Skene förhållande
Den centrala frågan för knutteorin är om två diagram representerar samma knut . Ett av verktygen som används för att besvara denna fråga är knutpolynomet , som är knutinvarianten . Om två diagram motsvarar olika polynom , representerar de olika noder. Det omvända är inte alltid sant.
Nystansrelationen (eller Conway-typrelationen ) används ofta för att definiera ett knutpolynom på ett enkelt sätt. Informellt sett definierar nystanrelationen ett linjärt förhållande mellan värdena för knutpolynomet på tre länkar , som skiljer sig från varandra endast på ett litet område. För vissa polynom, som Conway- , Alexander- och Jones -polynomen , räcker en lämplig nystanrelation för att beräkna polynomet rekursivt . Andra, som HOMFLY-polynomet , kräver mer komplexa algoritmer.
Definition
Det finns tre länkdiagram involverade i hudrelationen , som är identiska överallt förutom en korsning. Dessa tre diagram bör uttrycka tre möjligheter som kan ske vid denna korsning: en tråd kan passera under en annan tråd, över den eller inte korsas alls. Det är nödvändigt att överväga länkdiagram , eftersom att ändra ens en korsning kan förvandla ett knutdiagram till ett länkdiagram och vice versa. Beroende på det specifika knutpolynomet kan länkarna som visas i hudrelationen vara orienterade eller oorienterade.
De tre diagrammen är betecknade enligt följande. Vrid knuten så att båda trådarnas riktningar vid korsningen i fråga pekar ungefär norrut. I ett diagram kommer tråden i nordvästlig riktning att passera över den nordöstra tråden, vi kommer att beteckna den . I ett annat diagram går den nordöstra tråden över den nordvästra, detta är . Det sista diagrammet saknar denna skärningspunkt och betecknas med .
(Egentligen är notationen riktningsoberoende i den meningen att när alla riktningar är omvända förblir notationen densamma. Därför är polynom unikt definierade även vid oriktade knutar. Orienteringen på länken är dock fundamentalt viktig att komma ihåg i vilken för att rekursionen utfördes.)
Det är användbart att tänka på detta som att komponera två diagram från ett diagram genom att lappa dem med lämplig orientering.
För att rekursivt definiera polynomet för en knut (länk), är funktionen och fixerad för varje trippel av diagram och deras polynom, betecknade som ovan,
eller mer noggrant
för alla .
(Att hitta en funktion som gör polynomet oberoende av skärningsordningen i rekursionen är inte en lätt uppgift.)
Mer formellt kan härkomstrelationen ses som definitionen av kärnan i kvotkartan från den platta kransalgebra . En sådan mappning motsvarar ett nodpolynom om alla slutna diagram är mappade till komplexa typer av tomma diagram.