Finit typ invariant
En ändlig typ invariant (eller Vasiliev invariant ) är en klass av knutinvarianter som kännetecknas av en viss relation till alla upplösningar av en singular knut med ett givet antal självskärningar.
Definition
Låt vara en invariant av noder med värden i reella tal, det vill säga det finns ett reellt tal definierat för varje nod , så att om noder och är isotopiska.
Betrakta ett platt knutdiagram och välj en delmängd av dess skärningspunkter, bestående av element. Låt oss numrera dessa korsningar från 1 till .
För uppsättningen , där vi betraktar diagrammet som erhålls från att ändra skärningspunkterna enligt följande regel: om , då ändras inte den -th korsningen, och om , då ändras den till den motsatta.
![{\displaystyle D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28424e0dd1fdbb29a0253eafd175ded60634aa2)
Låta vara ett icke-negativt heltal. Om för vilket diagram och valfritt val av korsningar identiteten
![{\displaystyle \sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{ 1},\dots ,\varepsilon _{m}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a8a1b150af793d899f6cfc983299091357200)
då säger de att den har en grad som inte är högre än .
Finita gradsinvarianter kallas invarianter av ändlig typ .
Exempel
- Alla kända polynomknutinvarianter uttrycks i termer av finita typinvarianter.
- Koefficienten för den kvadratiska termen i Alexanderpolynomet är en invariant av finit typ av grad två.
- Varje koefficient i Kontsevich-integralen är en invariant av finit typ.
Egenskaper
- Invarianter av grad inte högre bildar ett vektorrum . Vart i
- och är endimensionella, det vill säga invarianter av grad som inte är högre är bara konstanter.
Öppna frågor
- Bildar invarianter av ändlig typ ett komplett system av invarianter? Det vill säga, är det sant att om två noder och inte är isotopiska, så finns det en finit typ invariant så att ?
Historik
Finit-typ knot invarianter föreslogs oberoende av Vasiliev och Gusarov [1] i slutet av 1980-talet. Vasiliev äger de första publikationerna om detta ämne (1990), [1] Gusarov, talade vid Rokhlins seminarium 1987, och den första publikationen publicerades först 1991 [2] .
1992 höll Arnold ett föredrag om detta ämne vid European Mathematical Congress . [3] Sedan dess har termen "Vassiliev-invarianter" fixats.
Anteckningar
- ↑ V.A. Vassiliev. Cohomology of knot spaces // Advances in Soviet Math .. - 1990. - T. 1 . — S. 23–69 .
- ↑ M. N. Gusarov. En ny form av Conway-Jones polynom av orienterade länkar // Notes of Scientific Seminars POMI. - 1991. - T. 193 .
- ↑ VI Arnold. Vassilievs teori om diskriminanter och knutar // First European Congress of Mathematicians. - 1992. - T. 1 . — s. 3–29 .
Litteratur
- S.V. Duzhin , S.V. Chmutov Knutar och deras invarianter // Matem. upplysning, ser. 3 . - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .