Laurents polynom

Ett Laurentpolynom av en variabel över ett fält är en linjär kombination av positiva och negativa potenser av variabeln med koefficienter från . Laurentpolynomet skiljer sig från vanliga polynom genom att exponenten kan vara negativ. Laurents polynom är av särskilt intresse att studera i teorin om funktioner för en komplex variabel ( se Laurent-serien ). $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Definition

Ett Laurentpolynom med koefficienter från ett fält är ett uttryck för formen $\mathbb {F}$

p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,

där X är en formell variabel, är ett heltal (inte nödvändigtvis positivt) och endast ett ändligt tal är icke-negativa. $k$ $p_{k}$

Två Laurentpolynom är lika om deras respektive koefficienter är lika. Laurentpolynom kan adderas och multipliceras precis som vanliga polynom, men tänk på att det kan finnas negativa potenser av X

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\summa _{i}b_{i}X^{i}\right)=\summa _ {i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

och

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\summa _{j}b_{j}X^{j}\right)=\summa _{k}\left(\summa _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.

Därför att antalet icke-negativa koefficienter och är finita, då kommer alla summor att ha ett ändligt antal termer och kommer således att visa Laurentpolynomet. $a_{j}$ $b_{j}$

Egenskaper

Ett Laurent-polynom över ett fält kan ses som en Laurent-serie med ett ändligt antal icke-negativa koefficienter. $\mathbb {C}$
Laurent-polynomringen är en subring av ringen av bråk-rationella funktioner .

Litteratur

Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 sid.