
• Förklaring med en video , Nrich.Maths.org .