Kontsevich invariant

Kontsevich-invarianten , (eller Kontsevich-integralen [1] ) är en invariant av en orienterad inramad länk av en viss typ. Det är en universell Vasiliev-invariant [2] i den meningen att varje koefficient av Kontsevich- invarianten är en finit typinvariant , och vice versa, vilken finit typinvariant som helst kan representeras som en linjär kombination av sådana koefficienter. Det är en långtgående generalisering av en enkel integralformel för länknumret [3] .

Invarianten definierades av Maxim Lvovich Kontsevich 1992 i beviset för Vasiliev-Kontsevich-teoremet.

Kontsevich-invarianten är en universell kvantinvariant i den meningen att vilken kvantinvariant som helst kan erhållas genom att ersätta ett lämpligt viktsystem i Jacobi-diagrammet .

Definition

Kontsevich-invarianten definieras som monodromin av Knizhnik-Zamolodchikov-förbindelsen förutom föreningen av diagonala hyperplan i C n [4] .

Den enklaste integralen av Kontsevich-typ

Låt oss representera det tredimensionella rummet som en direkt produkt av en komplex linje med koordinat z och en reell linje med koordinat t . Låt oss bädda in länken i rymden så att koordinaten t är en morsefunktion på L . Detta betyder att på alla punkter där t som en funktion av en parameter på kurvan har en nollderivata, bör dess andraderivata inte försvinna, och värdena på t vid alla sådana punkter (kritiska värden) bör skilja sig från varandra [5] . Det visar sig att länknumret sedan kan beräknas med följande formel: $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $L=K\cup K'$ $\mathbb {R} ^{3}=z\ gånger t$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Kontsevichs formel

Den (ursprungliga) Kontsevich-integralen av knuten K är nästa element i fullbordandet av algebra av ackorddiagram [5] : ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A))))$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m))}\int _{t_{min}< t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

För en förklaring av denna formel, se artikeln av S. V. Duzhin . Om vi betecknar med H en trivial knut vars inbäddning i rymden ger två maxima och två minima, får vi [6] :

{\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))))

där c är antalet kritiska punkter för funktionen t på K .

Det kan visas att integralen , för det första, konvergerar för vilken knut som helst i rymden på det sätt som anges ovan, och för det andra inte ändras för släta isotoper av knuten, för vilka antalet kritiska punkter för funktionen t bevaras . Eftersom noden är en sluten kurva kan kritiska punkter dyka upp och försvinna endast i par. $Z(K)$

$I(K)$ kallas den slutliga Kontsevich-integralen

Kontsevich-integralen är ett ganska komplext objekt, och under flera år har ingen kunnat beräkna den slutliga Kontsevich-integralen ens för en trivial knut. Endast koefficienterna för vissa ackorddiagram i en oändlig summa var kända.

År 1997 dök gissningen av D. Bar-Nathan et al [7] upp (bevisade 1998 [8] ) att [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n))

här är O en icke-knut (cirkel) som motsvarar H, är modifierade Bernoulli-tal och är hjul , dvs. diagram i form av en cirkel med radiella segment. Hjulprodukter förstås som en osammanhängande förening av diagram, och själva hjulen tolkas som linjära kombinationer av Feynman-diagram (se nedan). ${\displaystyle b_{2n))$ $w_{2n}$

Jacobi diagram

Feynman-diagram och ackorddiagram

Ett Feynman-diagram av grad n är en sammankopplad trivalent graf med 2n hörn, i vilken en orienterad cykel urskiljs, kallad en Wilson-loop [10] . Ackorddiagrammet är ett specialfall av Feynman-diagram (de har alla trevärda hörn liggande på Wilson-slingan). Graden av ett Feynman-diagram är hälften av det totala antalet hörn i grafen. Ett Feynman-diagram kallas anslutet om motsvarande graf förblir ansluten efter att Wilson-slingan har kasserats [3] .

Definition

Låt X vara en cirkel (som är ett 1-dimensionellt grenrör och kommer att fungera som en Wilson-loop ). Som visas i figuren till höger är Jacobi-diagrammet av ordning n en graf med 2n hörn, där den yttre cirkeln (Wilsons loop) representeras av en heldragen linje, och de streckade linjerna kallas den inre grafen, vilket uppfyller följande villkor:

Riktningen anges endast på den yttre slingan.
Vertices med ett värde på 1 eller 3. Vertices med ett värde på 3 är kopplade till en av de andra (halv)kanterna medurs eller moturs, som representeras av en liten orienterad cirkel.

Vertices med värdet 1 kallas ofta univalenta, och de med värdet 3 kallas trivalenta [11] . Univalenta hörn är anslutna till den yttre cirkeln utan mångfald och ordnas efter cirkelns orientering. Jacobi-diagrammet kan kopplas bort, och det krävs att varje ansluten komponent har minst en univalent vertex [11] . Kanter på G kallas ackord . Vi betecknar med A ( X ) kvotutrymmet för den kommutativa gruppen som bildas av alla Jacobi-diagram på X genom följande relationer:

(AS-förhållande) + = 0 (IHX relation) = − (STU-relation) = − (FI-förhållande) = 0.

Om någon ansluten komponent av G har en vertex med värdet 3, så kan vi förvandla Jacobi-diagrammet till ett ackorddiagram genom att rekursivt tillämpa STU-relationen. Om vi begränsar oss till ackorddiagram, reduceras de fyra relationerna ovan till följande två relationer:

(Fyrtermsrelation) − + − = 0. (FI-förhållande) = 0.

Obs: Flera kanter och hängöglor är tillåtna i Jacobi-diagram [12] .

Egenskaper

Om man tar det aritmetiska medelvärdet över alla sätt att limma Wilson-slingan till univalenta hörn, kan vilket Jacobi-diagram som helst förvandlas till en linjär kombination av Feynman-diagram [11] .

Det är bekvämare att arbeta med Jacobi-diagram än med Feynman-diagram, eftersom det, förutom den allmänna graderingen med hälften av antalet hörn, finns ytterligare två graderingar: med antalet anslutna komponenter och antalet envärda hörn [13 ] .

Graden eller ordningen för ett Jacobi-diagram definieras som halva summan av talen för dess hörn. Detta nummer är alltid ett heltal och är lika med antalet ackord i ackorddiagrammet som erhålls från Jacobi-diagrammet [12] .
Liksom vävar bildar Jacobi-diagram en monoidal kategori . Sammansättning och tensorprodukt av morfismer definieras av "box stacking"-metoden:

Med andra ord är en tensorprodukt av morfismer en disjunkt förening, och en sammansättning är en limning av motsvarande delar av gränsen [14] .

- I det speciella fallet där X är ett intervall av I , kommer A ( X ) att vara en kommutativ algebra. Om man betraktar A ( S1 ) som en algebra med multiplikation definierad som en sammanhängande summa , är A ( S1 ) isomorf till A ( I ) .
Jacobi-diagrammet kan ses som en abstraktion av representationen av en tensoralgebra som genereras av Lie-algebra, vilket gör att vi kan definiera några operationer som är analoga med samprodukter, counts och antipoder av Hopf-algebras .
Eftersom Vassiliev -invarianter (finita typ-invarianter) är nära besläktade med ackorddiagram, kan man konstruera en singulär knut från ett ackorddiagram G på S 1 . K n betecknar det utrymme som bildas av alla singulära knutar av grad n , varje sådant G definierar ett unikt element i K m / K m +1 .

Viktsystem

Mappningen från Jacobi-diagram till positiva tal kallas ett viktsystem . En mappning utvidgad till A ( X ) kallas också ett viktsystem. System har följande egenskaper:

Låt g vara en halvenkel Lie-algebra och ρ dess representation. Vi erhåller ett viktsystem genom att "ersätta" den invarianta tensorn g i ackordet i Jacobi-diagrammet och ρ i basgrenröret X i Jacobi-diagrammet.
- Vi kan betrakta trivalenta hörn av Jacobi-diagram som en parentesprodukt av Lie-algebra, pilar av en heldragen linje som en representation av rymden
ρ och univalenta hörn som aktioner av Lie-algebra.
IHX-relationen och STU-relationen motsvarar respektive Jacobi-identiteten och definitionen av representationen

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

Viktsystemet spelar en viktig roll i bevisningen av Mervin-Morton-förmodan [15] , som etablerar en koppling mellan Alexanderpolynom och Jones-polynom .

Historik

Jacobi-diagram introducerades i analogi med Feynman-diagram när Kontsevich definierade knutinvarianter i termer av multipla integraler under första hälften av 1990 -talet [16] . Han representerade singulära punkter som ackord, så han arbetade bara med ackorddiagram. D. Bar-Nathan formulerade dem senare som en- och trevalenta grafer, studerade deras algebraiska egenskaper och kallade dem "kinesiska teckendiagram" i sin artikel [17] . Olika termer har använts för att hänvisa till dessa diagram, inklusive "ackorddiagram" och "Feynman-diagram", men sedan omkring 2000 har de kallats Jacobi-diagram, eftersom IHX-relationen motsvarar Jacobi-identiteten för Lie-algebras .

Anteckningar

↑ Chmutov, Duzhi, 2012 .
↑ Kontsevich, 1993 , sid. 137.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , sid. 101.
↑ Duzhin, 2011 , sid. 26.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , sid. 102.
↑ Duzhin, 2010 , sid. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000 , sid. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , sid. 1-31.
↑ Duzhin, 2010 , sid. 105.
↑ Duzhin, 2010 , sid. 100.
↑ 1 2 3 Duzhin, 2010 , sid. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012 , sid. 127.
↑ Duzhin, 2010 , sid. 108.
↑ Rumänska, 2013 , sid. 1128–1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , sid. 103-133.
↑ Kontsevich, 1993 , sid. 137-150.
↑ Bar-Natan, 1995 , sid. 423-472.

Litteratur

Sergei Vasilievich Duzhin. KOMBINATORISKA ASPEKTER AV TEORIN OM VASIL'EV INVARIANTER. - St Petersburg, 2011. - (avhandling).
D.A. Rumynin. Liealgebror i symmetriska monoidala kategorier // Sib. matematik. journal .. - 2013. - T. 54 , nr. 5 .
S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Introduktion till Vassiliev Knot Invariants (aka CDBooK) . - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. Om Melvin-Morton-Rozansky-förmodan // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Utgåva. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Wheels, wheeling, and the unknots Kontsevich-integral // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . - arXiv : q-alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le,D. P Thurston. Två tillämpningar av elementär knutteori på Lie-algebror och Vassiliev-invarianter // Geometry and Topology.. - 2003. - Vol 7(1) .
S.V. Duzhin. Vasiliev–Gusarov-invarianter // 1900-talets matematik. Utsikt från St. Petersburg / A.M. Vershik. - Moskva: MTSNMO, 2010. - S. 87 -116. — ISBN 978-5-94057-586-3 .
Sergei Chmutov, Sergei Duzhi. Kontsevich Integral // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram Web Resource, 2012.
D. Bar-Natan. På Vassiliev-knutens invarianter // Topologi. - 1995. - T. 34 . - S. 423-472 .
Maxim Kontsevich. Vassilievs knutinvarianter // Adv. sovjetisk matematik. - 1993. - T. 16 , nr. 2 . - S. 137 .
Tomotada Ohtsuki. Kvantinvarianter – En studie av knutar, 3-grenrör och deras uppsättningar . - 2001. - ISBN 9789810246754 .