Jones polynom

Jones polynom är en polynom knutinvariant som tilldelar varje knut eller länk ett Laurent polynom i en formell variabel med heltalskoefficienter. Byggd av Vaughn Jones 1984 . $t^{{1/2}}$

Definition genom Kauffman-parentesen

För en given orienterad länk definieras ett hjälppolynom: $L$

X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle

var är diagrammets vridningsnummer och är Kauffman-fästet . Vridningstalet definieras som skillnaden mellan antalet positiva korsningar och antalet negativa korsningar och är inte en knutinvariant: det är inte bevarat under typ I Reidemeister-transformationer. $w(L)$ $L$ $\langle L\rangle$ $L_{{+}}$ $L_{{-}}$

$X(L)$ är knuten invariant, eftersom den är invariant under alla tre Reidemeister-transformationer av diagrammet . Invariansen under typ II- och III-transformationer följer av invariansen för Kauffman-fästet och vridnumret under dessa transformationer. Däremot, för en typ I-transformation multipliceras Kauffman-parentesen med , vilket exakt kompenseras av en +1 eller −1 förändring i twistnumret . $L$ $-A^{{\pm 3}}$ $w(L)$

Jones polynomet bestäms från substitutionen: $X(L)$

A=t^{{-1/4}}

det resulterande uttrycket är ett Laurent-polynom i variabeln . $t^{{1/2}}$

Definition i termer av flätgruppsrepresentationer

Jones ursprungliga definition använder operatoralgebra och föreställningen om en flätrepresentationsspår som har sitt ursprung i statistisk mekanik ( Potts-modellen ).

Alexanders teorem hävdar att vilken länk som helstär en stängning av en fläta medtrådar, i samband med detta är det möjligt att definiera en representationav flätgruppenmedtrådar på Temperley-Lieb algebra med koefficienter frånoch. Standardgeneratorn för flätanär, där finns standardgeneratorerna för Temperley-Lieb algebra. Förflätordet,var är Markov-spåret , blir resultatet, där är polynomet inom parentes. $L$ $n$ $\rho$ $B_{n}$ $n$ $TL_{n}$ $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ $\delta =-A^{2}-A^{-2}$ $\sigma_i$ $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1))$ $\sigma$ $L$ $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ $tr$ $\langle L\rangle$ $\langle$ $\rangle$

Fördelen med detta tillvägagångssätt är att man genom att välja analoga representationer i andra algebror, såsom representationen av -matriser, kan komma fram till generaliseringar av Jones-invarianter (till exempel är [1] begreppet Jones -parallella polynom). $R$ $k$

Definition i termer av nystan relationer

Jones-polynomet definieras unikt av det faktum att det är lika med 1 på vilket trivialt knutdiagram som helst och av följande hudrelation :

(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})

där , , och är tre orienterade länkdiagram som sammanfaller överallt förutom ett litet område, där deras beteende är positiva respektive negativa skärningar och en smidig passage utan gemensamma punkter: $L_{{+}}$ $L_{{-}}$ $L_{{0}}$

Egenskaper

Jones polynom har många underbara egenskaper [2] [3] .

För länkar med ett udda antal komponenter (särskilt för knop) är alla potenser av variabeln i Jones-polynomet heltal, och för länkar med ett jämnt antal komponenter är de halvheltal. $t$

Jones-polynomet av den sammankopplade summan av noder är lika med produkten av Jones-polynomen av termerna, det vill säga:

V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})

Jones polynomet för en frånkopplad summa av knop är:

V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})

Jones polynom för föreningen av en länk och en trivial knut är: $L$

V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)

För en orienterad länk som erhålls från en given orienterad länk genom att ersätta orienteringen av någon komponent med den motsatta, har vi: $L^{*_{k))$ $L$ $k$

V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)

var är länkkoefficienten för komponenten och . $\lambda$ $k$ $Lk$

Jones-polynomet ändras inte när noden vänds, det vill säga när bypassriktningen vänds (ändring av orientering).

Den spegelsymmetriska bilden av länken har ett Jones-polynom, som erhålls genom att ersätta med (egenskapen kan enkelt verifieras med definitionen i termer av Kauffman-parentes). $t$ $t^{{-1}}$

Om är en nod, då: $K$

V_{K}(e^{2\pi i/3})=1

Värdet på Jones-polynomet för länken med antalet länkkomponenter vid punkt 1: $L$ $sid$

V_{L}(1)=(-2)^{p-1}

Jones polynom i den -toriska knuten: $(m,n)$

V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^ {n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}

Öppna nummer

År 2003 konstruerades en familj av icke-triviala länkar med Jones-polynomet lika med Jones-polynomet i den triviala länken [4] , medan det inte är känt om det finns en icke-trivial knut vars Jones-polynom är densamma som den. av den triviala knuten. Under 2017 konstruerades en familj av icke-triviala knutar med skärningspunkter för vilka Jones polynom är kongruent med unity modulo [5] . ${\displaystyle K_{r))$ $20\cdot 2^{r-1}+1$ $V(K_{r})$ ${\displaystyle 2^{r))$

Variationer och generaliseringar

Chern-Simons teorin beskriver den topologiska ordningen i tillstånden för den fraktionerade kvanthalleffekten. Ur en matematisk synvinkel är Chern-Simons-teorin intressant eftersom den låter dig beräkna knutinvarianter, som Jones-polynomet.

År 2000 konstruerade Mikhail Khovanov ett kedjekomplex för knutar och länkar och visade att homologin för detta komplex är en knutinvariant ( Khovanovhomologin ). Denna homologiteori är en kategorisering av Jones-polynomet, dvs. Jones-polynomet är Euler-karakteristiken för denna homologi.

HOMFLY-polynomet är en liknande knut- och länkinvariant.

Anteckningar

↑ Murakami J., Den parallella versionen av polynominvarianter av länkar Arkiverad 2 juni 2016 på Wayback Machine , Osaka J. Math., 1989.
↑ Jones, VFR, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras Arkiverad 19 januari 2022 på Wayback Machine , Bull. amer. Matematik. Soc. 12:103-111, 1987.
↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Knots and their invariants , Mat. upplysning, 1999, nummer 3, 59-93.
↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Oändliga familjer av länkar med triviala Jones polynom, 2003. . Hämtad 1 oktober 2017. Arkiverad från originalet 6 maj 2021. (obestämd)
↑ Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017. . Hämtad 1 oktober 2017. Arkiverad från originalet 5 oktober 2021. (obestämd)

Litteratur

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Knutar, länkar, flätor och tredimensionella grenrör . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta